Riassunti statistica

STATISTICA

1 SLIDE

La statistica è la scienza che studia i fenomeni collettivi attraverso l’elaborazione e la valutazione dei dati

riguardanti tali fenomeni.

Lo scopo della statistica è offrire il metodo per la conoscenza quantitativa dei fenomeni collettivi.

Fenomeno è tutto ciò che può essere direttamente o indirettamente osservato (esempio la qualità della vita di

una popolazione).

Fenomeni collettivi sono i fenomeni naturali o sociali costituiti da una pluralità di unità elementari la cui

e misura richiede l’osservazione di tali unità (natalità, mortalità)

conoscenza

Collettivo statistico è l’insieme che si studia.

Fenomeno collettivo è l’aspetto del collettivo sul quale si indaga.

Il collettivo statistico è formato da elementi singoli chiamati Unità statistiche, che possono essere omogenee

rispetto a uno o più aspetti.

Le unità statistiche sono le componenti elementari del collettivo su cui si effettua lo studio e possono essere:

 SEMPLICI

 COMPOSTE

 MULTIPLE

I caratteri di una unità statistica sono le caratteristiche presenti in essa e possono essere:

QUANTITATIVO→ indicato mediante espressioni numeriche (età, reddito)

1. QUALITATIVO→ indicato mediante espressioni verbali (professione, titolo di studio)

2.

I VALORI (che sono caratteri quantitativi) e gli ATTRIBUTI (che sono caratteri qualitativi) delle unità

statistiche si presentano con modalità diverse da unità a unità.

La STATISTICA SOCIALE è una statistica applicata ed è la disciplina che studia i fenomeni sociali sotto

l’aspetto quantitativo; attraverso il METODO INDUTTIVO, cerca di individuare le REGOLARITÀ e tutte le

possibili relazioni esistenti tra detti fenomeni.

Tali regolarità hanno un valore limitato nel tempo e nel luogo.

Il METODO INDUTTIVO è un procedimento a posteriori, in quanto dall’esame dei fatti si risale alle leggi

che regolano i medesimi.

I FENOMENI SOCIALI che riguardano la società sono:

1. La DEMOGRAFIA

2. La STRUTTURA SANITARIA

3. La STATISTICA ECONOMICA

La RICERCA PURA comporta la verifica di ipotesi sulla base di concetti astratti e non immediatamente

utilizzabili, ma necessari per il perfezionamento di una teoria.

La ricerca applicata ha come scopo la risoluzione di problemi sociali di immediato interesse.

La ricerca applicata o rilevazione statistica si articola in 4 fasi:

1. PROGRAMMAZIONE

2. RILEVAZIONE

3. ELABORAZIONE INTERPRETAZIONE DEI DATI

Prima di avviare un processo di ricerca bisogna VALUTARE e INDIVIDUARE:

 Lo scopo della ricerca

 Il budget

 Le risorse umane da impiegare

 I tempi necessari alla realizzazione dell’indagine.

Occorre, quindi:

 Definire il tema e gli aspetti su cui indagare

 Procedere al riconoscimento del materia bibliografico

 Formulare delle ipotesi.

La PROGRAMMAZIONE è la fase in cui si predispone il piano di rilevazione.

La definizione delle unità di rilevazione richiede:

 CHIAREZZA

 ESATTA INDIVIDUAZIONE

 STABILIRE I CARATTERI QUANTITATIVI E QUALITATIVI.

Il piano di rilevazione deve indicare:

 I supporti da usare (questionario)

 – –

Da chi deve essere eseguita la rilevazione (automatiche dichiarazione spontanea; riflesse

questionari auto compilati)

 Estensione territoriale

 Periodo e durata della rilevazione

 Categorie da includere

 Ampiezza della rilevazione

2 SLIDE

MODALITÀ→ descrive il modo in cui si presenta una certa unità statistica

FREQUENZA→ indica il numero di volte con cui si presenta una data modalità del carattere.

Il CARATTERE QUANTITATIVO di un’unità statistica si chiama VARIABILE STATISTICA (xi) e può

–

essere: DISCRETA (numeri interi) CONTINUA (con intervalli).

