Raccolta di teoremi e definizioni di fondamenti di analisi 2

D D

Teorema di Poincarè

14. Sia un aperto semplicemente connesso. una forma di classe C in A. Se

1

n

⊂

A R ω ω

è chiusa allora è anche esatta.

Denizione di curve omotope

15. Sia , due curve continue e chiuse. Esse si di-

0

n

⊂ → →

A R γ : [a, b] A γ : [a, b] A

cono OMOTOPE se esiste una funzione continua detta OMOTOPIA →

Φ : [0, 1]x[a, b] A

che trasforma la prima nella seconda e viceversa tale che

• ∀t ∈

Φ(0, t) = γ(t) [a, b]

0 ∀t ∈

Φ(1, t) = γ (t) [a, b]

• ∀s ∈

Φ(s, a) = Φ(s, b) [0, 1]

Alcune nozioni topologiche

16. Punto interno: un punto x si dice interno ad un insieme A se preso un suo intorno

• 0

è completamente contenuto in A;

I (x )

δ 0

Punto esterno: si dice esterno un punto per cui preso un suo intorno esso è

• I (x )

δ 0

completamente contenuto nel complementare di A ossia R /A;

n

Punto di frontiera: è tale se non è ne interno ne esterno;

• Punto di accumulazione: si dice che x è punto di accumulazione per A se, preso un

• 0

intorno , esiste sempre un punto x per cui per ogni ;

∩

I (x ) I (x ) A = x δ > 0

δ 0 δ 0

Punto isolato: si dice che x è un punto isolato rispetto ad A se, preso , si ha

• I (x )

0 δ 0

che .

∩

I (x ) A = x

δ 0 0

6 Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange

17. Siano n n l

∈ ⊂ ∈ ⊂ ∈

A R , x A, h R tc [x, x + h] A f C (A)

Resto di Peano: l

2 d f (h)

d f (h) x

x l

+ ... + + o(|h| )

f (x + h) = f (x) + d (h) +

x 2 l!

Resto di Lagrange l

2 f (h)

d

f (h)

d x+θ·h

x

f (x + h) = f (x) + d (h) + + ... +

x 2 l!

OSSERVAZIONE: se ottengo la formula con resto di Peano (le ipotesi sono le stese

→

θ 0

in entrambe le scritture).

Formula di Cauchy-Schwarz

18. Posti vettori si ha;

n

∈

x, y R |x · ≤ |x| · |y|

y|

La condizione di uguaglianza di verica qualora i due vettori siano linearmente dipendenti.

In altre parole il modulo del prodotto scalare è minore del prodotto scalare dei moduli.

Teorema del Wronskiano

19. Siano n soluzioni dell'omogenea L(y )=0, allora le seguenti aermazioni sono

y , ...y i

1 n

equivalenti: sono linearmente INDIPENDENTI;

• y , ..., y

1 n ;

• ∃x ∈ 6

I : ω(x ) = 0

0 0

si ha .

• ∀x ∈ 6

I ω(x) = 0

Teorema di Stokes nello spazio (R )

3

20. Siano supercie regolare con bordo di classe C .

2

2 3

⊂ ⊃

D R , R S = φ(D)

Sia inoltre funzione di classe C .

1

3 3

⊂ →

A R , F : A R

Z Z Z Z Z

· · · ·

rotF dxdydz = F dx + F dy + F dz

1 2 3

+

S ∂S

Teorema della divergenza nel piano (R )

2

21. Siano dominio regolare e

2 2 2

⊂ ⊃ →

D R F : R D R

Z Z

· · ·

divF dxdy = F ν ds

+

D ∂D

Teorema di Heine-Borel

22. Le seguenti aermazioni sono equivalenti: 7

A è compatto;

• A è chiuso e limitato;

• da ogni ricoprimento di aperti si può estrarre un sottoricoprimento nito.

•

Denizione di settore piano

23. Si dice SETTORE PIANO l'insieme dei punti così deniti in coordinate polari: θ <

1

e . L'area d tale settore si calcola come segue:

θ < θ ρ < ρ < ρ

2 1 2 θ 21

2 −

Z ρ

ρ

2 2 ·

A = dθ

2

θ1

Volume compreso tra 2 superci

24. Siano e

2 3

⊂ →

D R f, g : D R Z − ·

V = f (x, y) g(x, y) dxdy

D

Teorema degli autovalori

25. Sia una matrice quadrata e simmetrica allora questa si dice

∈

A M (<)

n×n

(a) denita positiva: se tutti gli autovalori sono maggiori stretti di zero;

(b) denita negativa: se tutti gli autovalori sono minori stretti di zero;

(c) semidenita positiva: se autovalori maggiori o uguali zero;

(d) semidenita negativa: se autovalori minori o uguali zero;

(e) indenita: se esistono almeno due autovalori di segno discorde.

Criterio dei minori principali

26. Sia una matrice simmetrica allora si dice

∈

A M (<)

n×n

(a) denita positiva: se i determinanti di tutti i minori principali sono maggiori stretti

di 0 ( );

A > 0

i

(b) denita negativa: se i determinanti dei minori principali di ordine dispari sono

strettamente negativi mentre quelli dei minori di ordine pari sono strettamente

positivi;

(c) semidenita positiva: se ;

≥

A 0

i

(d) semidenita negativa: se ≥ ≤

A 0 A 0

i i+1

(e) indenita: se non si presenta nessuno dei casi di cui sopra.

