Regolatori PID, teoria ed esercizi

I regolatori PID

I regolatori PID o standard hanno la forma

G(s) = k_p + ^k_i/_s + k_d s = k_p (1 + ¹/_Tis + T_d s) nel dominio s, ovvero

k_p e(t) + k_i ∫_0→t e(τ)dτ + k_d e'(t)

nel dominio del tempo. Le tre azioni

proporzionale: u_p = k_p e(t)

integrale: u_i = k_i ∫_0→t e(τ)dτ

derivativa: u_d = k_d e'(t)

sono anche ottenibili come limite di un'azione autotitatrice ed una attenuatrice:

G(s) = ^{k̄_p (1 + T₁s)}/_{1 + ^T1/u1} ^{1 + T₂s}/_{1 + ^T2/u2}

u₁ > 1 (autotitatrice,

u₂ < 1 (attenuatrice,

per u₁ → ∞ e u₂ → 0

G(s) ≃ k̄_p (1 + T₁s) ^{1 + T₂s}/_T2s/_u2

= ^{k̄_p u₂}/_T2 (¹/_s + (τ₁ + τ₂) + τ₁τ₂ s)

= (τ₁ + τ₂) ^k̄_p/_u2 ^u₂/_T2 + ^{k̄_p u₂}/_T2 ¹/_s + k̄_p τ₁ u₂ s

_kpkikd

Implementazione dell'azione derivativa in modo che

1. eviti saturazioni del controllore all'istante iniziale legate alla derivata infinita se y_r=δ₁(t)

Infatti se y_r=δ₁, risulta u_derivativo=k_dē̇=-k_dẏ

sempre, meno che in t=0.

2. Elimini disturbi di misura su ẏ usando un filtro passa-basso

F_pb(s)=¹/_1+τs

1^o metodo

k_pID = k_p (1 + 1/T_is + T_Ds)

questi valori corrispondono ad un tasso di decadimento di 1/4 durante il transitorio la risposta a gradino, ossia il transitorio f_st si riduce a 1/4 dopo un periodo dell'oscillazione

2^o metodo

Si pone k_I = 0, k_sf = 0 e si aumenta k_p fino ad un valore k_pcr (critico) corrispondente della stabilità semplice (poli sull'asse immaginario e instaurazione di oscillazioni permanenti) di periodo T_cl = periodo critico,

all’impreso a predirro come nel caso continuo:

k e-⎯ˢ⁄ₜ 1+ts

t

di approssimare la presenza del campionatore e del ricostruitore di ordine zero con un ritardo pari a ^δ/_₂ e si considera il ritardo vτ=⎯⎯+^δ/_₂.

Si calcola così: ^vτ/_τ = ⎯⎯+^δ/_₂ e dallo precedente tabella si determinano

k_p, Ti/τ, Td/τ.

Nel secondo caso si hanno altre tabelle che, per ogni criterio, forniscono kp, Ti, Td.

in cui il controllore è ora

_{G1(s) =} G(s)

_{^{1-e-TsP(s)G(s)+P(s)G(s)}Td}

_F1(s) = _Gpe^-Ti/Td

=_G1P1^Td

La funzione di trasferimento a ciclo chiuso è ora

_{W1(s) =G(s)P(s)e^-Ts}

_{1+G1(s)P(s)e^-Ts/Td}

=_WT(s)e^-Ts

ossia

_{yref W(s)}

→ _y(t) → _e^-Ts → _{y1(t) = y(t - T)}

ed assicura che l'uscita abbia lo stesso andamento

che G(s) assicurava senza ritardo, traslata di un tempo T

(_{y(t) y1(t) = y(t - T)})

Il predittore di Smith dà buoni risultati, anche se gli effetti del

ritardo non possono essere completamente eliminati.

Volendo calcolare G(z) direttamente nel digitale, si può procedere come segue. Si può fissare

G(z) = k_p + ^k_i/_z-1

e si ottiene

F(z) = G(z)P(z) = ^{k_p(z-1) + k_i}/_z-1 + ^e_Tc1/_z-e^Tc

Φ_ICHZ(z) = (z-1)(z-e^-Tc) + (e^Tc-1) ( k_p(z-1) + k_i )

Se Φ^*(z) è il polinomio che si vuole esponente si ha

P_CHZ(z) = ( z-1)(z-e^-Tc) + ( e^Tc-1) ( k_p(z-1) + k_i ) = p ^* = z² + β₁^*z + β₀^*

e si ricava

z² + (k_p(e^-Tc-1) - (1+e^Tc))z + (e^Tc + (e^-Tc-1)k_i)

= z² + β₁^*z + β₀^*

k_p(e^-Tc-1) - (1+e^Tc) = β₁^*

k_p = ^{β₁* + 1 + eTc}/_e^-Tc-1

e^Tc + (e^-Tc-1)k_i) = β₀^*

k_i = ^{β₀* - eTc}/_e^-Tc-1

e poi si calcola G_i(z) esattamente al caso precedente.