Il CARATTERE QUALITATIVO si chiama MUTABILE STATISTICA (ai) e può essere:

RETTILINEA (c’è una successione) – CICLICA (c’è un ordine, graduatoria) – SCONNESSA (professione,

religione)

I CARATTERI QUALITATIVI SCONNESSI sono VARIABILI NOMINALI e si presentano con modalità:

 NON NUMERICHE

 NON ORDINABILI

I CARATTERI QUALITATIVI CICLICI O RETTILINEI sono VARIABILI ORDINALI e sono:

 NON NUMERICHE

 ORDINABILI

I CARATTERI QUANTITATIVI sono VARIABILI CARDINALI e sono:

 NUMERICHE

 DISCRETE O CONTINUE

 ORDINABILI.

Quando il ricercatore avrà individuato le unità di analisi più appropriate per i suoi obiettivi, le caratteristiche

più rilevanti, le modalità di queste e avrà misurato le modalità rispetto a tali caratteristiche si passerà

all’ANALISI STATISTICA DEI DATI.

Ci sono tipi diversi di analisi, come:

– –

UNIVARIATA BIVARIATA MULTIVARIATA.

La DISTRIBUZIONE costituisce una sintetica descrizione della popolazione studiata rispetto ad una o più

variabili.

La SERIE è una distribuzione che non presenza frequenze.

La DISTRIBUZIONE DI FREQUENZE è l’insieme delle MODALITÀ-FREQUENZE.

La TABELLA STATISTICA è utilizzata per rappresentare meglio la distribuzione di frequenza.

La FREQUENZA ASSOLUTA indica quante volte la modalità di un carattere si ripete.

2 CARATTERI QUANTITATIVI DELLO STESSO TIPO si chiamano: VARIABILE STATISTICA

DOPPIA

2 CARATTERI QUALITATIVI DELLO STESSO TIPO si chiamano: MUTABILE STATISTICA DOPPIA.

FREQUENZA ASSOLUTA→ indica il numero di unità statistiche che presentano la stessa modalità.

FREQUENZA RELATIVA→ indica la proporzione di unità statistiche che presentano la stessa modalità, si

ottiene dividendo la frequenza assoluta per il numero di unità statistiche.

La FREQUENZA si divide in 4 tipi:

PROPORZIONI→ freq. Assoluta / n. tot. Dei casi ( ∑ yi = 1 )

1. PERCENTUALI → freq. Assoluta / n. tot. Dei casi * 100 ( ∑ pi = 10 )

2. CUMULATE→ indica quale numero di casi non arriva alla categoria successiva

3. indica quale numero di casi arriva alla categoria successiva e oltre.

4. RETROCUMULATE→

Modalità del carattere Frequenza Assoluta Cumulate Retrocumulate

(xi) (ni) (Ni) (N-Ni)

x1 n1 N1 = n1 N

x2 n2 N2= n1+n2 N-N1

x3 n3 N3 =n1+n2+n3 N-N2

TOTALE N

Modalità Frequenze % Cumulate Retrocumulate

Assolute

(xi) (ni/N*100) (Ni) (N-Ni)

(ni)

SENZA TITOLO 30 2,5 30 30

LIC. 509 42,4 539 1170

ELEMENTARE

LIC. MEDIA 342 28,5 881 661

DIPLOMA 264 22 1145 319

LAUREA 55 4,6 1200 55

TOTALE 1200 100

RIEPILOGO: ASSOLUTA→ ∑ ni

FREQUENZA

FREQUENZA RELATIVA→ yi= ni/N→ ∑yi=1

FREQUENZA PERCENTUALE→ pi=ni/N*100 →∑pi=100

FREQUENZA CUMULATA→ Ni

FREQUENZA RETROCUMULATA→ N-Ni

3 SLIDE

Le distribuzioni si possono presentare in forma TABELLARE O GRAFICA.

Prima di procedere alle rappresentazioni grafiche bisogna conoscere il tipo di variabile (nominale, ordinale o

cardinale)

Ogni variabile ha il suo grafico.

Le rappresentazioni possono essere lineari o circolari.

