Riassunti Geometria e Algebra

Versori e proiezioni ortogonali

_ū = _μ / ||_μ|| -> versore _ū, conoscendo _u>_ū -> proiezione ortogonale di _u sulla retta Span(l_s).

Posizione reciproca tra piani

• Paralleli: Hanno stessa retta normale (o multipla).
• Coincidenti: Hanno stessa retta normale e _d (o multipla).
• Incidenti: Se le normali non sono parallele e coincidono.

Posizione reciproca tra rette

• Parallele: Hanno stesso direttore.
• Incidenti: Si intersecano in un punto.
• Sghembe: Se le rette non sono parallele e non sono incidenti.
• Complanari: Se esiste un piano che le contiene.

Posizione reciproca retta-piano

• Incidenti: Si intersecano in un punto.
• Perpendicolare: La direzione di _r coincide con la normale del piano.
• Paralleli: Il vettore direttore è normale.
• Ortogonali: _r⋂π = Ø
• Retta contenuta nel piano se il vettore direttore è span(graciano) e r⋂π ≠ Ø

Distanza punto-piano

d(A, π) = | Qx_a + By_a + Cz_a + d| / √(a² + b² + c²)

Versori e proiezioni ortogonali (ripetizione)

û = _u/^||u|| → versore û, conoscendo u<_u,û>û = proiezione ortogonale di u sulla retta span(û)

Posizione reciproca tra piani (ripetizione)

• Paralleli ⟺ Hanno stessa retta normale (o multipla).
• Coincidenti ⟺ Hanno stessa retta normale e d (o multipla).
• Incidenti ⟺ Se non sono paralleli e coincidono.

Posizione reciproca tra rette (ripetizione)

• Parallele ⟺ Hanno stesso direttore.
• Incidenti ⟺ Si intersecano in un punto.
• Sghembe ⟺ Se non sono parallele e non sono incidenti.
• Complanari ⟺ Se esiste un piano che le contiene.

Posizione reciproca retta-piano (ripetizione)

• Incidenti ⟺ Si intersecano in un punto.
• Perpendicolare ⟺ La direzione di r coincide con la normale del piano.
• Paralleli ⟺ Il vettore direttore è normale.
• Ortogonale ≡ r &suplterer; π = 0
• Retta contenuta nel piano ⟺ Vettore direttore ∈ span(direttore) e r ¬ π ≠ 0

Distanza punto-piano (ripetizione)

d(A,π) = |ax₀ + bx₀ + cz₀ + d| /^{√(a2 + b2 + c2)}

Asse dei riferimenti

• y = 0, z = 0 → asse x
• x = 0, z = 0 → asse y
• x = 0, y = 0 → asse z

Piani cartesiani

• Piano Oxy: ∑z = 0
• Piano Oxz: ∑y = 0
• Piano Ozy: ∑x = 0

Matrici

Prodotto matrice-vettore

\( A \in M_{r\times k,n} \) e \( X \in \mathbb{R}^n \)

Prodotto matrice-matrice

\( A\cdot B \in M_{r\times n} \)
N.B. il prodotto tra matrici non è commutativo.

Matrici quadrate invertibili

\( AX = \Theta_r \leftrightarrow \{ A^1, \ldots, I^m A \} \)
\( (B \cdot A) = I_n \) con \( B = A^{-1} \) matrice invertibile (sol. unica bondes) LIN. INDP.

Trasposizione

\( A^T = \{ (A_1)^T, \ldots, (A_n)^T \} \)
Se \( A (k,n) \) allora \( A^T (n,k) \)
Analogamente \( (A^T)_{ij} = a_{ji} \)
Si distribuisce sulle somme: \( (A+B)^T = A^T + B^T \)
\( (AB)^T = B^T A^T \)
Posso compiere liberamente prime trasposizione o inverse \( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \)

Matrici simmetriche / triangolari

Si definisce simmetrica una matrice \( A \) tale che \( A = A^T \) (quadrata).
Segue dalla definizione che gli elementi fuori dalla diagonale principale sono simmetricamente uguali (Anti-simmetrica \( A = -A^T \)).
Si definisce triangolare superiore una matrice quadrata, che ha le entrate sotto la diagonale principale tutte nulle.
Si definisce triangolare inferiore una matrice quadrata, che ha le entrate sopra la diagonale principale tutte nulle.
Una matrice può essere contemporaneamente triangolare e simmetrica purché le entrate in questione siano tutte nulle.

Determinante

A ogni matrice quadrata è possibile associare il determinante detA.
Det(2x2) ⇒ ^{(a b)}           _{(c d)} ⇒ (ad-bc).

• T. Lapace ➔ Il calcolo del detA può essere fatto sia lungo le colonne che sulle righe, tenendo conto dei suoi elementi.
• Dal teorema consegue che detA = detA^T.
• Il determinante della matrice triangolare e diagonale è il prodotto degli elementi sulla diagonale principale.
• Sono fondamentali 3 proprietà:
• Scambiando 2 colonne, il determinante cambia segno.
• Determinante di A^' ottenuto moltiplicando una colonna A^'.