Raccolta esercizi + formulario

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Emanuele Fabbiani

26 febbraio 2015

1 Serie

1.1 Serie numeriche

Stabilire se le seguenti serie sono convergenti, motivando la risposta. In caso questa sia aermativa, stabilire la

somma.

1. +∞ k−1

1

X 4 3

k=1

2. +∞ 2k

X k +5

k=1

3. +∞

X tan k

k=0

4. +∞ k k

3 + 2

X k

6

k=0

1.2 Somma di una serie

Stabilire per quale valore di è vericata la seguente uguaglianza:

∈

c R +∞ −k

X (1 + c) =2

k=2

1.3 Criteri di convergenza

Stabilire il carattere delle seguenti serie:

1. +∞ 3

X 2

2k +1

k=0

2. +∞ k

2

X 5 −

k 4

k=2

3. +∞

2

X k sin 2

k

k=1 1

4. +∞ ln k

X k

k=1

5. +∞ 1

X k −

e 1

k=1

6. 2

+∞ k

1

X −

1 k

k=1

7. +∞ 1

X ·

x ln x

k=2

8. +∞ ln k

X k

(−1) k

k=1

9. +∞ sin (ln k)

X 2

k ln k

k=2

1.4 Stima di un somma

Dimostrare la convergenza della serie +∞ k

(−1)

X k!

k=0

Stimare poi la somma della serie con un errore non superiore a .

−3

10

2

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Emanuele Fabbiani

23 marzo 2015

1 Serie

1.1 Serie numeriche

Stabilire se le seguenti serie sono convergenti, motivando la risposta. In caso questa sia aermativa, stabilire la

somma.

1. +∞ k−1

1

X 4 3

k=1

Si osserva che si può ricostruire la serie geometrica mediante la sostituzione :

−

n = k 1

+∞ +∞ +∞

k−1 n n

1 1 1 (1.1)

X X X

4 =4 =4

3 3 3

n+1=1 n=0

k=1 ,

Ricordando che la serie geometrica con ragione tale che converge a 1

|q|

q < 1 1−q

+∞ n

·

1

1 4 3 (1.2)

X

4 =

=4 =6

1 −

−

3 3 1

1 3

n=0

2. +∞ 2k

X k +5

k=1

Si verica la condizione necessaria di convergenza delle serie numeriche:

2k (1.3)

6

lim a = lim = 2 = 0

n k + 5

k→+∞ k→+∞

La condizione non è vericata: la serie diverge a , poiché si continuano a sommare termini positivi.

+∞

3. +∞

X tan k

k=0

Si verica la condizione necessaria di convergenza delle serie numeriche: (1.4)

6

lim a = lim tan k = non esiste = 0

n

k→+∞ k→+∞

La condizione non è vericata: la serie non converge - e non si può aggiungere altro.

4. +∞ k k

3 + 2

X k

6

k=0

Si può spezzare il numeratore della frazione:

+∞ +∞ k

k k k

3 + 2 3 2 (1.5)

X

X = +

k k k

6 6 6

k=0 k=0

1

E quindi dividere la serie in due:

+∞ +∞ +∞ +∞ +∞

k k

k

k k k

2

3 3 2 3 2 (1.6)

X X X X X

+ = + = +

k k k k

6 6 6 6 6 6

k=0 k=0 k=0 k=0 k=0

Sono due serie geometriche con , quindi:

|q| < 1

+∞ +∞ +∞ +∞

k k k k

3 1 1 7

2 1 1 (1.7)

X X X X

+ = + = + =

1 1

− −

6 6 2 3 2

1 1

2 3

k=0 k=0 k=0 k=0

1.2 Somma di una serie

Stabilire per quale valore di è vericata la seguente uguaglianza:

∈

c R +∞ −k

X (1 + c) =2

k=2

La serie è geometrica: +∞ +∞ k

1 (1.8)

−k

X X

(1 + c) = 1+ c

k=2 k=2

Questa converge solo se , quindi:

|q| < 1 1 (1.9)

< 1

1+ c (1.10)

|1 + c| > 1 (1.11)

2

(1 + c) > 1 (1.12)

2

c + 2c > 0 (1.13)

−2 ∨

c < c > 0

Il problema consiste nel fatto che la formula canonica della somma della serie geometrica richiede che questa

parta da zero. Occorre quindi osservare che la serie con primo indice 2 è equivalente alla stessa serie che parte

da 0 alla quale vengono sottratti i primi due termini.

