Riassunti Analisi 1

FUNZIONI:

Una funzione è limitata superiormente

Una funzione è limitata inferiormente

Una funzione è limitata:

SIMMETRICHE:

Una funzione PARI

Una funzione DISPARI

MONOTONE:

Una funzione MONOTONA CRESCENTE

Una funzione MONOTONA DECRESCENTE

Le disequazioni strette

PERIODICHE

Una funzione è periodica di periodo

COMPOSTE

Suppongo di avere due funzioni

Allora è ben definita la composta Anche

INVERTIBILI

Suppongo t.c. sia suriettive e iniettive

Una funzione è biiettiva e invertibile.

FUNZIONI:

Si dice funzione quella curva che associa ad ogni x uno e uno solo y

• LIMITATE:
  • Una funzione è limitata superiormente
  • Una funzione è limitata inferiormente
  • Una funzione è limitata: contenute in una striscia orizz. piano
• SIMMETRICHE:
  • Una funzione pari
  • Una funzione dispari
• MONOTONE:
  • Una funzione monotona crescente
  • Una funzione monotona decrescente
  • Le disuguaglianze strette monotonia strette
• PERIODICHE:
  • Una funzione è periodica di periodo
• COMPOSTE:

  Suppongo di avere due funzioni

• INVERTIBILI:
  • Suppongo, suriettive e iniettive ovvero:
  • Suriettive:
  • Iniettive:

NOTA: la cond. invertibile equivale a chiedere che grafico sia

intersecato 1 massimo in un punto da ogni retta parallela asse X

TEOREMA: uno strellamento monotono in ➰ è invertibile in ➰ ed

inoltre le sue inverse sono anch'esse strull. monotone

NOTA: grafico F^-1 si ricavere di quello ➰ per simmetria con y = X

LIMITI

Limiti di successioni:

F: N ➔ R

• LIMITATA: una successione è limitata se esistono m, M t.c. m ≤ a_n ≤ M ∀ n
• CONVERGENTE: se esiste λ ∈ R t.c. ∀ ↔ > 0 ∃ N ∈ N t.c. ∀ n > N ⇒ |a_n - λ| < ↔
• NOTA: ogni successione convergente è limitata
• UNICITÀ LIMITE: se l esiste esso è unico (si chiama limite di {a_n})
• DIVERGENTE: se ∀ A > 0 ∃ N ∈ N t.c. a_n > A def.
• DIVERGENTE: se ∀ A > 0 ∃ N ∈ N t.c. a_n < -A def.

• MONOT.:
• è detta monotona crescente se a_n ≤ a_n+1 (strettamente a_n < a_n+1)
• è detta monotona decrescente se a_n ≥ a_n+1 (strettamente a_n > a_n+1)

TEOREMA: se {a_n} una successione crescente, allora essa ammette

sempre limite; se esso finito se {a_n} sup. limitate o

infinito se sup. allinfinite. Analogamente se {a_n}

risulta decrescente.

NOTA: una successione monotona convesse o diverge

TEOREMI SUI LIMITI (successioni):

• Permanenza del segno: se a_n ≥ 0 a ➔ δ > 0 allora l ≥ 0 def
• Permanenza del segno: se a_n ≤ 0 e ➔ δ < 0 allora l ≤ 0 def
• Confronto: se b_n ≤ c_n ⇒ a_n ≤ c_n ⇒ c_n ➔ a ➔ b➔ e
• Confronto: ⇒ a_n ≥ b_n ⇒ allora ⇒ a_n ➔ b ➔ b_n

NOTA: prodotto infinitesimo • limitato = o_n a_n ➔ a ➔ b_n

Rapporto: a_n>0 def. Supponiamo esista lim

        n→∞

    a_n+1

    a_n

se λ>1 a_n→+∞ / se 0<λ<1 a_n→0, allora

1. Limiti di funzioni: F: I→ℝ

• se c∈I, I non è richiesto g definita in c*), se λ∈ℝ*

lim g(x)=λ se per ogni successione {x_n} di punti di I diversi

     x→c

da c t.c. x_n→c si ha che g(x_n)→λ per n→+∞

Unicità limite: se l esiste è unico

il limite esiste sse esistono e sono entrambi uguali a λ i limiti

destro e sinistro lim g(x) = lim g(x)

       x→c^-

       x→c⁺

• Continuità: se F: I→ℝ e c∈I g è continua se lim g(x)=g(c)
• se c∈R* e g F d