Riassunti Geometria e Algebra

_ū = _μ / ||_μ|| -> versore _ū, conoscendo _u

>_ū -> proiez. ortogonale di _u sulla retta Span(l_s)

posizione reciproca tra piani:

• PARALLELI hanno stessa retta normale (o multilra)
• COINCIDENTI hanno stessa retta normale e _d (o multirla)
• INCIDENTI se n_s sono paralleli e coincidono

posizione reciproca tra rette:

• PARALLELE hanno stesso direttore
• INCIDENTI si intersecano in un punto
• SGOMBE se n_s sono parallele e non sono incidenti
• COMPLANARI se esiste un piano che le contiene

posizione reciproca retta-piano:

• INCIDENTI si intersecano in un punto
• PERPENDICOLARE la direzione di _r coincide con la normale piano
• PARALLELI vettore direttore è normale ortogonali = _r⋂π = Ø
• retta contenuta nel piano se vettore direttore è span(graciano) e r⋂π ≠ Ø

distanza punto-piano: d(A, π) = | Qx_a + By_a + Cz_a + d| / √(a² + b² + c²)

< V, V > = ||V||²

||V|| = √(x² + y² + z²)

y = 0, z = 0 -> asse x

x = 0, z = 0 -> asse y

x = 0, y = 0 -> asse z

piano Oxy: ∑z = 0, piano Oxz: ∑y = 0, piano Ozy: ∑x = 0

û = _u/^||u|| → versore û, conoscendo u

<_u,û>û = proiez. ortogonale di u sulla retta span(û)

posizione reciproca tra piani:

• paralleli ⟺ hanno stessa retta normale (o multipla)
• coincidenti ⟺ hanno stessa retta normale e d (o multipla)
• incidenti ⟺ se non sono paralleli e coincidono

posizione reciproca tra rette:

• parallele ⟺ hanno stesso direttore
• incidenti ⟺ si intersecano in un punto
• sghembe ⟺ se non sono parallele e non sono incidenti
• complanari ⟺ se esiste un piano che le contiene

posizione reciproca retta-piano

• incidenti ⟺ si intersecano in un punto
• perpendicolare ⟺ la direzione di r coincide con la normale piano
• paralleli ⟺ vettore direttore è normale ortogonale ≡ r &suplterer; π = 0
• retta contenuta nel piano ⟺ vettore direttore ∈ span(direttore) e r ¬ π ≠ 0

distanza punto-piano:

d(A,π) = |ax₀ + bx₀ + cz₀ + d| /^{√(a2 + b2 + c2)}

<v,v>= ||v||²

||v|| = √(x²+y²+z²)

∑y=0   ∑z=0   ∑x=0   ∑y=0   ∑z=0   ∑x=0

piano Oxy: ∑z=0, piano Oxz: ∑y=0, piano Ozy: ∑x=0

MATRICI

prodotto matrice-vettore: \( A \in M_{r\times k,n} \) e \( X \in \mathbb{R}^n \)

prodotto matrice-matrice: \( A\cdot B \in M_{r\times n} \)

N.B. il prodotto tra matrici non è commutativo

matrice quadrate invertibili: \( AX = \Theta_r \leftrightarrow \{ A^1, \ldots, I^m A \} \)

\( (B \cdot A) = I_n \) con \( B = A^{-1} \) matrice invertibile (sol. unica bondes) LIN. INDP.

trasposizione: \( A^T = \{ (A_1)^T, \ldots, (A_n)^T \} \)

• se \( A (k,n) \) allora \( A^T (n,k) \)
• analogamente \( (A^T)_{ij} = a_{ji} \)
• si distribuisce sulle somme: \( (A+B)^T = A^T + B^T \)
• \( (AB)^T = B^T A^T \)
• posso compiere liberamente prime trasposizione o inverse \( (AT)^{-1} = (A^{-1})^T \)

matrici simmetriche / triangolari: (quadrate)

• si def. simmetrica una matrice \( A \) t.c. \( A = A^T \) (quadrata)
• segue dalla def. che ene hanno el fuori dalla dir princiale che simmetricamente uguali (Anti-simmetrica \( A = -A^T \)).
• si def. triangolare superiore una matrice quadrata, che ha le entrate sotto la diag. principale tutte nulle
• si def. triangolare inferiore una matrice quadrata, che ha le entrate sopra la diag. principale tutte nulle
• una matrice può essere contemporaneamente triangolare e simmetrica fuorc i nno queste entrate i tutte nulle.

DETERMINANTE:

ad ogni matrice quadr è p. ss. associare detA-1A1

det(2x2) ⇒ ^{(a b)}           _{(c d)} ⇒ (ad-bc)

• T. LAPACE ➔ il calcolo del detA puo esser fatto sia lungo le colonne che sulle righe, tenendo conto dei suoi elementi.

• Dal T. consegue che detA = detA^T

• il det. della matrice triangolare e diagonale e il prodotto degli elementi sulla diag. principale

• Sono Fondamentali 3 propi:

• Scambiando 2 colonne il det. cambia segno
• det di A^' ottenute moltiplicando una colonna A^'