Raccolta Teoremi principali di Fisica I (Con dimostrazioni e Disegni)

1. Scomposizione dell'accelerazione in tangenziale e centripeta con prova che è pari ad a_c = v²/R, dove R è il raggio di curvatura. 1^o modo

Sappiamo che l'accelerazione è composta da una componente tangenziale ed una centripeta.

a̅ = a_t + a_c

Da ciò segue:

a̅ = dv̅/dt = dr̅/dt²

Possiamo notare che:

Δr v̅

Δv̅ v̅

i due triangoli sono isosceli.

Poiché per costruzione:

r̅₁ ⊥ v̅₁ e r̅₂ ⊥ v̅₂

possiamo dire che l'angolo formato tra r̅₁ e r̅₂ è uguale a quello formato tra v̅₁ e v̅₂.

Quindi i triangoli sono simili per il 3^o criterio di similitudine.

Quindi i lati sono proporzionali:

R : v = Δr : Δv   =>   Δv̅ = Δr • v̅ / R

1) Scomposizione dell'accelerazione in tangenziale e centripeta con prova che è pari ad a_c = v² / R, dove R è il raggio di curvatura.

1^o modo

Sappiamo che l'accelerazione è composta da una componente tangenziale ed una centripeta.

a  = a_t + a_c

Da cui segue:

a  = dv / dt

Possiamo notare che:

• I due triangoli sono isosceli

Poiché per costruzione:

• r₁ ⊥ v₁ e r₂ ⊥ v₂

Possiamo dire che l'angolo formato tra r₁ e r₂ è uguale a quello formato tra v₁ e v₂.

Quindi i triangoli sono simili per il 3^o criterio di similitudine.

Quindi i lati sono proporzionali:

R : v = Δr : Δv   ⇒   Δv = Δr . v / R

Calcoliamo l'accelerazione centrifuga (che è un vettore)

• Per il modulo

  \[\vec{\Delta v} = \frac{\Delta \vec{r} \cdot \vec{v}}{R}\]

  \[\vec{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{V}{R} \cdot \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{V}{R} \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}\]

• Per la direzione

  Sappiamo che \(\vec{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\) quindi la direzione di \(\vec{a}\) è determinata dalla direzione di \(\Delta \vec{v}\).

  Quando cercherò \(\Delta \vec{v}\), questo valore tenderà a 0. E anche l'angolo \(\phi\), ossia l'angolo compreso tra \(\vec{v}_1, \vec{v}_2 (\vec{v}_1 e \vec{v}_2)\), tenderà a 0.

  Quindi considerando il triangolo precedente, possiamo notare che gli angoli alla base tenderanno a 90°, ciò vuol dire che \(\Delta \vec{v} \perp \vec{v}\).

  Abbiamo trovato la direzione.

  Sappiamo che il verso di \(\vec{a}_c\) è diretto al centro della circonferenza.

3^o modo

Considero la circonferenza di centro C e di raggio R:

Sappiamo che l'accelerazione è divisa in:

a = a_t + a_c

Consideriamo la formula dell'accelerazione:

a = ^dv/_dt = ^d2s/_dt²

Sapendo che: ^ds/_dt = R ^dφ/_dt, mi ricavo: ^dφ/_dt = ¹/_R ^ds/_dt

Essendo v = ^ds/_dt, allora la formula diventa:

^dφ/_dt = ¹/_R * v

Ora considero il versore t rispetto a v. v = V * u_t e la

Sostituisco nella formula dell'accelerazione:

a = ^d/_dt (v * u_t), applico il prodotto tra le derivate

a = ^dv/_dt u_t + ^du_t/_dt * V

dove ^du_t/_dt V = V * ^dφ/_dt u_n = ^V2/_R a_n = a_c

Teorema dell'impulso

J = ∫_t₁^t₂ Fdt

ma sappiamo che F = ma̲

cost.

J = ∫_t₁^t₂ madt = m ∫_t₁^t₂ a dt

ma a̲ = v̲/t, quindi sostituendo otteniamo:

J = m ∫_t₁^t₂ v̲/t dt = m ∫_t₁^t₂ dv̲ = m [ v̲ ]_t₁^t₂ =

= m [ v̲₂ - v̲₁ ] = mv̲₂ - mv̲₁ = P₂ - P₁

Quindi l'impulso è proprio la variazione della quantità di moto in un determinato intervallo di t