Calcolare la matrice Hessiana delle seguenti funzioni

1. p 2−f (x, y) = y 2x2 2{(x, ∈ ≥ }domf = y) : y 2xR derivate con-2x 1√ √ 2 2∇f − {(x, ∈ }= , dom∇f = y) : y > 2xR2 2y−2x 2 y−2xtinue all'interno del dominio, dunque vale teorema di Schwarz2 2 −2y! !x∂ f ∂ f 3/2 3/22 22 (y−2x ) (y−2x )∂x ∂y∂x =Hf = 22 x 1−∂ f∂ f 3/2 3/22 2(y−2x ) 4(y−2x )2∂yx∂y ∂xy

2. 1f (x, y) = log( )x+y 2{(x, ∈ −x}domf = y) : y >R 11 −∇f − ,= x+y x+y !1 12 2(x+y) (x+y)Hf = 1 12 2(x+y) (x+y)

Calcolare le seguenti derivate direzionali

in P(1,0) nella direzione (2,1)² - f(x, y) = x xy², (è bene controllare che il punto stia nel dominio)²domf = R 15∇f - x)= (2x y,∇f -1)(1, 0) = (2,∂f ∇f • -1) • -(1, 0) = (1, 0) ~v = (2, (2, 1) = 4 1 = 3∂~v². in P(0,0) nella direzione (1,2)x f(x, y) = e cosyx x∇f -e= (e cosy, siny)∇f (0, 0) = (1, 0)∂f ∇f • •(0, 0) = (0, 0) ~v = (1, 0) (1, 2) = 1∂~v

Calcolare il piano tangente al graco di f nei punti indicati

1. in P(1,1,0)
   4 2 2 2 2- f(x, y) = x x y 2x + 2y
   Ricordiamo che il piano tangente ha formula∇f • -z = z + (x , y ) (x x , y y )
   0 0 0 0 0 3 2 2∇f - -2x= 4x 2xy 4x, y + 4y
   ∇f (1, 1) = (-2, 2)• - -2(x - -2xz = 0 + (-2, 2) (x 1, y 1) = 1) + 2(y 1) = + 2y
2. in P(2,0,2)
   p 2 2f (x, y) = x + y 16 yx√ √∇f = ,2 2 2 2x

+y x +y∇f (2, 0) = (1, 0)• – –z = 2 + (1, 0) (x 2, y) = 2 + x 2 = x

17Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15Emanuele Fabbiani1 marzo 20151 Derivazione in più variabili

1.1 Gradiente

Calcolare il gradiente delle seguenti funzioni.

1. f (x, y) = cos y

2. f (x, y) = arctan x + y

3. f (x, y, z) = e^(4y)

4. f (x, y) = √(2x + y)

5. f (x, y) = √(2x + y)

1.2 Matrice hessiana

Calcolare la matrice hessiana delle seguenti funzioni.

1. f (x, y) = ln x + y

2. f (x, y, z) = e^(2z-y) + y + ln x^8

3. f (x, y, z) = x sin (y) + 2xy

1.3 Derivate direzionali →-f P v

Calcolare la derivata della funzione nel punto verso la direzione .

1. f (x, y) = e^(2-yx) + 2x sin y

2. f (x, y) = ln(x^2 + 3x y)

1.4 Piano tangente f P

Determinare l'equazione del piano tangente alla funzione nel punto indicato.

1. f (x, y) = x + 2xy + y

2. f (x, y) = x + y + 1

(1, 1)

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Emanuele Fabbiani

21 aprile 2015

1 Derivazione in più variabili

1.1 Gradiente

Calcolare il gradiente delle seguenti funzioni.

1. x + y

f (x, y) = cos y

Si utilizza la definizione di gradiente: ∇f ;(x, y) = ∂f (x, y)/∂x i + ∂f (x, y)/∂y j

Si calcolano le derivate parziali, ricordando che tutte le variabili diverse da quella rispetto alla quale si sta eseguendo la derivazione devono essere considerate alla stregua di costanti:

∂f (x, y)/∂x = 1

∂f (x, y)/∂y = -sin y

Quindi: ∇f ;(x, y) = i - sin y j

2. f (x, y) = arctan x + y

∂f (x, y)/∂x = 1/(1 + (x + y)^2)

y 1 22 1 (1.14)√ √ √ √∇f ; =(2, 1) = ;2 2 2 2 5 52 + 1 2 + 15. p 2 2x + y in P (0; 0)f (x, y) = !x y (1.15)∇f (x, y) = ;p p2 2 2 2x + y x + y 00 (1.16)√ √∇f (0, 0) = ; = ?!?2 2 2 20 + 0 0 + 0La funzione NON è derivabile nel punto . Se si prova a calcolare la derivata parziale rispetto allaP (0, 0)variabile seguendo la denizione si scopre che:x df (x, 0) d d∂f (x, y) p (1.17)2 2= = x + 0 = (|x|)∂x dx dx dx x=0x=0 x=0 x=0Come è noto, la funzione modulo non è derivabile nell'origine.

