Riassunti analisi 1 e formule notevoli

(Scritto) Analisi I: Cosa mi possono chiedere?

1. Numeri Complessi
   1. Portare in forma cartesiana un numero complesso scritto in forma polare o viceversa;
   2. Disegnare un insieme sottostante di ℂ (esempio {z ∈ ℂ | |z-2|=1});
   3. Trovare gli zeri di un polinomio e rappresentarlo su un piano di Gauss;
   4. Trovare il coniugato di un numero complesso;
   5. Trovare modulo e argomento di un complesso;

Esercizi dati su questa parte:

1. z = -√3 + i; |z| = ? Arg(z) = ?
2. ℂ ∈ P; Portare in forma x + yi (x,y ∈ ℝ)
3. {z ∈ ℂ | |z-i| ≤ 1 ∧ |z-1| = 1} → Disegnare
4. {z ∈ ℂ | Re(z^2) > 0} →
5. {z ∈ ℂ | |z-i| > Im(y)} (con z = x+iy) →
6. Calcolare (1/(1+i)³)
7. Calcolare (1-i)²
8. Z₄ = -i; |z₄| = ? Arg(z₄) = ?
9. z₂ = -1-i → →
10. z₃ = (3 + √3) / 2 → →
11. {z ∈ ℂ | 17 ≤ z + 1 ≤ |z|} → Disegnare
12. {z ∈ ℂ | |z| > 2 Re(z)} →

(scritto) ANALISI I: Cosa mi possono chiedere?

1. Numeri Complessi
   1. Portare in forma cartesiana un numero complesso scritto in forma polare o viceversa;
   2. Disegnare un'quazione, sottinsieme di ℂ (esempio: \( \{ z \in \mathbb{C} \; | \; |z-2|=1 \} \));
   3. Trovare gli zeri di un polinomio e rappresentarlo su un piano di Gauss;
   4. Trovare il coniugato di un numero complesso;
   5. Trovare modulo e argomento di un complesso.

ESERCIZI DATI SU QUESTA PARTE:

1. \( z = - \sqrt{3} + i \); \; \( |z| = ? \) \; Arg(z) = ?
2. \( \frac{1-i\sqrt{3}}{1-i} \) Portare in forma \( x+iy \) \( (x,y \in R) \)
3. \( \{ z \in \mathbb{C} \; | \; |z-i| \leq 1 \land |z-1| = 1 \} \) \; Disegnere
4. \( \{ z \in \mathbb{C} \; | \; Re(z^2) \gt 0 \} \)
5. \( \{ z \in \mathbb{C} \; | \; |z-i| \gt Im(y) \} \) \; (con \( z = x+iy \))
6. Calcolare \; \( \frac{1}{(1+i)^5} \)
7. Calcolare \; \( (1-i)^2 \)
8. \( Z_1 = -i \) \; \( |Z_1| = ? \) \; Arg(z) = ?
9. \( z_2 = -1 - i \) \; "" \; ""
10. \( z_3 = \frac{3 + i\sqrt{3}}{1 + i} \) \; "" \; ""
11. \( \{ z \in \mathbb{C} \; | \; 1 \leq |z + 1| \leq 12 \} \) \; "" \; "" \; Disegnere
12. \( \{ z \in \mathbb{C} \; | \; |z| \gt 2 \; Re(z) \} \)

Come si trova l'argomento di un numero complesso? (Metodo consigliato da Hizar)

• x = R . cos α
• y = R . sen α

()

• cos α = x/R
• sen α = y/R

dove R è il modulo del numero complesso.

Come si trova il modulo di un numero complesso?

R = |z| = √Re_(z)² + Im_(z)²

Forma Trigonometrica (o Polare)

q = A + B.i. (FORMA CARTESIANA)

Dato il modulo |z| e l'angolo α

z = |z| [cos(α) + i sen(α)]

(FORMA POLARE)

2) Limiti

1. Ora: calcolo dei limiti, non tuttavia DIMOSTRATI.

   • Dimostrare che la funzione non ha limite per x -> x₀ significa trovare due sottosuccessioni della funzione di partenza che hanno 2 limiti diversi, contraddicendo unicità del limite.
   • Raccogliere sempre perché nei limiti più ampi il termine di grado minimo nelle partizioni, al fine di dimostrare il risultato.

2. De l'Hopital: Ricordarsi di verificare che le ipotesiano soddisfatte prima di applicare.

Esercizi DATI su QUESTA PARTE (elim.)