Formule di integrazione

→ −cos(y)

f (y) = sin(y) F (y) =

→

f (y) = cos(y) F (y) = sin(y)

→

f (y) = sinh(y) F (y) = cosh(y)

→

f (y) = cosh(y) F (y) = sinh(y) y

1 → F (y) = arcsen

f (y) = p c

2 2

−

c y

1 1 y

→ ·

f (y) = F (y) = arctan

2 2

c + y c c

n+1

[f (x)]

0

α →

f (y) = [f (x)] f (x) F (y) = n +1

1

2 ·

→ (x + sin(x)cos(x))

f (y) = cos (x) F (y) = 2

1

2 → · −

f (y) = sin (x) F (y) = (x sin(x)cos(x))

2

n−1 − Z

cos(x)sin (x) n 1

n n−2

→ ·

f (y) = sin (x) F (y) = + sin (x)dx

n n

8

Formule trigonometriche

− −

sin(a b) = sin(a)cos(b) cos(a)sin(b)

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)

−

cos(a b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

−

cos(a + b) = cos(a)cos(b) sin(a)sin(b)

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

2 2

−

cos(2a) = cos (a) sin (a) r

r − −

1 cos(a) 1 sin(a)

cos(a/2) =

sin(a/2) = 2 2

9

Determinanti jacobiani

coordinate polari

• ∂(ρ, θ)

· · →

(x = ρ cosθ; y = ρ sinθ) det = ρ

∂(x, y)

coordinate cilindriche

• ∂(ρ, θ, z)

· · →

(x = ρ cosθ; y = ρ sinθ; z = z) det = ρ

∂(x, y, z)

coordinate sferiche

• ρ, θ, φ 2 ·

· · · · · → = ρ senφ

(x = ρ senφ cosθ; y = ρ senφ sinθ; z = ρ senφ) det x, y, z

10

Altre informazioni utili

parametrizzazione di un cono. Equazione in coordinate cartesiane di un cono:

• p 2 2

· x + y

z = k

dove k è una costante che denisce l'apotema del triangolo che è proiezione del cono

√

nello spazio sul piano zy (ad esempio). Se k = 1 allora , se allora

−1

tg (1) = π/4 k = 3

√ .

−1

tg ( 3) = π/6 θ sinθ cosθ tanθ

0 0 0 0

√ √

30 3 3

1

principali valori delle funzioni trigonometriche 2 2 3

√

√

• 1

45 2 2 √

2 2

√

60 3 1 3

2 2

90 0 1 ∞

forma generale di una forma dierenziale

• n

X ·

ω(x) = a dx

i

i=0

integrale curvilineo di una forma dierenziale

• b

Z Z 0

· ·

ω = a(φ(x)) φ (t) dt

φ a

massimi e minimi relativi basati sull'Hessiana con determinante non nullo

• Hf (x , y ) > 0 f (x , y ) > 0

0 0 xx 0 0

allora (x , y ) è un punto di minimo relativo.

0 0 Hf (x , y ) > 0 f (x , y ) < 0

0 0 xx 0 0

allora (x , y ) è un punto di massimo relativo.

0 0 Hf (x , y ) = 0

0 0

indipendentemente dal segno della f allora (x , y ) è un punto di sella (ne si minimo ne

xx 0 0

di massimo). 11

12 matrici denite positive/negative, semidenite o indenite

• 1. denita positiva: i determinanti di tutti i minori principali sono maggiori stretti di

0 ( );

A > 0

i

2. denita negativa: i determinanti dei minori principali di ordine dispari sono stretta-

mente negativi mentre quelli dei minori di ordine pari sono strettamente positivi;

3. semidenita positiva: ;

≥

A 0

i

4. semidenita negativa: ≥ ≤

A 0 A 0

i i+1

5. indenita: se non si presenta nessuno dei casi di cui sopra.

Se la matrice è diagonalizzata si può concludere che sia:

1. denita positiva: tutti gli autovalori sono maggiori stretti di zero;

2. denita negativa: tutti gli autovalori sono minori stretti di zero;

3. semidenita positiva: autovalori maggiori o uguali zero;

4. semidenita negativa: autovalori minori o uguali zero;

5. indenita: esistono almeno due autovalori di segno discorde.

soluzioni di un'equazione dierenziale del tipo

• (n) (n−1)

· ·

y + a y + .... + a y = f (x)

1 n

Se il termine noto è del tipo allora le soluzioni particolari saranno

λx ·

f (x) = e p (x)

m

1. se il polinomio caratteristico dell'omogenea

dove q (x) è un polinomio dello stesso grado

λx

6 → · ·

p(λ) = 0 y (x) = cost e q (x) m

p m

di quello del termine noto;

2. se il polinomio caratteristico dell'omogenea

dove q (x) è un polinomio dello stesso

h λx

→ · · ·

p(λ) = 0 y (x) = cost x e q (x) m

p m

grado di quello del termine noto e h è il grado della radice del termine noto;

Se il termine noto è del tipo λx · · ·

f (x) = e (p (x) cos(µx) + r (x) sin(µx))

m k

1. se il polinomio caratteristico dell'omogenea dove q (x),

λx

6 → · · · ·

p(λ + jµ) = 0 y (x) = cost e (q (x) cos(µx) + s (x) sin(µx)) n n

p n n

(x) sono polinomi di grado n=max(m,k);

2. se il polinomio caratteristico dell'omogenea dove q (x),

h λx

→ · · · · ·

p(λ + jµ) = 0 y (x) = cost x e (q (x) cos(µx) + s (x) sin(µx)) n n

p n n

(x) sono polinomi di grado n=max(m,k) e h è il grado della radice del termine noto;

Metodo della variazione delle costanti per la risoluzione di sistemi del tipo

• 00 0

· ·

y + a(x) y + b(x) y = f (x)

Devo conosc