Regolatori PID, teoria ed esercizi

I Regolatori PID

I regolatori PID o standard hanno la forma

G(s) = k_p + ^k_i/_s + k_ds = k_p(1 + ¹/_Tis + T_ds)

nel dominio s, ovvero

k_p e(t) + k_i ∫₀^t e(τ)dτ + k_d e'(t)

nel dominio del tempo. Le tre azioni

• proporzionale: μ_p = k_p e(t)
• integrale: μ_i = k_i ∫₀^t e(τ)dτ
• derivativa: μ_d = k_d e'(t)

sono anche ottenibili come limite di un'azione anticipatrice ed

una attenuatrice:

G(s) = ^k_p/(1 + ^T₁s/_{1 + ^T1/m1) ^{1 + T2s}/1 + ^T2)/m2}

• m₁ > 1 (anticipatrice)
• m₂ < 1 (attenuatrice)

per m₁ → ∞ e m₂ → 0

G(s) ≃ ^k_p(1 + T₁s) ^{1 + T₂s}/_T2s

= ^k_p/_T2 ( ¹/_s + (T₁ + T₂) + T₁T₂ s)

= (T₁ + T₂) ^k_p/_T2 + ^k_p/_T2 ¹/_s + k_pT₁u₂s

I regolatori PID

I regolatori PID o standard hanno la forma

G(s) = k_p + _ki/^s + k_ds = k_p(1 + ¹/_Tis + T_ds)

nel dominio s, ovvero

k_p e(t) + k_i ∫₀^t e(τ)dτ + k_d e'(t)

nel dominio del tempo. Le tre azioni

proporzionale: μ_p = k_p e(t)integrale: μ_i = k_i ∫₀^t e(τ)dτderivativa: μ_d = k_d é (t)

sono anche ottenibili come limite di un'azione auticitratice ed una attenuatrice:

G(s) = _kp(1 + T₁s)_{1 + T1u1} ^{1 + T₂s}/_{1 + T2m2} u₁ > 1 (autticitratice,u₂ < 1 (attenuatrice,)

per u₁ → ∞ e u₂ → 0

G(s) ≃ _kp(1 + T₁s) ^{1 + T₂s}/_T2u2s

= _kpu2/^T₂(¹/_s + (T₁ + T₂) + T₁T₂s)

= (T₁ + T₂) _kp/^u₂ + _kpu2 ¹/_s + _kpT1u2s

Implementazione dell'azione derivativa in modo che

1. eviti saturazioni del controllore all'istante iniziale legate alle derivate infinite se _{yr = δ1(t)}

Infatti se y_r = δ₁, risulta _uderivativo = k_d ^. e = -k_d ^. ẏ sempre, meno che in t = 0.

2. Elimini disturbi di misura se ẏ usando un filtro passa-basso F_pb(s) = ¹/_1+τs

Integratore anti-windup

Quando l'attuatore satura ad un valore F_UMAX, il sistema dinamico si normalizza in evoluzione libera:

x = Ax + B (F_UMAX).

Se la situazione di saturazione si protrae senza interruzioni di tempo, se non cambiano le cause di tempo (permettendo all'integrazione di "scaricarsi"), il valore accumulato nell’integratore applicato all’uscita dell’integratore \(\frac{k_I}{s}\) continuerà a crescere (winds up cioè che l’errore non contiene piano piano),

Conseguenze di ciò: sovraelongazione durante attesa (a causa dell’oscillazione dell’us. del saturazione) e, errore di passo (0/10%). In effetti se il sistema d’attesa è come un transitorio buono, l'attuatore satura.

Se la CR fosse attesa, e \(\frac{k_I}{s}\) è al limite di stabilità occorre stabilizzarlo.

Saturazione dell'attuatore

Schema di saturazione (anti-windup) dell’integratore

Quando l’attuatore satura porre k_I = 0

\( k_{I} = \begin{cases} k_{I} & \text{se } |u| < u_{MAX} \\ 0 & \text{se } |u| = u_{MAX} \end{cases} \)

ottenibile con un commando logico.

Si può anche realizzare una CR intorno di rudo stabile il controllore quando questo satura, mediante un dispositivo anti-windup.