→ GRAFICI A BARRE O ORTOGRAMMI (A COLONNA –

VARIABILI NOMINALI A NASTRI)

→DIAGRAMMI CIRCOLARI

(Caratteri qualitativi sconnessi)

VARIABILI CARDINALI DISCRETE → DIAGRAMMI IN COORDINATE CARTESIANE

(Caratteri quantitativi)

VARIABILI CARDINALI CONTINUE→DIAGRAMMI IN COORDINATE CARTESIANE

(Caratteri quantitativi) CONTINUE DIVISE IN CLASSI → ISTOGRAMMI

VARIABILI CARDINALI

(Classi di valori- caratteri quantitativi)

Il confronto tra i dati deve essere fatto PER DIFFERENZA o PER RAPPORTO.

Il rapporto indica quante unità del dato posto al numeratore corrispondono ad una unità del dato posto al

denominatore.

Il RAPPORTO STATISTICO è un quoziente tra due termini di cui almeno uno è di natura statistica e tale che

tra i due termini esista un legame logico ben definito.

→ almeno uno dei due termini si riferisce a un

Ci sono due condizioni: collettivo

→nesso logico tra due termini.

Però non tutti i rapporti sono statistici perché:

 Almeno una delle due quantità poste a confronto deve riferirsi ad un collettivo: esempio

decessi/popolazione

 Ci deve essere un nesso logico tra i due dati messi a confronto: esempio

n.posti letto/ettari coltivati – n.posti letto/popolazione

↓ ↓

Manca il nesso logico. Non è un c’è il nesso logico, quindi è un rapporto statistico.

Rapporto statistico.

I RAPPORTI STATISTICI SERVONO A CONFRONTARE NEL TEMPO E NELLO SPAZIO LE INTENSITÀ O LE

FREQUENZE DEI FENOMENI.

I rapporti statistici trasformano i dati statistici grezzi in indici.

I rapporti statistici si distinguono in:

1. RAPPORTO DI COMPOSIZIONE

2. RAPPORTO DI DERIVAZIONE

3. RAPPPORTO DI COESISTENZA

4. RAPPORTI MEDI (DENSITÀ)

I RAPPORTI DI COMPOSIZIONE vengono detti di PARTE AL TUTTO e si ottengono rapportando una

frequenza parziale alla frequenza totale. Quindi sono delle frequenze relative e assume i valori

compresi tra 0 e 1. Se il valore viene moltiplicato per 100 si ottengono le percentuali.

Esempio: popolazione laureata/popolazione.

IL RAPPORTO DI COESISTENZA è il rapporto tra due frequenze.

Esempio: rapporto di mascolinità: maschi/femmine.

Questo rapporto sta ad indicare uno sbilanciamento o uno squilibrio e permette di misurare:

1. LA STRUTTURA PER SESSO DELLA POPOLAZIONE (rapporto di mascolinità (Pm) e di femminilità

(Pf)

2. LA STRUTTURA PER ETÀ DELLA POPOLAZIONE= Pa (pop.anziana) – Pg (pop.giovane)

Pa/Pg*100= indice di vecchiaia (Iv).

IL RAPPORTO DI DERIVAZIONE è un rapporto CAUSA-EFFETTO, nel senso che B è il presupposto di A.

Esempio: quoziente di natalità= (nati/popolazione)*100

I RAPPORTI DI DENSITÀ O MEDI rapportano la frequenza o l’intensità di un fenomeno alle frequenze o

intensità di un altro fenomeno.

Esempio= popolazione/superficie territoriale

Sono molto diffusi e si hanno ogni volta che il fenomeno posto al numeratore si può associare mediamente

ad ogni unità del denominatore.

STUDIO DELLA VARIAZIONE

Per confrontare le intensità di due fenomeni collettivi diversi tra i quali esista un nesso logico si può

ricorrere alle differenze tra le intensità o le funzioni (invece dei rapporti statistici).

Possono essere: DIFFERENZE ASSOLUTE o DIFFERENZE RELATIVE.

 LE DIFFERENZE ASSOLUTE si distinguono in:

D’= I1-I2 D’’=I2-I1 D’’= ǀI1-I2ǀ

↓ ↓ ↓

Indica la differenza tra l’intensità Indica la differenza tra l’intensità Indica il valore assoluto della

del primo fenomeno e quella del del secondo fenomeno e quella differenza tra i due fenomeni

secondo. del primo. considerati.