+∞ +∞

k k 1 0

1 1 1 1 (1.14)

X X − −

=

1+ c 1+ c 1+ c 1+ c

k=2 k=0

Utilizzando ora la formula della serie geometrica:

+∞ k 1 0

1

1 1 1 1 1 (1.15)

X −

− − − 1 =

= 1

−

1+ c 1+ c 1+ c 1 + c c (1 + c)

1 1+c

k=0

Imponendo che questa sia uguale a 2: 1 (1.16)

=2

c (1 + c) (1.17)

2 −

2c + 2c 1 = 0

√

±

1 3 (1.18)

c = 2 √

Ricordando la condizione di convergenza, si conclude che l'unico valore accettabile è .

1+ 3

c = 2

2

1.3 Criteri di convergenza

Stabilire il carattere delle seguenti serie:

1. +∞ 3

X 2

2k + 1

k=0

Criterio del CONFRONTO ASINTOTICO: 3 1

3 (1.19)

∼

∼

2 2 2

2k + 1 2k k

Dal momento che la serie armonica generalizzata converge se , la serie converge.

1

P α > 1

α

k

2. +∞ k

2

X 5 −

k 4

k=2

CONDIZIONE NECESSARIA DI CONVERGENZA: k

2 (1.20)

lim a = lim = +∞

k 5 −

k 4

k→+∞ k→+∞

Per le gerarchie degli inniti. La serie diverge.

3. +∞

2

X k sin 2

k

k=1

Criterio del CONFRONTO ASINTOTICO: per gli sviluppi di McLaurin, per . Nella serie

∼ →

sin x x x 0

considerata l'argomento del seno tende a zero, quindi la formula è valida.

2 2 1

2 (1.21)

∼ ∼

∼ ·

k sin k

2 2

k k k k

La serie armonica diverge, quindi diverge pure la serie in esame.

4. +∞ ln k

X k

k=1

Criterio del CONFRONTO: per , quindi denitivamente. Dal momento che la serie

ln k 1

ln k > 1 k > 3 >

k k

armonica diverge, anche quella in esame ha lo stesso comportamento.

5. +∞ 1

X k −

e 1

k=1

Criterio del RAPPORTO: 1 k −

a e 1 1 (1.22)

k+1

k+1 −1

e

lim = lim = lim = < 1

1 k+1 −

a e 1 e

k→+∞ k→+∞ k→+∞

k k −1

e

Quindi la serie converge

6. 2

+∞ k

1

X −

1 k

k=1

Criterio della RADICE: 1

s 2 !

2

k k k

k

√ 1 1 1 (1.23)

k −1

− − −

lim a = lim 1 = lim 1 = lim 1 = e < 1

k k k k k

k→+∞ k→+∞ k→+∞ k→+∞

Quindi la serie converge. 3

7. +∞ 1

X ·

k ln k

k=2 sia decrescente nell'intervallo

Criterio INTEGRALE: per accertarsi che la funzione 1 [2; +∞]

f (x) = x ln(x)

si studia la sua derivata: − −

ln x 1 (1.24)

0

f (x) = 2

(x ln (x))

La funzione è decrescente in (1.25)

− −

ln x 1 < 0 (1.26)

−1

ln x > (1.27)

−1

x > e

Quindi in tutto l'intervallo di integrazione. Si può ora risolvere l'integrale improprio:

ˆ ˆ

+∞ +∞

1 1 (1.28)

+∞

dx = dx = [ln (ln x)] = +∞

2

x ln (x) x ln (x)

2 2

La serie conserva lo stesso carattere dell'integrale, di conseguenza diverge.

8. +∞ ln k

X k

(−1) k

k=1

La serie è a segni alterni: criterio di LEIBNIZ. Si vericano le condizioni:

ln k (1.29)

= 0 OK!

lim b =

k k

k→+∞

ln k (1.30)

non crescente def initivamente OK!

k

La seconda può essere vericata tramite lo studio della derivata. Per il criterio di Leibniz la serie converge.

9. +∞ sin (ln k)

X 2

k ln k

k=2

Criterio della CONVERGENZA ASSOLUTA: si studia la serie

+∞ sin (ln k) (1.31)

X 2

k ln k

k=2

Si osserva che e che . Pertanto:

1 1

|sin (ln k)| < 1 <

ln k ln 2

sin (ln k) 1 (1.32)

<

2 2

k ln k k ln 2

fosse convergente, allora lo sarebbe anche

Pertanto, per il criterio del CONFRONTO, se .

+∞

+∞ sin(ln k)

1

P P

2 2

k=2 k=2

k ln 2 k ln k

Per passare dal condizionale all'indicativo si applica il criterio del CONFRONTO ASINTOTICO:

1 1 (1.33)

∼

2 2

k ln 2 k

L'ultima è una serie armonica generalizzata con , pertanto converge. Quindi anche la serie in

1

P α > 1

α

k

esame è convergente. 4

1.4 Stima di un somma

Dimostrare la convergenza della serie +∞ k

(−1)

X k!

k=0

Stimare poi la somma della serie con un errore non superiore a .

