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ER

191,92

R piano

ar

ar

2

n

se 1 IR

R ER spazio

ai

91192,03

3

ne

se ER

R

4 GI

an.az03,94

n

se ecc

sia k

sp.net sul

Elsa campo

IRS

fs.FR R

V2 Va

V1

01 K

AM

92 vettori

i V1

Arte QUUM

9101 che i vettori

diremo On

v1 sono

1 l'unica

linearmente soluzione

indipendenti se

è 0

AH

91 92

I lin

vettori dipendenti

on

2 v1 sono

te

esistono 9101

di AMV

se o tutti nulli

ai non

con

Alcuni Esempi

w̅ IR

esempio 5

2

V2

3 1

v1 9202 91

91 92 215

V1 3 1

1391 202,592

91 5

592

91

202

391 0

0

0

292

391 ai si

sono n

a indipendenti

Lin

motel va sono

e

V 3

R 2

es V1 1

4

07 3

1

v3 È

391 492 93 291 92 0

303 0

391 492 93 3

delle

0 incognite

una libera di variare

sarà

393

291 92 o

soluzioni

infinite 1in dipendenti

V1 02,03 sono

R 2 1 0

es v1 3 2

1

V7 1 2

3

03

che

notare

si V3 V2

può 201

risolvendo otterrà

si

il sistema

che dipendenti

lin

03 sono

v2

v1 vettoriale

Esempio spazio da

f R IR di R in IR

insieme funzioni

fa

81 if w̅

f 8 fa G fa

fr

fa x x

Eici

Ii O

TER V

SE xp

Af GE

x vettoriale

è spazio

uno

fa 83

filk e

x

cos

sen x

e lin dipendenti

sono nulla

funzione nulla

In

I

IN funzione

Ing o ascia co

e co per

23 0

0

arcosx

sell

an si ha

prendendo o a 0

0

O

an a 1 2

2 ai

di sen o

o lin

fa indipendenti

fa

fa sono

e

Teorema vettoriale

V

siano Un

V1 V2 sp di

essi si

I solo

vettori 1in può

se

dipendenti se e uno

sono dei rimanenti

comb Ian

lineare

scrivere come è specificato

9101

Vi 9202 Anon quale

I'è vi

non

1,0

R V1 2

es 2

3 1

V2

V3 03

6 201

2,4 lin dipendenti

V1 v2 v3 sono

scritto comb lineare

però

Vi essere

può

non come

di va v3

e

Sia vettoriale

E

Def spazio

uno di sottoinsieme

è

V

vettoriale

Un un

sottospazio

che anche

sia

W sp.net

e che

verificare

Bisogna ovvio

W E

We we W wz E W

Wi Wz

TW w̅ ovvio

E

TEK W

E

W tw W

E

W vettore

dotato di

deve somma prodotto

essere e per

scalare

R2 fa b

es 26

32

b 0

a sottoinsieme

W di

è un 261 0

321

W

E

bi

We a1 0

262

322

W

ba E

az

Wz Witwa

bg

23

Ws È W

betba

antar

323 263 0

261 Zbz

321 322 o

262

32

Effb 32 26

WE 0

E

fa b

R W

E È

7W ta Ab W

Ita 275 0

E c

FR 270,670

aib

W

Es Coidew vettoriale

è

W sottosp

t.c.ae b1

bi

Wi an 0

Wz

t.c.az

ba ba

az 0

W3 b1tbz

W1 antan

Wz

di ar 0 Si

bitbaso fa te

f bao

b 270

w w

con

te Ab

X ta

E K W Abco

la

a o co

prendo

se e è

W sottosp

non vettoriale

U vett

Siamo W di

sottosp Ue

Un t.c.VE EW

W o

o

fu t.c.VE

U W

E

V

W

U V

o

Sono sott vett new

u

unw e e

e qui U W

E E

V2 V2

e

È Un W

Vita U

KE 1 vita e

.EE

perché net

E

TEK tv tu

UAW EU W

tre

E perché e

U vettoriale

1W è sottosp

l'intersezione vett

vett

di sottosp

quindi sottosp

è un

sempre

T succedere

U 1W può

non

U EW

O Itup

È è men

Eu

v o

fan

un V W

E

v2

v2 o

con

contrario

V E W

V

e

ve

se o

Titta

In l'unione sott sottoett

è

di un

non

generale

If U sott vettoriali

W V

siano e che

sott UN

contiene

è di

Utw vett

il più piccolo

Teorema te UEU W

Gutw e

W w

dim da

3 dimostrare

cose è vett

W sottosp

un

contiene

W TU W

che Juli

i lui

sott

fra tutti rett contengono

il

è più piccolo

S vettori di

insieme di

è un

Il vett

Def il

da S più

sottosp è piccolo

generato

che

V contiene

di s

sott vett CS

L

si indica S

con o

Si che

dimostra S

L K

5 Vi E

tazza

1101 E

ti

Amon

tries tiek

g vi vettori di V

S

Def V1 Un di V

sistema di

sono generatori

un si

V EV

5 vettore

L cioè può

o

se ogni

se dati

lineare dei

combinazione vettori

scrivere come

te AMOR

E V1

R2

V 1

3 1

2 V3

0

1

V1 Ve

sono di

generatori

R2

b b

ta

E

a

v 1101 1202 303 liberi

ab parametri

1

9 9 43

72

An di variare

tritato incognite

sono

