Riassunti serie numeriche analisi II De Angelis Elena e Serra Enrico

SERIE

Data successione di numeri reali: {a_n}_n e costruito successione somme parziali {S_n}

si definisce serie di termine generale come:

lim_n→+∞ S_n = Σ a_n^∞_n=1

CARATTERE SERIE

1. lim_n→+∞ S_n = L numero reale finito L. In tal caso Σ a_n^+∞_n=1 è SERIE CONVERGENTE e sua somma vale L

2. lim_n→+∞ S_n = +∞ la serie si dice DIVERGENTE POSITIVAMENTE

3. lim_n→+∞ S_n = -∞ si dice DIVERGENTE NEGATIVAMENTE

4. lim_n→+∞ S_n non esiste si dice SERIE IRREGOLARE o INDETERMINATA

Sia a₁ = 1, a₂ = 2,... a₁₀₀ = 100 la successione somme parziali {S_n}

associata a {a_n}

• S₁ = 1
• S₂ = a₁ + a₂ = 1+2 = 3
• S₃ = a₁ + a₂ + a₃ = 1+2+3 = 6
• S_n = n(n+1)/2

CARATTERE

lim_n→+∞ S_n = lim_n→+∞ n(n+1)/2 = +∞ DIVERGE POSITIVAMENTE

Tolti n inversi di sommare a partire da t:_Σ^∞_n=1 a_n = _Σ^∞_n=k q_n

Numero stero carattere. Il carattere non cambia se si toscura un numero finito di termini.

SERIE A SEGNO COSTANTE: A TERMINI POSITIVI, A TERMINI NEGATIVI

∑ a_n si dice A SEGNO COSTANTE se per ogni n ∈ ℕ i termini della successione numerica {a_n} hanno tutti lo stesso segno, quindi o tutti positivi o tutti negativi.

In particolare:

• SERIE A TERMINI POSITIVI: per ogni n ∈ ℕ : a_n > 0
• A TERMINI NEGATIVI: ∀ n ∈ ℕ : a_n < 0

Nello specifico:

• Una serie è a TERMINI NON NEGATIVI se i termini successione {a_n}, n ∈ ℕ sono non negativi (cioè positivi o nulli); cioè se, per ogni n numero naturale, a_n ≥ 0
• A TERMINI NON POSITIVI se i termini successione {a_n}, n ∈ ℕ sono non positivi, cioè, per ogni n naturale, a_n ≤ 0

SERIE DEFINITIVAMENTE POSITIVE, DEFINITIVAMENTE NEGATIVE

Definitivamente: da un certo punto in poi. Tale punto lo indichiamo con K.

Esempio:

a₁ = -5, a₂ = -4, ..., a₆ = 0, a₇ = 1, a₈ = 2, ... con n > 7

Questa successione è definitiva positiva, da un certo indice in poi a_n ≠ 1 è a termini positivi. Da a₆ = 0 in poi è a termini non negativi. Stesso discorso serie definitivamente negative.

• Una serie a Termini Positivi (o defin. positivi) o converge o diverge positivamente
• Una serie a Termini Negativi (o defi. negativi) o converge o diverg. negativ.

Disuguaglianza soddisfatta. Per -2 < n < = r

Poiché nella serie n varia da 1 a +∞ la serie e i termini defin.

negativi e non potendo essere irregolare, né convergente essa necessariamente

te diverge negativamente.

SERIE GEOMETRICA

E’ una delle pochissime serie di cui si riesce a calcolare molto facilmente

la somma.