−3

10

Si tratta di una serie a segni alterni: si impiega quindi il criterio di Leibniz.

1 (1.34)

lim b = lim = 0 OK!

k k!

k→+∞ k→+∞

1 (1.35)

k! crescente =⇒ non crescente def initivamente OK!

k!

Le ipotesi del teorema son confermate, quindi la serie converge.

Per la stima è opportuno usare la formula (1.36)

|S − | ≤

S b

k k+1 (1.37)

|E ≤

(k)| b

k+1

Dove rappresenta l'errore commesso considerando la ridotta di indice invece della serie completa. Occorre

E (k) k

ora individuare il primo termine della serie inferiore a .

−3

10 (1.38)

0! = 1 (1.39)

1! = 1 (1.40)

2! = 2 (1.41)

3! = 6 (1.42)

4! = 24 (1.43)

5! = 120 (1.44)

6! = 720 (1.45)

7! = 5040

Quindi : si deve calcolare la somma della serie considerando solo i termini no a .

k + 1 = 7 k = 6

1 1 1 1 1 1

1 (1.46)

−1

− − − '

+ + + = 0.368 e

S (6) = 0! 1! 2! 3! 4! 5! 6!

5

ALTRE SERIE NUMERICHE

Nicola Pellicanò

March 15, 2013

SOLUZIONI GIOVEDI

Studiare la convergenza delle seguenti serie numeriche

1.

+∞ 2

−n

P (livello 4/5)

ne

n=1

2.

+∞ n

(−1)

P e stimare la somma della serie con un errore minore di 1/100 (liv-

n!

n=0

ello 3/5)

3.

+∞ 1

P (livello 1.5/5)

n/2

(log(n))

n=2

4.

+∞

1

P (livello 1/5)

√ n

n=5

5. +∞

1

P (livello 1/5)

√

2

n + n

n=1

6.

+∞ 2

2k

P (livello 3/5)

k

1+4

n=0 1

7.

+∞ 1

P in funzione del parametro a e calcolare a tale che la somma sia

n

(1+a)

n=1

1/3 (livello 2/5)

8.

+∞ 1

P (livello 2/5)

n

5 n

n=1

9.

+∞ π

sin(nπ+ )

P (livello 4/5)

2

√ n

n=1

10.

+∞ 1

P (livello 2/5)

√ n

n2

n=1 2

Nicola Pellicanò

March 21, 2013

1.

+∞ 2

−n

P ne

n=1

Conviene usare il criterio integrale o quello della radice o quello del rapporto.

Eseguo lo svolgimento dei primi due:

CRITERIO INTEGRALE 2

Occorre vericare le ipotesi > è sicuramente positiva e con-

−x

f (x) = xe

tinua. Devo vericare la non-crescenza. Ricordiamo da Analisi 1 che per studi-

are l'andamento ne facciamo la derivata.

2 2 2

0 −x −x −x 2 2

· − ⇒ −

f (x) = e + x (−2x)e = e (1 2x ) > 0 (1 2x ) > 0 =⇒

1

1

− < x <

√ √

2 2

La funzione non è non-crescente MA(!!!!) dal valore 1 in poi lo è! ed a noi

interessa proprio integrare da lì! Quindi il criterio integrale è in denitiva AP-

PLICABILE. (perdonate lo scarso formalismo matematico nel trattare il +inf)

´

+∞ h i

2 2 -> L'integrale improprio converge La

−x −x

12 1

− ⇒

dx = =

xe e +∞ 2e

1

1

serie converge

CRITERIO DELLA RADICE

√ √

√ la serie con-

n n −n

2 2

−n −n ·

lim ne = lim n e = lim 1 e = 0 < 1 =⇒

n

n→+∞ n→+∞ n→+∞

verge 1

√

si tenga sempre a mente perchè spesso non viene in mente di

lim n = 1

n

n→+∞

fare il criterio della radice perche non si sa semplicare questa cosa qua, quando

abbiamo visto che in questo caso era abbastanza più veloce.

+∞ n

(−1)

2. P n!

n=0

Criterio di Leibniz:

, ok

1

lim = 0

n!

n→+∞ non-crescente, ovviamente vero.

1

n! n≥0

Verica di non-crescenza: , vero per tutti gli n

1

1 ≤ ⇒ ≤

≤ → n! (n + 1)!

b b

n+1 n (n+1)! n!