1. Nⁿ²_n²+1   (n -> +∞)

2. 3ⁿ + sen(n)   (n -> +∞)(-1)ⁿ2 + 3ⁿ_n²

3. 3ⁿ + sen(n)   (n -> +∞)2ⁿ + (-1)ⁿ3ⁿ_n²

4. √(n+1+   N√n   (n -> +∞)

5. ⁽ⁿ⁺¹⁾²_n   (n -> +∞)

6. Nⁿ²⁺¹ - n   (n -> +∞)

7. Nⁿ -   N + nz^n2-3/2√_nn+1   (n -> +∞)

8. (-1)ⁿnⁿ_n²+1   (n -> +∞)

9. (1+¹_n)n²   (n -> +∞)

10. Nⁿ²⁺²ⁿ - n   (n -> +∞)

(11) lim_x->0 ^{x · cosx + senx}/_x^N√x+1

(12) lim_x->0 ^{x · sen (1/x)}/_{ln (1 + x)}

(13) lim_x->0^- (sen(x))^1/sen(x)

(14) lim_x->0 ^{sen (π cos(x))}/x

(15) lim_x->∞ ^{sen (π sen (πx))}/x

(16) lim_x->+∞ ^{x + N x}/_{3x + cos(x)}

(17) limx->0+ x cosx + senx/xN x + 1

(18) lim_x->0 ^{sen x - x}/_x³

(19) lim_x->0 x ln ^x+1/_x+2

(20) lim_x->0 (x² - ¹/_{x senx})

(21) lim_x->∞ ^{3 √(x}-¹⁾

(22) lim_x->1 (x)⁽¹-^1/x)

(23) lim_x->0 ^{ln (1 + senx)}/_{sen (2x)}

(24) lim_x->+∞ ^{x + senx}/_{√x²-1 + senx}

(25) lim_x->+∞ ^{x senx}/_{√x²-1 + senx}

FUNZIONI E/O DE L'HOPITAL?

3) Serie Numeriche

• a) Serie a termini positivi (Σ_n=m a_n, a_n ≥ 0 def.):
  • Confronto
  • Confronto asintotico
  • Rapporto
  • Radice
  • Integrale
• b) Serie a segno alternato (Σ_n=m (-1)ⁿ a_n, esempio def.)
  • Leibniz
• c) Serie di potenze reali (Σ_n=0 ∞ a_n xⁿ, x ∈ ℝ)
• d) Serie di potenze complesse (Σ_n=0 ∞ a_n zⁿ, z ∈ ℂ)

Esercizi dati in questa parte:

1. (Σ_n=2 ∞ (-1)ⁿ), m = 2, M =ℕ
2. Σ_n=2 ∞ ^{3n2 + 1}/_{n² + n + 1}
3. Σ_n=0 ∞ ^{3n + 1}/_{n⁴ + 13ⁿ + 1}
4. Σ_n=0 ∞ ¹/_{n³ + 2ⁿ}
5. Σ_n=0 ∞ ²ⁿ/_n!...

(2) Dimostrare che Σ_n=2 ∞ a_n^(-4) converge, dove a_n sono numeri naturali tra 0 e 9.

4. Σ_n=1 ∞ (¹¹/_n+1)ⁿ²
5. Σ_n=1 ∞ ^{n2 + sen-1(n)}/_{2ⁿ - n + 1} ... come succede per α = 2, 3, 4 ?
6. Σ_n=0 ∞ ⁿ²/_3ⁿ
7. Σ_n=2 ∞ ^ln(n)/_n^...

(11) ∑_n=0^∞ ( ⁿ⁺¹/_n+2 ) ^xn/_3ⁿ

(12) ∑_n=1^{∞ (2x+3)n}/_4ⁿn!

(13) ∑_n=1^∞ (2x+3)ⁿ/_n!+6ln(n)

(14) ∑_n=1^∞ xⁿ/_n!+8ln(n)

(15) ∑_n=1^{∞ 1}/_n! ( ^x+2/₂ ) ⁿ

(16) ∑_n=0^∞ n³ (2x-3)ⁿ

(17) ∑_n=2^{∞ 1}/_(ln(n))^n/2

(18) ∑_n=1^∞ (-1)ⁿ sen(¹/_n)