1.2 Matrice hessianaCalcolare la matrice hessiana delle seguenti funzioni.1. 2 2 f (x, y) = ln x + yIl primo passo è calcolare le derivate parziali prime:∂f (x, y) ∂ 1 2x (1.18)2 2 ·= ln x + y = 2x =2 2 2 2∂x ∂x x + y x + y∂f (x, y) ∂ 1 2y (1.19)2 2 ·= ln x + y = 2y =2 2 2 2∂y ∂y x + y x + yPoi le derivate seconde: 2 2 2 22 − · 2x 2x2

x + y −2x∂ f (x, y) + 2y∂ ∂f (x, y) ∂ 2x (1.20)== = = 2 22 2 2∂x ∂x ∂x ∂x x + y 2 2 2 2(x + y ) (x + y )2 22 − · 0 x + y 2x 2y −4xy∂ f (x, y) ∂ ∂f (x, y) ∂ 2x (1.21)= = = =2 22 2∂y∂x ∂y ∂x ∂y x + y 2 2 2 2(x + y ) (x + y )2 22 − · 0 x + y 2x 2y −4xy∂ f (x, y) ∂ ∂f (x, y) ∂ 2y (1.22)= = = =2 22 2∂x∂y ∂x ∂y ∂x x + y 2 2 2 2(x + y ) (x + y )2 22 2 2− · 2 x + y 2y 2y −∂ f (x, y) ∂ ∂f (x, y) ∂ 2y 2x 2y (1.23)= = = =2 22 2 2∂y ∂y ∂y ∂y x + y 2 2 2 2(x + y ) (x + y )2

Le derivate parziali miste sono uguali per il teorema di Schwarz. In generale si può quindi evitare di ripetere il calcolo. La matrice hessiana è denita come:

22 #" ∂ f (x,y)∂ f (x,y) (1.24)2∂x ∂y∂xH (x, y) =f 2 2∂ f (x,y) ∂ f (x,y) (1.25)2∂x ∂y∂y

(x,y)²∂x∂y ∂y

Quindi nel caso in questione vale: 2 2−2x −4xy+2y" # (1.25)2 22 2 2 2(x +y ) (x +y )H (x, y) =f 2 2−4xy −2y2x2 22 2 2 2(x +y ) (x +y )2. 2z−y 2 2 −f (x, y, z) = e + y + ln x 8Derivate parziali prime: 2∂f (x, y, z) ∂ 1 (1.26)2z−y 2 2 ·− 2x == e + y + ln x 8 = 2∂x ∂x x x∂f (x, y, z) ∂ (1.27)2z−y 2 2 2z−y− −ee + y + ln x 8 = + 2y=∂y ∂y∂f (x, y, z) ∂ (1.28)2z−y 2 2 2z−y−= e + y + ln x 8 = 2e∂z ∂zDerivate seconde: 2 ∂ f (x, y, z) ∂ 2 2 (1.29)−= =2 2∂x ∂x x x2 ∂ f (x, y, z) ∂ 2 (1.30)= =0∂y∂x ∂y x2 ∂ 2∂ f (x, y, z) (1.31)= =0∂z∂x ∂z x2∂ f (x, y, z) ∂ (1.32)2z−y −e= + 2y = 0∂x∂y ∂x2∂ f (x, y, z) ∂ (1.33)2z−y 2z−y−e= + 2y = e + 22∂y ∂y2 ∂∂ f (x,

y, z) (1.34)2z-y 2z-y-e -2e= + 2y =∂z∂y ∂z2∂ f (x, y, z) ∂ (1.35)2z-y = 2e = 0∂x∂z ∂x2∂ f (x, y, z) ∂ (1.36)2z-y 2z-y -2e= 2e =∂y∂z ∂y2∂ f (x, y, z) ∂ (1.37)2z-y 2z-y= 2e = 4e2∂z ∂zLa matrice hessiana è: 2 - 0 02x (1.38)2z-y 2z-y-2e0 e + 2H (x, y, z) =f  2z-y 2z-y-2e0 4e3. 2f (x, y, z) = x sin (y) + 2xy in P (1, 0, 1)Derivate parziali prime: ∂f (x, y, z) ∂ (1.39)2 2= x sin (y) + 2xy = s