Riassunto esame Algebra lineare e geometria di base, Prof. Prelli Luca, libro consigliato Algebra lineare e geometria, Francesco bottacin

Algebra Lineare e Geometria

Lezione 1

Insiemi Numeri

Z = { z | z 0 } (numeri interi) { Insieme Z

Tale è che è indicato come Z

^m/_n, con m, n ∈ Z {

N.B. somma e prodotto in Q sono ben definiti Insieme Q

(con rlem di equivalenza, cioè ^m/_n e ^p/_q sono equivalenti

se m.q = n.p

N {}). Q

ⁿ | 2 | Q

1

Inclusioni intutive, l'uno contiene l'altra

Da Q: m

n un opposto (-m)

Da Q: m possede

n un reciproco ( n con M 0 )

Proprietà

• + :Commutativa
• + :Associativa
• (x+y)+z = x+(y+z)
• (x.y).z = x.(y.z)

0 = elemento = neutro somma

1 = elemento = neutro prodotto

Un insieme somma, prodotto con queste proprietà si chiama Campo

TRE TAPPI

• Q (razionali): Impossibile esprimere lunghezza quale diagonale di un quadrato o la lunghezza di una circonferenza
• R (reali)
• C (complessi)

Inclusioni:

• N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

R - Q = irrazionali

• algebrici trascendenti

ITA: in R non tutti i polinomi hanno una radice

es: x² + 1 = 0 (non ha soluzioni in R)

-> dobbiamo quindi estendere R al corpo dei numeri complessi.

NUMERI COMPLESSI

• (un polinomio di grado n ha n radici (soluzioni))
• Definizione: Il campo C è definito da
• C come insieme C = {a,b | a,b ∈ R} ⇔ {a + ib | a,b ∈ R}
• Somma: dati a + ib - c + id ∈ C
• (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
• Prodotto: (dove i² = -1) ⇒ (a + ib)(c + id) = ac + aid + ibc + i²bd = (ac - bd) + i(ad + bc)

Esempio:

(1 + i) · (3 + 2i) = 3 + 2i + 3i + 2i² = 1 + 5i

Dimostrazione:

Si ha:

z₁ · z₂ = ρ₁ (cos β₁ + i sen β₁) · ρ₂ (cos β₂ + i sen β₂)

• = ρ₁ · ρ₂ [(cos β₁ · cos β₂ - sen β₁ · sen β₂) + i (cos β₁ · sen β₂ + sen β₁ · cos β₂)]
• = ρ₁ · ρ₂ [cos (β₁ + β₂) + i sen (β₁ + β₂)]
• = ρ (cos γ + i sen γ)

con ϵ ℤ.

x = ρ (cos θ + i sen θ)

x^m = ρ^m (cos (mθ) + i sen (mθ))

Esercizio

Scrivere in forma algebrica e trigonometrica: 2 | z = 1 / (√3 + i)²

z̄ = (√3 + i)^-2

1. Trigonometria di √3 + i

• ρ = √[ (√3)² + 1² ] = √4 = 2
• β = Arg(√3 + i) (cos β = a/ρ)
• cos β = √3/2 → β = π/6
• z̄ = (2 [cos π/6 + i sen π/6])^-2 = 1/4 [cos -π/3 + i sen -π/3]
• z = 1/4 [cos π/3 + i sen π/3] = 1/4 · (1/2 + i √3/2) = 1/8 + i √3/8

Esercizio: trovare forma algebrica e trigonometrica

(−)⁷+1−1 = −1+−1+ = (−1)²+1² = 2

(−1+) = 2 (2₋₁, 2₁)

• TROVARE
• T.c. che

¹/₂ = . = 3/4¹/₂ = −

− = 2 [ 3/4 ∧ 3/4]

− = 2|−| = |2| = 2 = 2

− = 2 (−¹/₂, 2₁, 2)

• TROVARE
• T.c. che

¹/₂ = − , . = /2

¹/₂ =

− = 2 [ /4, ∧ /4]

Quindi(−)⁷ = 7 [( /2)/2 + ∧ /2/2) = −