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Raccolta di teoremi e definizioni di fondamenti di analisi 2

Appunti di fondamenti di analisi 2 basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Lamberti dell’università degli Studi di Padova - Unipd, facoltà di Ingegneria, Corso di laurea in ingegneria dell'energia. Scarica il file in formato PDF!

Esame di Fondamenti di analisi 2 docente Prof. P. Lamberti

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5

Primo teorema di Guldino

13. Il volume in R generato dalla rotazione di una supercie piana D è dato da

3 3

⊂ R

·

V = l m(D)

dove : è la lunghezza dell'arco di circonferenza percorso dal baricentro (dove a

• ·

l = α r

0

sua volta r è la distanza del baricentro dall'asse di rotazione);

0

m(D) è l'area della supercie di rotazione

Il baricentro della supercie è dato da:

Z Z

1 1

· ·

x = x dxdy y = y dxdy

0 0

m(D) m(D)

D D

Teorema di Poincarè

14. Sia un aperto semplicemente connesso. una forma di classe C in A. Se

1

n

A R ω ω

è chiusa allora è anche esatta.

Denizione di curve omotope

15. Sia , due curve continue e chiuse. Esse si di-

0

n

⊂ → →

A R γ : [a, b] A γ : [a, b] A

cono OMOTOPE se esiste una funzione continua detta OMOTOPIA →

Φ : [0, 1]x[a, b] A

che trasforma la prima nella seconda e viceversa tale che

• ∀t ∈

Φ(0, t) = γ(t) [a, b]

0 ∀t ∈

Φ(1, t) = γ (t) [a, b]

• ∀s ∈

Φ(s, a) = Φ(s, b) [0, 1]

Alcune nozioni topologiche

16. Punto interno: un punto x si dice interno ad un insieme A se preso un suo intorno

• 0

è completamente contenuto in A;

I (x )

δ 0

Punto esterno: si dice esterno un punto per cui preso un suo intorno esso è

• I (x )

δ 0

completamente contenuto nel complementare di A ossia R /A;

n

Punto di frontiera: è tale se non è ne interno ne esterno;

• Punto di accumulazione: si dice che x è punto di accumulazione per A se, preso un

• 0

intorno , esiste sempre un punto x per cui per ogni ;

I (x ) I (x ) A = x δ > 0

δ 0 δ 0

Punto isolato: si dice che x è un punto isolato rispetto ad A se, preso , si ha

• I (x )

0 δ 0

che .

I (x ) A = x

δ 0 0

6 Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange

17. Siano n n l

∈ ⊂ ∈ ⊂ ∈

A R , x A, h R tc [x, x + h] A f C (A)

Resto di Peano: l

2 d f (h)

d f (h) x

x l

+ ... + + o(|h| )

f (x + h) = f (x) + d (h) +

x 2 l!

Resto di Lagrange l

2 f (h)

d

f (h)

d x+θ·h

x

f (x + h) = f (x) + d (h) + + ... +

x 2 l!

OSSERVAZIONE: se ottengo la formula con resto di Peano (le ipotesi sono le stese

θ 0

in entrambe le scritture).

Formula di Cauchy-Schwarz

18. Posti vettori si ha;

n

x, y R |x · ≤ |x| · |y|

y|

La condizione di uguaglianza di verica qualora i due vettori siano linearmente dipendenti.

In altre parole il modulo del prodotto scalare è minore del prodotto scalare dei moduli.

Teorema del Wronskiano

19. Siano n soluzioni dell'omogenea L(y )=0, allora le seguenti aermazioni sono

y , ...y i

1 n

equivalenti: sono linearmente INDIPENDENTI;

• y , ..., y

1 n ;

• ∃x ∈ 6

I : ω(x ) = 0

0 0

si ha .

• ∀x ∈ 6

I ω(x) = 0

Teorema di Stokes nello spazio (R )

3

20. Siano supercie regolare con bordo di classe C .

2

2 3

⊂ ⊃

D R , R S = φ(D)

Sia inoltre funzione di classe C .

