Algebra lineare e geometria - schemi e riassunti

1) AUTOVALORI - AUTOVETTORI

F(v) = λvAv = λv

AUTOVALORI

det(A - λI)

AUTOSPAZI - AUTOVETTORI

(A - λI) _Xλ = 0

• DIAGONALIZZABILE

SI → (A matrice x h, devono 3 h autovettori LID. )Autovalori tutti distinti → Autovettori un. LID.

SI!A = SDS^-1 → A = M.G. per ogni autovalore

• ESPOSENZIALE DI UNA MATRICE

2) SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI

NORMA

||V|| = √_i=1^h v_i²

v,v = √(λ_h → 0)

v ⊥ v

PRODOTTO VETTORIALE

v . w = ∑_i=1^h ai . bi

Cos() = v . w / ||v|| . ||w||

v . w = cordinato ed ortogonogagli

(v . w = 0, ortogonale iga loro)

||v||

• v . v

Base ortò ginale:

• v_jl = dimU + u, che ne deve
• essere i tutti vettori di base di J occhi
• proiezione: = v U
• proiezione = v_L

V! = V - w_E(u) → proottio di PAG 473

V! = - (V - w)_U

FORME BILINEARI SIMMETRICHE

funzioni:

• v e vi pari di tag
• v . w
• g(u,v) = 0,² + 0^Lv - ties. = prodotto

• scalare

g(v,w) = v . w

SOMME.+

Indefinita

nucleo ker g = {v∈V | g(v,u)

∀u∈V }

• per trovare il vetor
• non degegere
• deg = 0
• degele →
• Ker g = {v
• deg=0

Matrice G = (g_ij)

G_ij = g(V_i ; V_i)

G = G^T

G' = P^T . G . P

P ∈ U matrice di cambiamento di base

Se P_j = P^-1

di base ortogonale

1) Autovalori - Autovettori

Autovalore

F(v) = λv

Av = λv

deg(A - λI) = 0

Diagonalizzabile:

sì → A

Autovalori tutti distinti

A = SDS^-1

Esponenziale di una matrice: e^tA = Se^tDS^-1

2) Spazi vettuoriali euclidei

Norma:

||v|| = √(v · v)

Prodotto vettoriale:

• v · w = ∑_i=1ⁿ a_ib_i

Angolo:

cosθ = ^{v · w}/_{||v|| ||w||}

Ortogonalità:

v · w = 0 → v ⊥ w

Base ortogonale:

proiezione di u₁ su v

Forma bilineare simmetriche:

prod. scalare g(v, w) = v · w

Nucleo:

Ker g = {v ∈ V | g(v, u) = 0 ∀ u ∈ V }

Matrice:

G = (g_ij)

Gʹ = P^T · G · P

Se P^-1 = P^T → Matrici ortogonali

Spazio Affine Geometria

• Somma Punto-Vettore Q = P + v
• Differenza Punto-Punto v = Q - P
• Eq. Parametrica Retta x = P + λv
• Eq. Parametrica Piano x = P + λv + μw

• Punto Medio (P + Q) / 2
• Baricentro (A + B + C) / 3

Distanza Punto-Retta

d = \(\frac{{\| (P - Q) \times v \|}}{{\| v \|}}\)

Distanza Punto-Piano

d = \(\frac{{|2aP₁ + ... + 2aₙPₙ + d|}}{{\sqrt{{a₁² + ... + aₙ²}}}}\)

Fascio di Piani

α₁(Eq. 1) + α₂(Eq. 2) = 0

Prodotto Vettoriale

u × v = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)

Area Parallelogramma

\(\| u \times v \|\)

Area Triangolo

\(\frac{{\| u \times v \|}}{2}\)

Distanza Retta-Retta

h = \(\frac{{| (v₁ × v₂) · w |}}{{\| v₁ × v₂ \|}}\)

Coniche x² + bx² + cxy + dy + e = 0

D₁

CAMPO (K)

UN CAMPO K È UN INSIEME NON VUOTO DOTATO DI 2 OPERAZIONI(SOMMA " + " E PRODOTTO " . ") CHE SODDISFANO LE SEGUENTI PROPRIETÀ:

1. P. ASSOCIATIVA DELLA SOMMA
2. C. COMMUTATIVA DELLA SOMMA
3. E₂ DELL'ELEMENTO NEUTRO PER LA SOMMA
4. I₂ DELL'ELEMENTO OPPOSTO PER LA SOMMA
5. A. ASSOCIATIVA DEL PRODOTTO
6. N. ELEMENTO NEUTRO PER IL PRODOTTO
7. O. DELL'ELEMENTO NEUTRO PER IL PRODOTTO
8. A. OPPOSTO/INVERSO DEL PRODOTTO
9. D. DISTRIBUTIVA

D₂

SPAZIO VETTORIALE (V)

UNO SPAZIO VETTORIALE V SU UN CAMPO K È UN INSIEME NON VUOTODOTATO DI 2 OPERAZIONI (SOMMA " + " E PRODOTTO DI UN VETTORE PER UNOSCALARE " . ") CHE SODDISFANO LE SEGUENTI PROPRIETÀ:

1. A. ASSOCIATIVA DELLA SOMMA
2. C. COMMUTATIVA DELLA SOMMA
3. E₁ DELL'ELEMENTO NEUTRO (0) VETTORE NULLO PER LA SOMMA
4. I₁ DELL'ELEMENTO OPPOSTO DI UN VETTORE PER UNO SCALARE
5. DISTRIBUITIVA RISPETTO ALLA SOMMA DI