Prove d'esame: Integrali e Limiti svolti

Prova d'esame: limiti

1. lim _x→∞ ⁵√(x⁵+2x⁴) - ⁴√(x⁴+1)

Il limite presenta una forma indeterminata ∞ - ∞. Quindi:

lim _x→∞ (⁵√(x⁵+2x⁴) - ⁴√(x⁴+1)) = lim _x→∞ (x⁵(1+(2/x))^4/5 - x⁵(1+(1/x⁴))^1/4)

lim _x→∞ x(₅√(1+(2/x)) - ₄√(1+(1/x⁴))) = lim _x→∞ x(A + A/x^1/5) - x(1+A/x⁴)

So che: lim _x→∞ (1+x^d-1)/x = d. Di conseguenza:

lim _x→∞ ((1+(2/x))^4/5-1)/(4/5x) - ((1+(1/x⁴))^1/4-1)/(4/x) = 1/5 - 1/4 = -1/20

Prova d'esame: limiti

1. _x→∞(⁵√(x⁵+2x⁴) - ⁴√(x⁴+1))

Il limite presenta una forma indeterminata ∞-∞. Quindi:

lim_x→∞(x⁵√(x⁵+2x⁴)) - ⁴√((x⁴(x⁴+1)/⁵)) = >lim_x→∞(⁵√(x⁵(4 + 2/x)) - ⁴√(x⁴(x⁴+1/x)) = lim_x→∞ x((x⁴+1)/⁵) - _x⁴(1+4/x)^1/4)

So che lim_x→∞(1 + x^d) - 1 / x = α. Di conseguenza:

lim_x→∞((1 + 2/x)^4/5 - 1) - (1 - (1+x)/⁵)⁴ - 1)/x = 1/5 - 1/4 = -2/20

Prova d'esame: integrali

1. ^√x/_{√x² + x} dx =

[∫₁^√2 √x/√(x² + x) dx = 1/2 * ∫₁^√2 x/√x² dx = 1/2 ∫₁^√2 (√x² dx - x) - 1/2 ∫₁^√2 1/√x² + x dx = ]

= 1/2 [(√(√7 - x²)^3/2) - (1 - √7)]^1/3 = [4√2 / 2 - √2 / 2 + 4√(4√11)^3/2]

1. ∫ √x / √x² + x dx = y

Pongo √x - y = x; y² + x = dx = 2y2/ y² - 3x + 4 = dx/ y² - 3x + d/ 4= 2(y + 2) (y - 1)2∫ 1 dy = ∫ 2/y + 2/ - y dy = 4/y² + y dot ü y

1. ∫ 2 - y = 2/ y² - y = 2 / y√ x = x

1/ u² √x/√x = d/ dx2 = y * x = 1/3∫ sen y dy; x: x

1. ∫ sen y dy = 2 ∫ y sen y dy = - 2y² cos y + 4 ∫ y cos y dy

∫ y cos y dy = y sen y - ∫ sen y dy = y sen y + cos y Determin2 ∫ y³ y dy = -2y³ y cos y + 4 ∫ sen y + 4 cos y = -2x cos √x + 4 √x sen √x + 4 y cos √x

Calcolare l'integrale indefinito ∫x^t√^x2/_4y²+x² dx √¹/_x²4y²+x² dx

Pongo √^x2/_4y²+x²y=x² x² (4-1-y ²) x=^x2(4-y24y²+x²y²

Quindi tornando all'integrale √¹/_{√(x²) d x²} y=^y//_(4-y²)