Appunti e riassunti di Algebra e geometria lineare

Adue dominiovuoti A modoB. BAnon e 'e uninsiemi >una con :e: elementoconsente elementodidi A Bdiche adassociare ogni unci fA ☐÷• ..• ;. .•. f A B>: ?f:b a'Esempio t.c.fm/=nf >: : {f{ } }914,93,4 io0,1 2., .., .. ..Funzioni Iniettive: Una filofunzione faF detta f. =DAiniettivaA fra )B )lo' #se a.e: c.c-,)cortzononino.ie( frase =Dfilo/ ) a= A BI0o °° 0 OyFunzioni Suriettive: Una t.cisuriettivaF V-beba.cadettafunzione A /fra =DB ' se: e BA o)°o ÷°•Funzioni Biunivoche/Biettive: Data dettaF questa te Hai9 !biunivocaA a.CAbebb =Dè -se>: , .A B° i Jo, ° °°o > yTeorema: f suriettivainiettivabiunivocaA che'sia> e: edimostrazione F ( )aea!] fra =Dbebbiunivoca /- :: - p :Inattività che Debfian /prendiamo A Fia / =Dsupponiamo: conc-a a e =, ,, , .Allora 7 !definizione >(a):-(A =D areaper ad. c- =,Suzetività tlbeb fraesiste teAEAalmeno / =Duna:

..esistedefinizione neper proprio unoaf biunivoca detta invertibile' :eDefinizione La Iaea ffunzione identicaf te funzionefiala dettaa idaa> 'e: :: =. compostaSe funzionedefiniamoDefinizione f f:BA B Ag >>: > c:eg: e f 9, B ea f9f A B>: f^f-f jr " "f F' f aa ggDefinizione funzioneUna F invertibiledettaA ' seie: : -^ " ^3- f- off. f- f f-da id:b A : e> :c =/ = ,.Strutture Algebriche: Gruppi, Anelli e CampiDefinizione ()(vuoto binarie )poi ✗e siano neor✗ ✗non ✗: : ✗= , _ . ,, ._strutturaDefiniamo IX algebrica)9 on- . . ,, ,✓ f.Esempio aha- × miC ntme1✗ :o: == =, ., ,.Proprietà delle Operazioni:Sia struttura algebrica( -11 :una× ,Associativa V-a.be1 la -1101 c)-111a-1C: e +>= it.cineutroElemento2 : - =D-10che ae a ;- ✗f.YaealgebricoInverso3 '': eta Oxe c.a = ;facommutativa be =Datto: -1A- ;,Distributiva Siano due5 binarie Dice: - :operazioni+ .e a.,/ b( )i Dia. -1C a. a. ci=I.ii la -11

111' -11(< e-1 un Abeliano: . × gr,, . ., associativo•?( 1 ' distributivai. • campoe un f.ha 3- 7-7 ✗ 1inverso c ✗non e =. Campo AbelianoIX: -11 gr .,( ) IX. Abeliano' /-1 campoe un. gr.\ , , .% È )1-)IQ / (b+ =D:-1 o, =LÈ GruppoÈ ÈE I.! %( ^ ( associativo) iV. -1 -11in' c- ×:e - :: _. c.n = ,, elemento NeutroR R( ) Inverso algebrico' >campo-1 t.es #un. e c-✗ =, . Abeliano commutativa{ }| / :b behE i'' a:. -1e-1 a.campo -1un e ==, . -4 ± Zi=Teorema Fondamentale dell’Algebra:Ogni ammettecoefficienti almenopolinomio radiceEa unaTeorema:Sia dominio (integritàdi behVa I bio>K ' a.campo se oa-=Dune >un ,,Esempio 7. =D: =D✗ ✗Se integrità chestruttura ammettedi dice dellodominioalgebrica allora divisoriè zerosinonuna { }Esempio continue:[ Af f >0,1: = "{dove) f. flalgixidx( f # :g =, ) integritàdidominio'* non uneAlgebra

Lineare:Vettori: Introduzione e Esempi

1. Se introduciamo un sistema di riferimento cartesiano il piano si può identificare con l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali. Ad ogni punto è possibile associare un vettore che possiamo pensare come un segmento orientato avente per estremi l'origine e il punto stesso. Ne segue quindi che possiamo "identificare" il vettore OP con la coppia ordinata (x,y) delle coordinate del punto P e scrivere v=(x,y) invece di v=OP.
2. Somma: dati due vettori v= (x ,y ) e w= (x ,y ), la loro somma è un vettore avente per componenti la somma delle componenti di v e w, quindi v+w= (x+x, y+y)= (2x, 2y).
3. Esempio: siano v= (1,2) e w= (3,1) due vettori nel piano; determinare v+w. v+w= (1+3, 2+1)= (4,3).
4. Il modulo del vettore somma è minore o uguale della somma dei moduli dei 2 vettori sommati.
5. Disuguaglianza Triangolare.