Raccolta di teoremi e definizioni di fondamenti di analisi 2

Raccolta dei principali teoremi e definizioni di fondamenti di analisi 2

• Teorema della mappa implicita di Dini
• Teorema di Eulero
• Teorema di esistenza ed unicità globale
• Teorema di esistenza ed unicità locale
• Integrale di superficie esteso ad una funzione f
• Caratterizzazione di una forma esatta
• Teorema della catena
• Secondo teorema di Guldino
• Alcune parametrizzazioni di superfici regolari
• Definizione di curva parametrizzata regolare con bordo orientato positivamente
• Teorema della divergenza nello spazio
• Definizione di curve equivalenti
• Primo teorema di Guldino
• Teorema di Poincarè
• Definizione di curve omotope
• Alcune nozioni topologiche
• Formule di Taylor con resto di Peano e di Lagrange
• Formula di Cauchy-Schwarz
• Teorema del Wronskiano
• Teorema di Stokes nello spazio
• Teorema della divergenza nel piano
• Teorema di Heine-Borel
• Definizione di settore piano
• Volume compreso tra 2 superfici
• Teorema degli autovalori
• Criterio dei minori principali

Formule di integrazione

Formule trigonometriche

Determinanti jacobiani

Altre informazioni utili

Principali valori delle funzioni trigonometriche

Soluzioni di un’equazione differenziale di ordine n non omogenea

Metodo della variazione delle costanti

Ecc.

Limiti notevoli

Raccolta dei principali teoremi e definizioni di fondamenti di analisi 2

Teorema della mappa implicita di Dini

1. Sia aperto, , continua e derivabile n+1⊂ → →A R F : A R (x , ..., x , y) F (x , ..., x , y)1 n 1 n in y in tutto A, con derivata parziale F continua in A.y

Sia un punto di A tale che (x , y ) = (x , x , ..., x , y )0 0 01 02 0n 0 6 F (x , y ) = 0 F (x , y ) = 0 0 0 y 0 0

Allora esistono >0 e una funzione continua tali che → −δ, σ f : I (x ) (y σ, y + σ) δ 0 0 0 {(x, ∈ × − {(x, ∈y) I (x ) (y σ, y + σ) : F (x , y ) = 0} = f (x)) : x I (x )} δ 0 0 0 0 0 δ 0

2 e f(x ) = y .0 0

Inoltre, se , allora anche f è di classe C e 11 ∈ ∀IF C = 1, ..., n F (x , f (x)) ∂f x ii − ∀x ∈= I (x ) δ 0 ∂x F (x , f (x)) i y i

Infine, se .n n∈ → ∈F C f C

Teorema di Eulero

2. Sia un cono aperto, differenziabile in A, . Allora f è una n⊂ → ∈A R f : A R α R funzione omogenea di grado se α ·(Df (x) x) = αf (x)

Teorema di esistenza ed unicità globale

3. Dato , , sia f: , allora se n n n∈ ∈ ∈ × → →x I R y R I R R (x, y) f (x, y)

• F è continua
• F è derivabile in R uniformemente rispetto ad y con i=1......nn i
• F è sublineare rispetto ad y cioè · |y|f (x, y) < L + L1 2

Allora esiste un'unica funzione f(x,y)che risolve il seguente problema di Cauchy

( 0y = f (x, y) (1)y = f (x )0 0

Teorema di esistenza ed unicità locale

4. Siano , a,b>0 dove n∈ ⊂ <, ∈ ⊂ <x I y J ∈ |x − |I = (x R : x < a)0 n∈ |y − |J = (y R : y < b)0

E sia . Allora se n→f : IxJ R

• F è continua;
• F è lipschitziana rispetto ad y uniformemente rispetto ad x cioè • |f − · |y − |(x, y ) f (x, y )| = L y2 1 2 1

Allora esiste un ed un'unica funzione y: per cui si abbia − →δ > 0 (x δ, x + δ) J0 0

( 0y (x) = f (x, y(x)) (2)y(x ) = y0 0

∀x ∈ −[x δ, x + δ]0 0

Integrale di superficie esteso ad una funzione f

5. Z Z ∧ |duf dσ = f (φ(u), φ(v))|φ(u, v) φ(u, v) dvu v S D

Caratterizzazione di una forma esatta

6. Data una forma 1-differenziale in continua ed esatta si ha n⊂ω A Rb Z Z 0ω = f (x(t), y(t))γ (t)dtγ a

Con →γ = (x(t, y(t)) : [a, b] A

Data una forma 1-differenziale continua ed esatta sono equivalenti le n⊂ →ω ω : A R R seguenti affermazioni

• Per ogni curva chiusa; R ω = 0 γγ dove e
• Con e0 0 0R R → →ω = ω γ : [a, b] A γ : [c, d] A γ(a) = γ (c) γ(b) = γ (d)0γ γ

Teorema della catena

7. ·Df (f o g) = Df (g(t)) Dg(t)

Se si è i R cioè nell'ambito dei numeri reali la formula diventa quella detta di Chain Rule quindi f (g(t)) dgd(f o g) 0 0 · ·= = f (g(t)) g (t)dt dx dt

Secondo teorema di Guldino

8. L'area di una superficie ottenuta ruotando una curva di un certo angolo è data γ α R ·x dsγ · |γ|· · |γ| ·A = α B = α |γ|

• α è l'angolo di cui si è ruotato γ;
• γ è ovviamente la curva;
• B è l'ordinata del baricentro di .&bu