La serie è in denitiva convergente

Per calcolare la stima ricorriamo alla formula 1

|s − | ≤ ≤

s b

n n+1 100

1 1

≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥

(n + 1)! 100 n 4

(n+1)! 100

Scegliamo n=4

1 16 1 38

− −

s = 1 1 + + =

4 2 24

+∞

3. 1

P n/2

(log(n))

n=2

CRITERIO DELLA RADICE La serie converge

1 1

√

lim = 0 < 1 =⇒

= lim 1/2

(log(n))

n n/2

(log(n))

n→+∞ n→+∞

+∞

4. , armonica generalizzata con La serie diverge

1

P α = 1/2 =⇒

√

n

n=5

+∞

5. 1

P √

2

n + n

n=1

CONFRONTO ASINTOTICO

La serie converge

1 1

' =⇒

√ 2

2 n

n + n

+∞ 2

6. 2n

P n

1+4

n=0

CRITERIO DEL RAPPORTO n 1

2 2

n n 4 ( +1)

2(n+1) 2(n+1)

1+4 1+4 1

n

· · ·

= lim = lim 1 <

lim =

4

1

n+1 2 2 n n

1+4 2n 2n 1+4·4 4

4 ( +4)

n→+∞ n→+∞ n→+∞ n

4

La serie converge

1 =⇒ 2

+∞

7. , a parametro reale

1

P n

(1+a)

n=1

Si tratta di una serie geometrica, quindi (ricordandone la denizione) imponi-

amo:

Serie convergente per 1

−1 −2 ∨

< < 1 =⇒ a < a > 0

1+a

Serie divergente per 1 ≥ −1 ≤

1 =⇒ < a 0

1+a

Serie indeterminata per 1 ≤ −1 −2 ≤ −1

=⇒ a <

1+a

ATTENZIONE ADESSO! L'esercizio vuole a anchè la somma faccia 1/3! Ma

quella serie geometrica non parte da 0! Dobbiamo imporre:

+∞

+∞ 1 1 1 1

1 P

P − −

= = 1 =

1

n n 0

(1+a) (1+a) (1+a) 3

1− 1+a

n=0

n=1

Risolvendo l'equazione di destra viene a=3.

N.B Si deve controllare se a=3 è un valore che rende la serie eettivamente

convergente, e siccome è così,

la soluzione è accettabile.

+∞

8. 1

P n

5 n

n=1

CRITERIO DELLA RADICE (quello del rapporto è facile lo stesso)

La serie converge

1 1 1

lim = lim = < 1 =⇒

√

√ √

n n 5

n

n n

5 n n 5

n→+∞ n→+∞

+∞ +∞

+∞ π n

)

sin(nπ+ cos(nπ) (−1)

9. P P

P = =

2

√ √ √

n n n

n=1 n=1

n=1

Usiamo il criterio di Leibniz:

, ok

1

lim = 0

√ n

n→+∞

o

n , ok La serie converge

1 −

non crescente =⇒

√ n n≥1

+∞

10. 1

P √ n

n2

n=1

CRITERIO DEL RAPPORTO(quello della radice è facile lo stesso)

√ converge

1 12

n

·

lim n2 = < 1

√ n+1

n+12

n→+∞ 3

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Emanuele Fabbiani

26 febbraio 2015

1 Serie di Potenze

1.1 Stima di raggio e insieme di convergenza

Stabilire il raggio e l'insieme di convergenza delle seguenti serie di potenze.

1. +∞ 2k + 1

X 2k

(x + 2)

−

(k 1) (k + 2)

k=2

2. +∞ 2k + 1

X k

(x + 2)

−

(k 1) (k + 2)

k=2

3. +∞ k

k + (−1) k + 1

X k

x

k + ln k

k=1

4. +∞ k 2k+1

(−1) x

X 2k+1

k! (k + 1)!2

k=0

5. +∞

X k−2 ln k k

2 x

2

k=1

6. +∞

X 2 k

−

(k + 6) (x 2)

k=1

7. +∞ k

−

3k 2

X k

x

k +1

k=1

8. k

+∞ −2

2 −

x 2

k

X k

(−1) k

2

k=0

1.2 Esercizio tratto da temi d'esame

Si consideri la serie di potenze +∞ k

k + e

X k

−

(x 1)

3

k + 1

k=0

Determinare: r

1. Il raggio di convergenza . I

2. L'intervallo di convergenza .

000

f (1) f (x)

3. , dove denota la somma della serie. 1

1.3 Esercizio tratto da temi d'esame

Si consideri la serie di potenze +∞ 1

X k

−

(x 1)

2

k ln (k )

k=2

Determinare: r

1. Il raggio di convergenza . I

2. L'intervallo di convergenza . 2

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Emanuele Fabbiani

27 febbraio 2015

1 Serie di Potenze

Per tutti gli esercizi che richiedono il calcolo di raggio e insieme di convergenza delle serie il procedimento è il

medesimo. Per gli esempi viene utilizzata la serie

+∞ 1 (1.1)

X k

(x + 1)

2

k

k=1

1. Si opera una sostituzione in modo tale che la serie si presenti nella forma (1.2)

X k

a y

k

Dove è un coeciente che NON deve contenere la variabile della funzione , ma SOLO l&#