Raccolta Teoremi principali di Fisica I (Con dimostrazioni e Disegni)

1° modo

Sappiamo che l'accelerazione è composta da una componente tangenziale ed una centripeta.

\[\vec{a} = a_t + a_c\]

Da cui segue:

\[\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{dt} = \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}\]

Possiamo notare che:

i due triangoli sono isosceli,

Poiché per costruzione:

\[\vec{r_i} \perp \vec{V_i} \ e \ \vec{r_2} \perp \vec{V_2} \]

possiamo dire che l'angolo formato tra \(\vec{r_i}\) e \(\vec{r_2}\) è uguale a quello formato tra \(\vec{V_i}\) e \(\vec{V_2}\).

Quindi i triangoli sono simili per il 3° criterio di similitudine.

Quindi i lati sono proporzionali:

\[\Delta \vec{V} = \frac{\Delta r \cdot \vec{V}}{R}\]

Calcoliamo l'accelerazione centripeta (che è un vettore)

• Per il modulo

  _ΔV = _ΔV² / R

  ȃ = lim_{Δt→0 Δ}v / _Δt = lim_Δt→0 V / R _Δr / _Δt = V / R lim_{Δt→0 Δ}r / _Δt = V² / R

• Per la direzione

  Sappiamo che ȃ = lim_{Δt→0 Δ}v / _Δt = quindi la direzione di ȃ è determinata dalla direzione di _ΔV.

  Per _Δt→0 avrò due punti infinitamente vicini.

  Quando cercherò _ΔV, questo valore tenderà a 0. E anche l'angolo φ, ossia l'angolo compreso tra v_i, v_f (v_i, v_f) tenderà a 0.

  Quindi, considerando il triangolo precedente, possiamo notare che gli angoli alla base tenderanno a 90°, cioè vuol dire che _ΔV ⊥ V.

  Abbiamo trovato la direzione

  Sappiamo che il verso di ȃ_c è diretto al centro della circonferenza

Teorema di conservazione dell'energia

Se su un corpo agiscono solo forze conservative, l'energia meccanica si conserva.

Energia meccanica = Energia Potenziale + Energia cinetica

Dim:

Essendo le forze agenti su un corpo conservative, esiste

U = energia potenziale, tale che:

1. L_AB = U_A - U_B = -ΔU
   • perché è U_A - U_B
   • perché è U_B - U_A

Ma, dal teorema del lavoro (forze vive), sappiamo che:

L_AB = E_CB - E_CA ma L_AB = U_A - U_B

quindi

U_A - U_B = E_CB - E_CA

⇒

U_A + E_CA = U_B + E_CB

energia meccanica iniziale = energia meccanica finale

Teorema di Koenig: 1° teorema del momento angolare

In un qualsiasi sistema di riferimento, il momento angolare è dato dalla somma del momento angolare del centro di massa L_c.m., e quello relativo al moto del sistema rispetto al centro di massa L'. Quindi:

L = L_c.m. + L'

Sappiamo che L_c.m. = Σ_i=1ⁿ r_c.m.i m_i v_c.m.

Considerando L = Σ_i=1ⁿ r_i m_i v_i con r_i = r_c.m. + r' e v_i = v_c.m. + v'

Allora:

L = Σ_i=1ⁿ (r_c.m.i + r') m_i (v_c.m. + v')

= Σ_i=1ⁿ r_c.m.i m_i v_c.m. + Σ_i=1ⁿ r_c.m.i m_i v'_i + Σ_i=1ⁿ r'_i m_i v_c.m. + Σ_i=1ⁿ r'_i m_i v'_i

Sopra miste

Possiamo Σ_i=1ⁿ r_c.m.i m_i v'_i = Σ_i=1ⁿ r'_i m_i v_c.m. = 0, poiché non c'é moto relativo

Quindi:

L = Σ_i=1ⁿ r_c.m.i m_i v_c.m. + Σ_i=1ⁿ r'_i m_i v'_i = L_c.m. + L'

distanza di m_i dall'asse (c) sono le coordinate di r_i

distanza di (c_a) da (C), cioè L

x_A²+y_A² = L²

coordinate del c.m., ma è l'origine del sistema, quindi

x_c.m. = 0

y_c.m. = 0

z_c.m. = 0

Quindi otteniamo:

I_z = _{i = 1}^u Σ m_i r_i² + ML²

è proprio il momento d'inerzia del c.m. (del corpo)

Quindi abbiamo dimostrato che:

I_z = I_c.m. + ML²

Dinamica dei fluidi

Partiamo col dire che il moto di un fluido può essere stazionario o non stazionario. Il moto viene descritto in funzione di variabili, come la pressione, la densità e la velocità di ogni punto del fluido.

Si dice che il moto è stazionario quando queste variabili si mantengono costanti nel tempo.

• Un fluido in moto può essere comprimibile o incomprimibile. Se la densità ρ di un fluido è costante, cioè indipendente da x, y, z e t, il fluido è detto incomprimibile.
• Un fluido può essere viscoso o non viscoso. La viscosità è per i fluidi l'analogo dell'attrito per i solidi. Quando un fluido scorre senza che ci sia dissipazione di energia a causa delle forze di tipo viscoso, il fluido si dice non viscoso.
• Il moto di un fluido può essere rotazionale o irrotazionale. Il moto si dice irrotazionale se nel fluido in moto non c'è alcun elemento in rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa dell'elemento stesso.

Linee di corrente ed equazione di continuità

In regime di flusso stazionario la velocità in un dato punto è costante nel tempo. Poiché in regime stazionario la velocità delle particelle di fluido non varia, ogni particella che arriva in passerà con la stessa velocità e nella stessa direzione. Quindi ogni particella che passa per seguirà lo stesso percorso, chiamato linea di corrente.

Oss. Due diverse linee di corrente non possono intersecarsi; se ciò avvenisse, una particella passante per il punto di intersezione potrebbe proseguire il suo percorso lungo l'una o l'altra linea di corrente e il regime di flusso.

Teoria cinetica dei gas (pressione)

Consideriamo il gas contenuto in un recipiente cubico di lato L e con le pareti perfettamente elastiche. Siano A₁ e A₂ le facce del cubo di area L². Sia inoltre m e v, massa e velocità della particella. Quando la particella urta sulla parete A₁ rimbalza e la v cambia segno v̅_x → -v̅_x. Per cui la variazione della quantità di moto è

Δq = q̅_f - q̅_i = -mv̅_x - (mv̅_x) = -2mv̅_x

Supponiamo che la particella raggiunga A₂ senza urtare nessun'altra particella: il tempo necessario per attraversare il cubo è _L/v̅_x = t. In A₂ la velocità si inverte e la molecola torna verso A₁, se non si verificano collisioni, il tragitto di andata e ritorno dura t = 2L/v̅_x. La forza impulsiva media esercitata dalla molecola su A₁ è uguale a:

F̅ = _2mv̅x/_2L/v̅_x = mv̅²_x/L

Per ottenere la forza totale esercitata su A₁ da tutte le molecole del gas, si deve sommare la quantità mv̅²_x/L per tutte le particelle ottenendo

F̅_tot = N

• ∑_i=1^N mv̅²_x/L = _mN/L

∑_i=1^N v̅²_ix = mv̅²_1x+mv̅²_2x+...+mv̅²_Nx/L