Sia q numero reale. Si dice serie geometrica di ragione q:

∑ ^+∞_n=0 qⁿ

CONVERGENZA SERIE GEOMETRICA

• Se modulo della ragione q < 1, ossia -1 < q < 1, la serie
• geometrica converge ed ha per somma 1/1-q
• Se la ragione q ≤ -1, la serie geometrica è irregolare
• Se |q| > 1, diverge positivamente

Nella serie geom. n varia da 0 a +∞. Se indice n non dovesse

Partire da zero ma da altro numero il carattere serie non cambierebbe,

ma in caso di convergenza la somma delle serie cambierebbe

ESEMPI

A) Determinare carattere serie ∑ ^+∞_n=1 (-2/3)ⁿ e se converge determinare la somma

Ragione q = -2/3 = 0,6 → compresa fra -1 e 1 → LA SERIE CONVERGE

Osserviamo che serie viene da n=1 a +∞ e non da zero!

Dobbiamo tenere conto di questo e sottrarre il termine q⁰ = (-2/3)⁰ = 1. Quindi la

somma.

1/1- q -1 = 1/1- (-2/3) -1 = -2/5

Esempi

A) Det. carattere serie ∑_n=1^+∞ n^-5 → si omettra n^-5 = ¹⁄_n⁵ , quindi è

serie armonica generalizzata ∑_n=1^{+∞ 1}⁄_n^x con d = 5 > 1. Converge

B) ∑_n=3^+∞ (-1)^{n 1}⁄_(n-2)² Studiare la convergenza

A mormai è serie armonica a segno alterno. Cerchiamo di riconduci ed esple. Preniamo n-2 = K e vediamo che per n = 3 (Veloce Partent) es della serie) K = 1. Si ottiene:

∑_k=1^+∞ (-1)^{n 1}⁄_k² è una serie arm. a segno alterno e Converge

Criterio confronto per serie o Criterio di Gauss

Siamo ∑_n=1^+∞ a_n e ∑_n=1^+∞ b_n due serie a termini (definivamente) positivi.

Se a_n ≤ b_n xde definitivamente, Possiamo dire:

• - Se ∑_n=1^+∞ a_n diverge (positivamente) allora ∑_n=1^+∞ b_n diverge (positivamente)
• - Se ∑_n=1^+∞ b_n converge allora ∑_n=1^+∞ a_n converge

Osservazioni:

1. a_n ≤ b_n definite significa che tale disequazione non deve vedere necessarmente per ogni n ∈ ^N, ma deve valere da un certo indice in poi. Per "definitivanente" si intende da un certo punto in poi.
2. 2) Se ∑_n=1^+∞ a_n e ∑_n=1^+∞ b_n sono a termini positivi, X devono divergere, necessariamente divergeranno positivamente.

B) Stabilire carattere serie \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( e^{\frac{1}{n}} - 1 \right) \) è a termini positivi e soddisfa condizione necessaria di convergenza, quindi potrebbe convergere o divergere positivamente.

Essa non è una Z-reports, ma ricorda il limite notevole dell’esponenziale \( \lim_{x \to 0} \frac{x - 1}{x} = 1 \) e dato che per \( n \to +\infty \) il termine \( \frac{1}{n} \) tende a zero si ha:

\( \lim_{n \to +\infty} \frac{\left( e^{\frac{1}{n}} - 1 \right)}{\left( \frac{1}{n} \right)} = 1 \) cioè \( a_n \approx e^{1/n} - 1 \)

Il criterio asintotico serie ci permette di concludere che le \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( e^{1/n} - 1 \right), \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) hanno lo stesso carattere

Poiché \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) diverge forti anche serie diverge positivamente.

Criterio ordine infinitesimo per le serie

Sia \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) una serie a termini positivi

1) Se esiste \( \alpha > 1 \) tale che \( \{ a_n \} \) è infinitesimo di ordine \(\alpha\), cioè esiste \( \lim_{n \to +\infty} (n^{\alpha} a_n) = L > 0 \) OPPURE \(\{ a_n \} \) è infin., resto di ordine maggiore di \(\alpha\), ossia esiste \( \lim_{n \to +\infty} (n^{\alpha} a_n) = 0 \) allora la serie \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) converge.

2) Se esiste \(\alpha \leq 1\) tale che \( \{ a_n \} \) è infinitesimo di ordine \(\alpha\)

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