Raccolta di teoremi e definizioni di fondamenti di analisi 2

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Raccolta dei principali teoremi e definizioni di fondamenti di analisi 2

1 Teorema della mappa implicita di Dini

2 Teorema di Eulero

3 Teorema di esistenza ed unicità globale

4 Teorema di esistenza ed unicità locale

5 Integrale di superficie esteso ad una funzione f

6 Caratterizzazione di una forma esatta

7 Teorema della catena

8 Secondo teorema di Guldino

9 Alcune parametrizzazioni di superfici regolari

10 Definizione di curva parametrizzata regolare con bordo orientato positivamente

11 Teorema della divergenza nello spazio

12 Definizione di curve equivalenti

13 Primo teorema di Guldino

14 Teorema di Poincarè

15 Definizione di curve omotope

16 Alcune nozioni topologiche

17 Formule di Taylor con resto di Peano e di Lagrange

18 Formula di Cauchy-Schwarz

19 Teorema del Wronskiano

20 Teorema di Stokes nello spazio

21 Teorema della divergenza nel piano

22 Teorema di Heine-Borel

23 Definizione di settore piano

24 Volume compreso tra 2 superfici

25 Teorema degli autovalori

26 Criterio dei minori principali

Formule di integrazione

Formule trigonometriche

Determinanti jacobiani

Altre informazioni utili

Principali valori delle funzioni trigonometriche

Soluzioni di un’equazione differenziale di ordine n non omogenea

Metodo della variazione delle costanti

Ecc

Limiti notevoli

Raccolta dei principali teoremi e denizioni di

fondamenti di analisi 2

Teorema della mappa implicita di Dini

1. Sia aperto, , continua e derivabile

n+1

⊂ → →

A R F : A R (x , ..., x , y) F (x , ..., x , y)

1 n 1 n

in y in tutto A, con derivata parziale F continua in A.

y

Sia un punto di A tale che

(x , y ) = (x , x , ..., x , y )

0 0 01 02 0n 0 6

F (x , y ) = 0 F (x , y ) = 0

0 0 y 0 0

Allora esistono >0 e una funzione continua tali che

→ −

δ, σ f : I (x ) (y σ, y + σ)

δ 0 0 0

{(x, ∈ × − {(x, ∈

y) I (x ) (y σ, y + σ) : F (x , y ) = 0} = f (x)) : x I (x )}

δ 0 0 0 0 0 δ 0

2 e f(x ) = y .

0 0

Inoltre, se , allora anche f è di classe C e

1

1

∈ ∀I

F C = 1, ..., n

F (x , f (x))

∂f x i

i

− ∀x ∈

= I (x )

δ 0

∂x F (x , f (x))

i y i

Inne, se .

n n

∈ → ∈

F C f C

Teorema di Eulero

2. Sia un cono aperto, dierenziabile in A, . Allora f è una

n

⊂ → ∈

A R f : A R α R

funzione omogenea di grado se

α ·

(Df (x) x) = αf (x)

Teorema di esistenza ed unicità globale

3. Dato , , sia f: , allora se

n n n

∈ ∈ ∈ × → →

x I R y R I R R (x, y) f (x, y)

(a) f è continua

(b) f è derivabile in R uniformemente rispetto ad y con i=1......n

n i

(c) f è sublineare rispetto ad y cioè · |y|

f (x, y) < L + L

1 2

allora esiste un'unica funzione f(x,y)che risolve il seguente problema di Cauchy

( 0

y = f (x, y) (1)

y = f (x )

0 0

Teorema di esistenza ed unicità locale

4. Siano , a,b>0 dove

n

∈ ⊂ <, ∈ ⊂ <

x I y J ∈ |x − |

I = (x R : x < a)

0

n

∈ |y − |

J = (y R : y < b)

0

e sia . Allora se

n

→

f : IxJ R

f è continua;

• f è lipschitziana rispetto ad y uniformemente rispetto ad x cioè

• |f − · |y − |

(x, y ) f (x, y )| = L y

2 1 2 1

allora esiste un ed un'unica funzione y: per cui si abbia

− →

δ > 0 (x δ, x + δ) J

0 0

( 0

y (x) = f (x, y(x)) (2)

y(x ) = y

0 0

∀x ∈ −

[x δ, x + δ]

0 0 3

Integrale di supercie esteso ad una funzione f

5. Z Z ∧ |du

f dσ = f (φ(u), φ(v))|φ(u, v) φ(u, v) dv

u v

S D

Caratterizzazione di una forma esatta

6. Data una forma 1-dierenziale in continua ed esatta si ha

n

⊂

ω A R

b

Z Z 0

ω = f (x(t), y(t))γ (t)dt

γ a

con →

γ = (x(t, y(t)) : [a, b] A

Data una forma 1-dierenziale continua ed esatta sono equivalenti le

n

⊂ →

ω ω : A R R

seguenti aermazioni

(a) per ogni curva chiusa;

R ω = 0 γ

γ dove e

(b) con e

0 0 0

R R → →

ω = ω γ : [a, b] A γ : [c, d] A γ(a) = γ (c) γ(b) = γ (d)

0

γ γ

Teorema della catena

7. ·

Df (f o g) = Df (g(t)) Dg(t)

Se si è i R cioè nell'ambito dei numeri reali la formula diventa quella detta di Chain Rule

quindi f (g(t)) dg

d(f o g) 0 0

· ·

= = f (g(t)) g (t)

dt dx dt

Secondo teorema di Guldino

8. L'area di una supercie ottenuta ruotando una curva di un certo angolo è data

γ α

R ·

x ds

γ · |γ|

· · |γ| ·

A = α B = α |γ|

dove: è l'angolo di cui si è ruotato ;

• α γ

è ovviamente la curva;

• γ

B è l'ordinata del baricentro di .

&bu