1

3 3

⊂ →

A R , F : A R

Z Z Z Z Z

· · · ·

rotF dxdydz = F dx + F dy + F dz

1 2 3

+

S ∂S

Teorema della divergenza nel piano (R )

2

21. Siano dominio regolare e

2 2 2

⊂ ⊃ →

D R F : R D R

Z Z

· · ·

divF dxdy = F ν ds

+

D ∂D

Teorema di Heine-Borel

22. Le seguenti aermazioni sono equivalenti: 7

A è compatto;

• A è chiuso e limitato;

• da ogni ricoprimento di aperti si può estrarre un sottoricoprimento nito.

Denizione di settore piano

23. Si dice SETTORE PIANO l'insieme dei punti così deniti in coordinate polari: θ <

1

e . L'area d tale settore si calcola come segue:

θ < θ ρ < ρ < ρ

2 1 2 θ 21

2 −

Z ρ

ρ

2 2 ·

A = dθ

2

θ1

Volume compreso tra 2 superci

24. Siano e

2 3

⊂ →

D R f, g : D R Z − ·

V = f (x, y) g(x, y) dxdy

D

Teorema degli autovalori

25. Sia una matrice quadrata e simmetrica allora questa si dice

A M (<)

n×n

(a) denita positiva: se tutti gli autovalori sono maggiori stretti di zero;

(b) denita negativa: se tutti gli autovalori sono minori stretti di zero;

(c) semidenita positiva: se autovalori maggiori o uguali zero;

(d) semidenita negativa: se autovalori minori o uguali zero;

(e) indenita: se esistono almeno due autovalori di segno discorde.

Criterio dei minori principali

26. Sia una matrice simmetrica allora si dice

A M (<)

n×n

(a) denita positiva: se i determinanti di tutti i minori principali sono maggiori stretti

di 0 ( );

A > 0

i

(b) denita negativa: se i determinanti dei minori principali di ordine dispari sono

strettamente negativi mentre quelli dei minori di ordine pari sono strettamente

positivi;

(c) semidenita positiva: se ;

A 0

i

(d) semidenita negativa: se ≥ ≤

A 0 A 0

i i+1

(e) indenita: se non si presenta nessuno dei casi di cui sopra.

Formule di integrazione

→ −cos(y)

f (y) = sin(y) F (y) =

f (y) = cos(y) F (y) = sin(y)

f (y) = sinh(y) F (y) = cosh(y)

f (y) = cosh(y) F (y) = sinh(y) y

1 → F (y) = arcsen

f (y) = p c

2 2

c y

1 1 y

→ ·

f (y) = F (y) = arctan

2 2

c + y c c

n+1

[f (x)]

0

α →

f (y) = [f (x)] f (x) F (y) = n +1

1

2 ·

→ (x + sin(x)cos(x))

f (y) = cos (x) F (y) = 2

1

2 → · −

f (y) = sin (x) F (y) = (x sin(x)cos(x))

2

n−1 − Z

cos(x)sin (x) n 1

n n−2

→ ·

f (y) = sin (x) F (y) = + sin (x)dx

n n

8

Formule trigonometriche

− −

sin(a b) = sin(a)cos(b) cos(a)sin(b)

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)

cos(a b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

cos(a + b) = cos(a)cos(b) sin(a)sin(b)

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

2 2

cos(2a) = cos (a) sin (a) r

r − −

1 cos(a) 1 sin(a)

cos(a/2) =

sin(a/2) = 2 2

9

Determinanti jacobiani

coordinate polari

• ∂(ρ, θ)

· · →

(x = ρ cosθ; y = ρ sinθ) det = ρ

∂(x, y)

coordinate cilindriche

• ∂(ρ, θ, z)

· · →

(x = ρ cosθ; y = ρ sinθ; z = z) det = ρ

∂(x, y, z)

coordinate sferiche

• ρ, θ, φ 2 ·

· · · · · → = ρ senφ

(x = ρ senφ cosθ; y = ρ senφ sinθ; z = ρ senφ) det x, y, z

10


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Nic1495

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8 mesi fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria dell'energia
SSD:
Università: Padova - Unipd
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Nic1495 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fondamenti di analisi 2 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Padova - Unipd o del prof Lamberti Pier Domenico.

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