(19) ∑_n=0^{∞ n2}/_(3n)! xⁿ

(20) ∑_n=0^∞ 2ⁿ (x-3)ⁿ

(21) ∑_n=0^∞ (2ⁿ3ⁿ) zⁿ con z∈ℝ e r=¹/₃

(22) ∑_n=0^∞ ( ¹/₃ + ¹/_n! )ⁿ zⁿ con z∈ℝ

4) Derivate

• a) Anche qui avrei: trovare le funzioni derivate.
  • Prodotto: \(f'(x)g(x) + g'(x)f(x)\) = \((g(x)f(x))'\)
  • Quoziente: \(\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}\)
  • Composta: \(\left( f(g(x)) \right) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)

Esercizi dati in questa parte:

Trovare \(f'(x)\) per:

1. \(f(x) = x^3 \ln \left( \cos (x^2) \right)\)
2. \(f(x) = x^{\alpha}\), con \(\alpha \in \mathbb{R}\) (Dimostrazione)
3. \(f(x) = \arctan (x)\)

5) Studio di funzione

1. Dominio
2. Segno
3. Simmetrie
4. Intersezioni
5. Studio agli estremi (limiti)
6. Crescenza/Decrescenza (Derivata prima)
7. (Speriamo chieda Concavità/Convessità (Derivata seconda))
8. (Una volta è stato chiesto)
9. Approssimazione delle funzioni con polinomi di Taylor
10. Va riportato tutto bene sul grafico

Esercizi dati in questa parte

1. f(x) = ^x2/_x

2. f(x) = ln ^(x2)/_(1+x²)

3. f(x) = ³√e^x-1

4. f(x) = e^x-2/_x

5. f(x) = (2 + ln|x|)/(2 - ln|x|)

Integral

1. Indefiniti

   • Regola della sostituzione
   • Integrazione per parti
   • Integrali "immediati"
   • RICORDARSI d

   cosL²x = senL²x = 1

2. Curvilinei di superficie

   • (con f(x,y) = e γ(t) = (- - -) x(t)
   • t∊[- - -] (- - -) y(t)
   • si calcola γ'(t) = (^x'(t)/_y'(t))
   • si calcola ||γ'(t)||
   • si ottiene che (^x,y) = f(_x(t),y(t))
   • (in pratica si sostituisce)
   • si calcola l'integrale DEFINITO:

   ^{∫f(x(t),y(t)) · ||γ'(t)||dt} (t∊[- - -])

c) Cambiar di variabile

∫F dφ

(con F: F = (x,₀) = (x,_t))   [x_t^'dt        x(t)^'dt]

Fatte queste premesse, basta usare queste formule:

∫F dx + F dy con t ∈[...]

Ricordando che:

• dx = x_t^' dt
• dy = y_t^' dt

Esempi: Dati in questa parte ⋯

• / Equazioni Differenziali:
• a) Equazioni Differenziali Lineari

y^' = f(x)y + g(x)

\

1. d/dx_y = f(x)
2. (_dy)^y = f(x) dx

C_(x)- y(x) = C(x) y_j

Problema di Cauchy: [y(x₀) = y₁]

b) Equazioni Differenziali a variabili separabili

y' = b(y)·a(x)

• trovare le soluzioni costanti  (y(x) = K)

Pongo  y'(x) = 0 (è costante!)

∀x ⇒ 0 = b(K)·a(K)

⇒ b(K) = 0

(posso evitare di considerare a(x) in quanto

cerco soluzioni costanti ∀x)

• Una volta trovate le soluzioni costante:

y = Ku

coefficiente è risolutivo con il problema di Cauchy

y(x₁) = Ku

• Se y(x) non è soluzione costante, allora si ha

y' / b(y) = a(x)   ⇔   dy / b(y) = a(x) dx

e si procede come prima

8) TRACCIA di una funione dove

γ (t) = (x(t)) (- - -) t ∈ [- -]

(y(t)) t ∈ [- -]

Esempio:

γ(t) = (x(t))

(y(t))

1) (2cos(t) = x)

(2sen(t) = y) ⇒ (cos²t + sen²t - 1)

x² + y² = 4

“ CURVA DA SEGUIRE”

[ (2cos t 2) (2cos)

2sen t 2] (2c0)

(0, -2) t ∈ [- -] x

2) 2 - t = x ⇔ y = 4(2 - x) - (2 - x)²

y = 4 - x²

“CURVA DASEGUIRE”

[ (2 - 0) (2 - 4)

(4 - 0) (4 - 4)

3) x = t - 6

y = 4 - t ⇔ y = - x - 2

“CURVA DA SEGUIRE”

[ (4 - 6) 6 - 6

(4 - 4) (4 - 6)

(2,0)

(-2,0)

t ∈ [0,4]