Formule, esercizi e riassunti Analisi 1

Divisione tra polinomi interi

x³ - 2x² + 5x - 3 ÷ x² - x + 1

1) Si divide x³ per x² ottenendo x; si scrive x vicino al divisore (x² - x + 1) e si procede con la moltiplicazione dei termini del polinomio divisore per il quoziente: x(x² - x + 1) = x³ - x² + x.

2) Si sottrae il risultato trovato dal dividendo principale:

• x³ - 2x² + 5x - 3 - (x³ - x² + x) = -x² + 4x - 3

3) Si divide -x² per x² ottenendo -1; si scrive -1 vicino al quoziente parziale e si ripete il procedimento di moltiplicazione e sottrazione:

• -x² + 4x - 3 - (-x² + x - 1) = 3x - 2

4) Si continua il procedimento finché il grado del resto è inferiore al grado del divisore.

lim_x→0 ^log_(1-x)/_((2-x)²) = ²/_x = 0 = 0

log e^x = xlog = x

lim_x→0 ^sin(x)/_x = 1

log x = -∞

log(e^x tan(x))

log(sen etan)

(e^x)

(sen(x))=0

(tan x)=0

∞ 0=0

∞ 0=e

e⁰ = 1 = 0

lim_x→0 ^log(1-x)/_x = 0

x log(1-x) = 0

e^x log(1-x)

= lim_x→0 ^{log(1 + x)}/_x = 2 * e

log(1-0)

log((e^x*tan(x))=0)

e ⁰⁰ = 1

(e^x)

∞-∞=-∞

∞ - (-∞) = 0

e

∞ * ∞ = 0

1

lim_x→0⁺ [x√(3x + 2)] = 0

lim_x→∞ [√(4x² + 8x) - x] = 2

lim_x→∞ x [√(x + 1) - √(x - 1)]

lim_x→3^- [√(x - 3)] = 0

lim_x→∞ [√(x² + x + 1) - x] = 1/2

lim_x→2 √(x² + 4x + 5) / 2x - 1

lim_x→∞ x/√(2x²+1) = 1

lim_x→0⁺ x√(x) = 0

ESERCIZI

• lim_x→∞ x [√(x²+px) - √(x² + qx)] = 0
• lim_x→∞ [√(x²+A) - √(x² + B)] = 0
• lim_x→∞ [√(x²+2x) - √(x² + x)] = 0
• lim_x→∞ [√(x²+1) - √(x²)] = 0
• lim_x→∞ [√(x²+5) - √(x²+3)] = 0
• lim_x→∞ [√(x²+x) - x] = 1/2
• lim_x→∞ [√(x²-x) - √(x²-3x)] = 0

DE L'HOSPITAL

(Si può usare nei casi 0/0 e ∞/∞)

lim_{x->c} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x->c} \frac{f'(x)}{g'(x)} se:

• lim x->c f(x) = 0 oppure lim x->c g(x) = 0
• salvo quando sono verificate le condizioni sopra

il limite del rapporto tra le derivate:

1. x = 1 nel intorno di x=c f(x) ≠ 0

2. il limite nel rapporto tra le derivate:

lim _{x \to x} \frac {2x^2 + 3x}{x^4} = \infty

Formule Goniometriche

Addizione e Sottrazione

sen(α+b) = senα cosβ + cosα senβ

sen(α-b) = senα cosβ - cosα senβ

cos(α+b) = cosα cosβ - senα senβ

cos(α-b) = cosα cosβ + senα senβ

tg(α+b) = (tgα + tgβ)/(1 - tgα tgβ)

tg(α-b) = (tgα - tgβ)/(1 + tgα tgβ)

Duplicazione

sen 2α = 2 senα cosα

cos 2α = cos²α - sen²α

cos 2α = 2 cos²α - 1

cos 2α = 1 - 2 sen²α

tg 2α = (2 tgα)/(1 - tg²α)

sin²α = 1 - cos²α

cos²α = 1 - sin²α

Bisizione

tg a/2 = ±√((1-cosα)/(1+cosα))

cos a/2 = ±√((1+cosα)/2)

sin a/2 = ±√((1-cosα)/2)

Complemento e Supplemento

cosα = sin(90°-α)

sinα = cos(90°-α)

tgα = cot(90°-α)

cotα = tg(90°-α)

Esercizio

Calcolare le radici quarte di

W = z⁴ = 2 - 2i₃

Forma trigonometrica:

z = x + i y \ coordinata cartesiania

x = 2

y = 2√3

ρ = √(x² + y²) = √4 + 12 = √16 = 4

arg θº_1/6, in gradi θ_x = (120_x cos θ = 2

120 sin θ = 2√3

z = 4

cos (mod [π]([nπ]/4))

W = 4 (cos π - i sen π₃)

Ora 3 ÷ n³ = 2

z³ + 1ⁱ√(π + sen π)

n = 4

Successione

Una successione Xn è crescente se per ogni Xn esiste un n per cui Xn < Xn+m ex decrescente per ogni indice n se per ogni n esiste un n per cui Xn > Xn+m

Per una successione Xn, se esistono b < c e n₀ appartenente ai naturali con n ≥ n₀ allora b < Xn < c in ogni intorno per il punto x

Una successione si può trovare un intero p con ∞ a tratti in un piano di approssimazione e minore di ε

lim an = x n ∈ N (x ∈ R) (≠) Xn appartenente a x. an = 1/n

bn = an

lim an = x ≠ 0 e lim bn/div> = ∞

⇒ bn/div> → ∞ e bn/bn → → -∞

Σ bn = Σ bn/div>

∀ n≥N → lim bn = 0

Serie Armonica generalizzata

diverge

Serie Armonica modificata

converge

Σ 1/x^p per x = 1