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APPLICAZIONI
Si considerano due insiemi non ì A e B
Si dice APPLICAZIONE o FUNZIONE tra A e B un legame/legge di natura arbitraria che associa ad ogni elemento di A uno ed uno solo di B
f: A -> B b=f(a) b ∈ B
A si dice dominio di f L'insieme f(A) è il codominio di f
SURIETTIVITÀ
f: A -> B si dice SURiettiva se l'insieme B coincide con l'immagine f(A) se f(A)=B
f: A -> B è SURiettiva se e solo se ∀ b ∈ B, ∃ a ∈ A | b=f(a)
GRAFICO
Si dice GRAFICO di f: A -> B e si indica con G(f) il sottoinsieme di A×B definito come Gf= [ (a, b) ∈ A×B | b=f(a) ∀ a ∈ A ]
IMMAGINE INVERSA
f: A -> B e b ∈ B si dice IMMAGINE INVERSA di B e si indica con f-1(b) l'insieme degli elementi a ∈ A tali che b=f(a)
f-1(b) = [ a ∈ A | b=f(a) ]
INIEITTIVITÀ
f: A -> B si dice INIETTIVA se ∀ b ∈ B l'immagine inversa contiene un solo elemento
∀ a, a' ∈ A : a ≠ a' -> f(a) ≠ f(a')
BIJEZIONE
Se f: A -> B è sia INIETTIVA che SURiettiva si dice che essa è una BIJEZIONE o CORRISPONDENZA BIUNIVOCA
INSIEMI NUMERICI
N = INSIEME NI NATURALI
OPERAZIONE INTERNA
Si dice operazione interna in A un'operazione che fa corrispondere a due elementi di A un elemento di A stesso.
In N sono definite operazioni interne somma e prodotto. Siano a, b, c ∈ N. Si hanno le seguenti proprietà:
- Associativa: (a+b)+c = a+(b+c) (a.b).c = a.(b.c)
- Commutativa: a+b = b+a a.b = b.a
- Distributiva: (a+b).c = a.c + b.c
- Elemento neutro rispetto alla somma ∀ a ∈ N 0 ∈ N a+0=a
- Rispetto al prodotto ∀ a ∈ N 1 ∈ N a.1=a
Z
Z = INSIEME NI RELATIVI
Z={ 0, ±1, ±2, ±3, ... }
- Elemento inverso alla somma ∀ a ∈ Z ∃ b ∈ Z a+b=0
- a+b=0 → b=-a
Q
Q= INSIEME NI RAZIONALI
Q= { m/n | (m, n ∈ Z) ∩ (n ≠ 0) }
- Elemento reciproco rispetto al prodotto ∀ a ∈ Q ∃ b ∈ Q (a ≠ 0) → b ∈ Q a.b=1
- a.b=1 → b=a-1=1/a
A Funzione Quadratica
f(x) = ax2 + bx + c
q ∈ R \ {0} b, c ∈ R
Per Disegnarla Bisogna Sapere
- Vertice V (xv, yv)
- xv = -b/2a
- yv = -Δ/4a
- Intersezione Asse Ordinata
- yi = f(x)
- f(0) = a ⋅ 0 + b ⋅ 0 + c = c
- x = 0
- Intersezione Asse Ascisse
- y = f(x)
- y = 0 f(x) = 0 ax2 + bx + c = 0
- x1, 2 = -b ± √Δ/2a
Caratteristiche
- Dominio = R
- Codominio = f(R)
- [yv, +∞), a>0
- (-∞, yv], a 0 DF = [0, +∞)
x-n n ∈ IN y ≠ 0
log x x > 0
DOMINIO FUNZIONI ALGEBRICHE
FZ. RAZIONALE INTERA IR
FZ. RAZIONALE FRATTA P(x) a(x)⁄q(x) a(x) ≠ 0
FZ. ALGEBRICA IRRAZIONALE f(x)1/n g(x)
Se n è DISPARI COINCIDE CON IL DOMINIO DI g(x)
Se n è PARI è dato da g(x) > 0
DOMINIO FUNZIONI TRASCENDENTI
FZ. TRASCENDENTE ESPONENZIALE f(x) = ag(x) È dato dal dominio di g(x)
FZ. TRASCENDENTE LOGARITMICA
f(x) = loga g(x) g(x) > 0
FZ. TRASCENDENTE PURA
f(x) = (g(x))h(x)
È dato dall'intersezione domini di g e h privata dei valori di x
tali che g(x) < O
SERIE NUMERICHE
Si dice serie di termine generico an il valore limite delle somme parziali Sn
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
limn→+∞ Sn = limn→+∞ ∑k=1n ak → ∑k=1+∞ ak
Studiare il carattere della serie (se converge ad un numero, se diverge all'infinito o se non esiste) è equivalente allo studio dell'esistenza del limite delle somme parziali
- Se limn→+∞ Sn = S ∑k=1+∞ ak CONVERGE AL VALORE S
- Se limn→+∞ Sn = +∞ ∑k=1+∞ ak È DIVERGENTE E SARÀ ±∞
- Se lim Snn→+∞ INDETERMINATA
TEOREMA CONDIZIONE NECESSARIA PER LA CONVERGENZA DI UNA SERIE
Se ∑k=1+∞ ak = S ➔ limk→+∞ ak = 0 SE UNA SERIE CONVERGE ALLORA IL
lim PER K→∞ DEL TERMINE GEN.
ak È NULLO
DIMOSTRAZIONE
Sk-1 = a1 + a2 + ... + ak-1 E Sk = a1 + a2 + ... + ak
da cui Sk - Sk-1 = ak
PER IPOTESI
K→+∞ limn→+∞ ak - limn→+∞ Sk - limn→+∞ Sk-1 = S - S = 0
Tale condizione non è comunque sufficiente - Esistono serie con termine generico an tendente a 0 ma che non sono convergenti.
Limite destro e sinistro
f : X → Y x0 punto di accumulazione del dominio X di f(x)
limx → x0+ f(x) = l se ∀ε > 0 Ix0+ ( x ∈ Ix0+ ∧ x ∈ X → |f(x) - l| < ε
Ix0+ intorno destro del punto x0
limx → x0- f(x) = l se ∀ε > 0 Ix0- x ∈ Ix0- l x0 ∃n x → |f(x) - l| < ε
Ix0- intorno sinistro del punto x0
Teorema unicità del limite
f : X → D Y se limx → x0 f(x) = l
Tesi l è unico
∀l limx → x0 f(x) → ∃! l ∈ R limx → x0 f(x) = l
Dimostrazione
Siccome ∃ limx → x0 f(x) = l si avrà che
∀ε > 0 ∃ I x0ε Vx ∈ Ix0ε (x ∈ x0 x → |f(x) - l| < ε
ε > (f(x) - l| < ε
Si supponga per assurdo che la tesi l unico è negata, esista l' ≠ 0
Per cui si avrebbe
∀ε > 0 ∃ I l x0ε x ∈ Ix0ε (( ∃02) ∧ x → f(x) - ε'| < ε νvero
∃x ∈ Ix0+ x0 (X 0) x ∩ X si avrebbe per ogni ε > 0
|f(x) - ε'| < |ε' –(f(x) | < ε 1 ε ε' |f' – f(x) < ε
Nel intorno Ix0ε = Ix0ε+ ∩ I x0ε- le relazioni valgono entrambe
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