 LE DIFFERENZE RELATIVE si ottengono facendo la differenza tra i due fenomeni e dividendo per il

fenomeno di riferimento e si otterranno due diverse differenze relative:

D’= I1-I2 D’= I1-I2

I2 I1

4 SLIDE

Gli indici di posizione sono di due tipologie:

 MEDIE DI CALCOLO (media aritmetica, armonica e geometrica)

 MEDIE LASCHE (mediane, quartili, moda)

Le medie di calcolo si calcolano con operazioni algebriche (variabili Cardinali- caratteri quantitativi)

Le medie lasche vengono calcolate in base alla frequenza.

Per le VARIABILI NOMINALI/CARATTERI QUALITATIVI SCONNESSI = MODA

Per le VARIABILI ORDINALI/CARATTERI QUALITATIVI= TUTTI

Per le VARIABILI CARDINALI/CARATTERI QUANTITATIVI= TUTTI

LA MEDIA è un indice sintetico e deve essere compreso tra il valore minimo e massimo della distribuzione:

x1<x<xN

LA MEDIA ARITMETICA è la somma dei valori divisa per il tot del collettivo.

N

∑ xi

X=ᶙ= i=1 →è la sommatoria di i che va da 1 a N di xi fratto N.

N

LA MEDIA ARITMETICA SEMPLICE è uguale alla somma dei dati divisi per n, cioè:

ᶙ= X1+X2+X3+…+Xn

N

Se i dati si presentano con una certa frequenza si ha la MEDIA PONDERATA

s

∑ xi*ni

X=ᶙ= i=1

N

VARIABILE STATISTICA DIVISA IN INTERVALLI

N

∑ v.c. *ni

xi

X=ᶙ= i=1 v.c.= xi+xi+1

N 2

ESEMPIO

VOTI n. studenti Xi*ni

Xi ni

4 2 8

5 3 15

6 8 48

7 5 35

8 2 16

TOT ∑ 20 ∑ 122

Media ponderata= 4*2+5*3+6*8+7*5+8*2 = 122 = 6,1

2+3+8+5+2 20

MEDIA DIVISA IN CLASSI

C’è un valore centrale, calcolato con la semisomma dei termini esterni della classe.

Classe n. persone

(frequenze)

(anni) ni

xi

o-20 35

(x1) (n1)

20-40 4

(x2) (n2)

40-60 1

(x3) (n3)

TOT 40 V.C. n.persone (frequenze)

xi ni

V.C. x1= 0+20 = 10 10 35

x1 n1

2 30 4

x2 n2

V.C. x2= 20+40 =30 50 1

x3 n3

2 TOT 40

V.C. x3= 40+60 = 50

2

Calcola la media ponderata:

ᶙ=x1*n1+x2*n2+x3*n3= 10*35+30*4+50*1 = 520 = 13 → età media ponderata

n1+n2+n3 35+4+1 40

1 PROPRIETÀ DELLA MEDIA

La somma degli scarti (differenze) è uguale a 0.

S Xi xi- ᶙ

∑ (xi-ᶙ)*ni = 0 26 26-27= -1

I=1 27 27-27=0

xi-media= numero →∑ numero= 0 28 28-27=1

esempio: ᶙ= 26+27+28 = 81 =27 ᶙ= 27 ∑ 0

3 3

DIMOSTRAZIONE 1 PROPRIETÀ DELLA MEDIA ARITMETICA

S

∑ (xi- ᶙ)*ni = 0

i=1 1. DIMOSTRAZIONE

(x1- ᶙ)n1= x1*n1- ᶙ*n1

(x2- ᶙ)n2= x2*n2- ᶙ*n2

(x3- ᶙ)n3= x3*n3- ᶙ*n3

S S

∑ xi*ni - ᶙ* ∑ ni

i=1 i=1

2. SOSTITUENDO A ᶙ IL SUO VALORE

S S

∑ xi*ni - ∑ xi*ni S

i=1 i=1 = ∑ni= 0

S i=1

∑ ni

i=1

2 PROPRIETÀ DELLA MEDIA

La somma dei quadrati degli scarti (xi-ᶙ) è uguale a un minimo.

S

∑ (xi- ᶙ)²*ni = MINIMO

i=1

la somma dei quadrati degli scarti dei valori della media è SEMPRE MINORE della somma dei quadrati degli

scarti dei valori da un qualsiasi altro valore K.

