Riassunti serie numeriche analisi II De Angelis Elena e Serra Enrico

SERIE

Data successione di numeri reali {a_n} e costruita successione somme parziali {S_n}, si definisce serie di termine generale a_n come:

lim S_n = ∑ a_n

CARATTERE SERIE

1. lim S_n = numero reale finito L. In tal caso ∑ a_n è SERIE CONVERGENTEe sua somma vale L
2. lim S_n = +∞ la serie si dice DIVERGENTE POSITIVAMENTE
3. lim S_n = -∞ si dice DIVERGENTE NEGATIVAMENTE
4. lim S_n non esiste si dice SERIE IRREGOLARE O INDETERMINATA

Sia a₁=1, a₂=1, ..., a₁₀₀=100. La successione somme parziali {S_n}associata è {a_n}

• S₁=1
• S₂=1+1=2
• S₃=1+1+1=3

S_n = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂

CARATTERE

lim S_n = lim ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂ = +∞ DIVERGE POSITIVAMENTE

Talvolta invece di sommare a partire da 1 si parte da k :

∑ a_n e ∑ a_n

Attenzione: il risultato non cambia se si trascura un numero finito di termini.

SERIE

Data successione di numeri reali {a_n} e costruita successione somme parziali {S_n}, si definisce serie di termine generale (o come):

CARATTERI SERIE

1. è numero reale finito L. In tal caso si è SERIE CONVERGENTE e sua somma vale L
2. le serie si dice DIVERGENTE POSITIVAMENTE
3. si dice DIVERGENTE NEGATIVAMENTE
4. si dice SERIE IRREGOLARE o INDETERMINATA

Sia a₁ = 1; a₂ = 2;..., a₁₀₀ = 100. La successione somme parziali {S_n} associata è {a_n}:

S₁ = 1

S₂ = 1 + 2 = 3

S₃ = 1 + 2 + 3 = 6

CARATTERE

Talvolta invece di sommare e partire dal e

Non ha senso cercare. Il contatore non cambia se si trascura un numero finito di termini.

Serie a segno costante: a termini positivi, a termini negativi

∑ a_n si dice a segno costante se per ogni n ∈ ℕ i termini della successione numerica {a_n} hanno tutti lo stesso segno, quindi o tutti positivi o tutti negativi.

In particolare:

• Serie a termini positivi: per ogni n ∈ ℕ: a_n > 0
• " " negativi: " " n ∈ ℕ: a_n < 0

Nello specifico:

• Una serie è a termini non negativi se termini successione {a_n} n ∈ ℕ sono non negativi (cioè positivi o nulli), cioè se, per ogni n numero naturale, a_n ≥ 0
• A termini non positivi se termini successione {a_n} n ∈ ℕ sono non positivi, cioè, per ogni n naturale, a_n ≤ 0

Serie definitivamente positive, definitivamente negative

Definitivamente: da un certo punto in poi. Tale punto lo indichiamo con K.

Esempio:

Q₁ = 5, Q₂ = -4, …, Q₆ = 0, Q₇ = 1, Q₈ = 2, … con n > 8

Questa successione è definita positiva, da un certo indice in poi Q_n ≥ 1 è a termini positivi. Da Q_c = 0 in poi è a termini non negativi. Stessa diceria serie definitivamente negative.

• Una serie a termini positivi (o defin. positivi) converge o diverge positivamente
• Una serie a termini negativi (o defin. negativi) converge o div. negativi.

Capire se serie è a termini di segno costante

1. St