FI EI b e

2

0

113 6

271

312 9 341 3 atb

1 2

soluzioni

ci

IL infinite

sono

3

atb 1 ti di

sistema generatori

un

sono

Una sist

di

base di

è

Def sp.net

uno un gen

costituito

di 1in

vettori

da

V indipendenti

173

Es 3

0

V2

2 1

1

01 1 e R3

di

sono

V1 E generatori R

vettore

ab di

c qualunque I

ta

ti

tra o

202 6

32

59

È È mie non sono generatori

IR3

di

Teorema Sia base di U

401,02 vn una unico

si

vettore modo

scrivere

di V in

Ogni può come

comb dei vettori

Lineare Un

V2

v1

Dim V scrivere

sia e

V posso

1101 fare non

1 ti

µ Marat Unta

An mln An

a on

va

12 un

V

di

tu base

401

poiché sono una

Lin

Tu indipendenti

901

ti An o

0

µ un

71 ta In

Ma Ma

11

scrittura

Quindi di lineare

la comb di

o V1 Nn

come

C.v.d

è unica

Def sp.net

Uno è

dice

si finitamente se esso generato

generato

da vettori

insieme di

finito

un

V

Teorema vett

sp di

insieme

on

va generatori

01 lin

vettori indipendenti

un

we we

Allora è n

a

sempre

le

tutte basi di

Teorema sp.net

uno

stesso

lo

hanno elementi

di

numero

Dim di

due basi V

siano V1 Un un un

e di

V1 Un insieme generatori

vett ind

1in

Wm

un µ M

Lui di

insieme

un generatori

1in ind

rett

Un

v1 MEM d

M M V

c

Il dalla

di di solo

base sp.net

elementi dipende

n una

la di di

è il

Dimensione

Def elementi

di

sp.net

uno numero

base

una che

controllare R dim

abbia

Bisogna n

RM flasiaz ER

an ai

10

01 1 0,01 vettori

0,1

va 0 n

in 1

o 1101 turn

generatori RM

sono NE 0

I p

ha

si to

re anvetanat anon

generatori

Un

v1 sono

lin

sono indipendenti è

In

101 on

Xp t In

0 0

0 1in indipendenti

401 vn sono da 0

tutti

vettori composti

Quindi R

base di 1

sono tranne

una un

11

R

dim n di

La base R

detta

è canonica

base Un

v1 base formata

una

dimhtesiste vettori

da n

Teorema V vett di

uno sp

Un insieme di generatori

V1 Vs

V2 s

m

Da di

insieme generatori sempre

questo posso

estrarre base

una

Dim generatori

Va 0s

Va lin

anche indipendenti

sono BASE

già

SI una

sono lineare dei

comb rimanenti

è

di essi

NO uno

lo elenco

dall

cancello della dimostrazione

0s

01,02 semplicità

per

n l'ultimo

cancello

sono generatori

ancora

ti to

tsus

fare

N va sente

2101

0s 10s

2s 1

Ina Is

Asa

1202 2101 Us

as

Vs n

1

e

I lineare Usa

di

comb 01,02

vettori

i insieme di

vs

on sono generatori

ancora un

1 lin indipendenti

0s sono

01 1 BASE

già

SI una

sono dei

lineare

comb rimanenti

è

di essi

NO uno

lo elenco

dall

cancello della dimostrazione

0s

01,02 semplicità

per

r l'ultimo

cancello

Il ha

si esattamente

quando

finisce

procedimento V

vettori dim

I n di

Teorema dim

dim

vett

V Van

finite

sia uno sp

vett lin

Or indip

v1 n

m

l'insieme completato

on completato

essere

può

re di

in V

ottenere

da base

modo una

Dia I

V1 sono generatori

SÌ di V

Se base

una

sono altri vettori

line

no indipendente

run

se dagli

01 UmOnta sono generatori elementi

Si il si hanno

finché in

procedimento

con

prosegue

V R dica 3

es V1 1 1 2

V2 1 3

V3

2.0 1,0

di

V1 R

il V

Vett

e V37 sottosp

piccolo

che contiene 01102,03

potffdin U U

Basedi

È 1 un

sono

202

91 dipendenti

Èè amore

11 11

1 1

IEE2a

V3 201 V2 g

u Va

con.es

v3 tolgo

tolgo 9 102

1 103

a

tolgo

4202

101 I

I lin

sono

01,02 indipendenti

base

è di

01,02 una

U è

dim 2 U piano

un

V din

R 3

V1 3 7 5

V2 5

2 6 lin

che

verificare indipendenti

1 vi sono

v2

e

11 tarta

Dettagli
Publisher
A.A. 2023-2024
60 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/02 Algebra

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher jacopo787 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fondamenti di algebra lineare e geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Padova o del prof Bottacin Francesco.