∑ (xi- ᶙ) ² < ∑ (xi- k) ²

ESEMPIO:

xi (xi- ᶙ) ² (xi- k) ² (xi- k) ²

26 (26-27 ) ²=1 (26-25) ²=1 (26- 28)² =4

27 (27-27) ²=O (27-25) ²=4 (27-28)² =1

28 (28-27) ²=1 (28-25) ²=9 (28-28)² =0

TOT ∑ 2 ∑ 14 ∑ 5

m= 27

2 PROPRIETÀ DELLA MEDIA

S

∑ (xi- ᶙ)²*ni = MINIMO

i=1  DIMOSTRAZIONE

K=valore diverso da ᶙ

k≠ ᶙ d= ᶙ-k k= ᶙ-d

 SOSTITUENDO

S S

∑ (xi- ᶙ)²*ni ∑ (xi- ᶙ+d)²*ni

i=1 i=1

 RISOLVENDO COME UN BINOMIO

(a+b)²= a²+b²+2ab

S S S S S S

∑[(xi- ᶙ)+d]²*ni =∑ (xi- ᶙ)²*ni+d² ∑ni+2d ∑ (xi- ᶙ)*ni ∑ (xi-k)²*ni = ∑ (xi- ᶙ)²*ni+d²N

i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

↓

È 0 per la 1 proprietà della media

PROPRIETÀ ASSOCIATIVA

La media aritmetica è associativa perché il risultato della media generale è uguale al risultato ottenuto

dividendo in due o più gruppi i valori.

ESEMPIO:

MEDIA GENERALE

20+21+22+23+24+25+26+27+28= 216/9= 24

MEDIA PARZIALE 1 GRUPPO

20+21+22+23=86/4=21,5

MEDAI PARZIALE 2 GRUPPO

24+25+26+27+28=130/5=26

VERIFICA PROPRIETÀ ASSOCIATIVA:

21,5*4+26*5=86+130=216/9= 24

PROPRIETÀ TRASLATIVA

Se si aggiunge H a ciascun valore anche la media sarà aumentata di H.

PROPRIETÀ OMOGENEA

Se si moltiplica ciascuno dei valori per K anche la media risulterà moltiplicata per k.

MEDIA GEOMETRICA

MEDIE LASCHE:

MODA, MEDIANA, QUARTILI

La moda è la massima frequenza.

La mediana occupa il posto centrale.

Se N è dispari è il valore che occupa il posto centrale (N+1)

2

Se N è pari sono i due valori centrali (N) (N+1)

2 2

CALCOLO MEDIANA DIVISA IN CLASSI

Me= xi+xi+1-xi (N/2-Ni-1)

ni

xi= estremo inferiore

xi+1=estremo superiore

ni=frequenza assoluta

Ni-1=frequenza cumulata

N=frequenze complessive

I QUARTILI SONO TRE:

1 QUARTILE = valore inferiore al 25% dei casi

2 QUARTILE = valore al 50% dei casi

3 QUARTILE= valore al 75% dei casi.

Q1= ¼*N= N/4

Q2=2/4*N= 1/2N= Me

Q3=3/4N= 3N/4

CALCOLO

Se N è dispari: Q1= x(N+1/4) Q3= x(3N+1/4)

Se N è pari: Q1= x(N/4)+x(N/4+1) Q3=x(3N/4)+x(3n/4+1)/2

5 SLIDES

L’ANALISI MONOVARIATA: Variabilità e mutabilità

La variabilità è l’attitudine del carattere a presentarsi con diverse modalità.

Perché utilizzare le misure di variabilità?

1. Perché i valori medi non esprimono realmente l’andamento del fenomeno quando nella

distribuzione dei dati è presente un valore atipico. I valori medi sono utili quando la variabilità

delle osservazioni non è elevata.

2. Perché le misure di tendenza centrale indicano solo il baricentro della distribuzione e non

dicono niente sul modo di collocarsi delle altre modalità intorno a questo baricentro.

La variabilità fa riferimento solo ai caratteri quantitativi, mentre la mutabilità fa riferimento solo ai

caratteri qualitativi.

La misura della variabilità deve avere due condizioni:

 La variabi