Prove svolte Analisi 1

Il mio consenso

Firma1. Numeri complessi. Scrivere in forma esponenziale e trigonometrica il coniugato del seguente numero complesso 4i√3 + i2. Insieme di definizione e derivata. Determinare:

• l'insieme di definizione;
• la derivata e l'insieme di definizione della derivata;
• l'insieme f ([1, +∞)) della seguente funzione -√(2/√21 - x) / (1/3).

Limite di una funzione. Calcolare il seguente limite:

lim sin(π(1 - cos^3x)) / (4arcsin(3x)) as x→0.

Serie di potenze. Determinare il raggio di convergenza della seguente serie:

∑(n+2)/(3^n), n=1 to ∞, e studiare il comportamento sul bordo.

Studio di funzione. Assegnata la funzione f(x) = e^(x-1)/(x+1):

1. Determinare il suo insieme di definizione e quello della sua derivata;
2. Determinare eventuali asintoti, punti angolosi e cuspidi;
3. Determinare gli estremi relativi e/o assoluti;
4. Scrivere l'equazione della retta tangente nel punto di.

ascissa x = 2;

(e) Disegnare un grafico approssimativo trascurando lo studio della concavità;

∈(f) Indicare il numero delle soluzioni dell'equazione f (x) = k, al variare di k IR;

Prova scritta Pag. 1 di 2 11 Gennaio 2016

(g) A partire dal grafico di f , applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico, disegnare il|f - grafico di (x) 2e|, Riportare anche i vari grafici di passaggio utilizzati per costruire il grafico della funzione. Segnare sugli assi gli eventuali asintoti.

6. Integrali e Sommabilità. Calcolare +∞ 2xZ e dx .

4x1 + e0

La funzione integranda è sommabile su [0, +∞)?

7. Equazioni differenziali. Determinare l'integrale generale della seguente equazione differenziale

xe00 0 - .y + y 2y = x1 + e

Prova Scritta Pag. 2 di 2 11 Gennaio 2016

ANALISI MATEMATICA I

Titolari: Adele Ferone & Annamaria Piccirillo

12/7/2022

COGNOME e NOME:

Matricola:

1. Grafico di funzione. Assegnata la funzione 4x + 3f (x) = log ,2x + 1

(a) Determinare il

suo insieme di definizione e quello della sua derivata;

(b) Determinare eventuali asintoti e classificare eventuali punti di non derivabilità;

(c) Determinare gli estremi relativi e/o assoluti;

(d) Scrivere e disegnare l’equazione della retta tangente nel punto di ascissa x = 0;

(e) Disegnare un grafico approssimativo trascurando lo studio della concavità;−

(f) Stabilire se esistono numeri reali k per i quali l’equazione f (x) k = 0 non é risolubile.

Manipolazione di un grafico. Sia f la funzione dell’esercizio n. 1 e sia I(f ) il suo insieme didefinizione, disegnare le funzioni: (|f − ∈(x) log2| x I(f )g(x) = 3x + 1 altrove .e ( ∈f (|x|) x I(f )h(x) = 3x + 1 altrove .

2. Serie Numeriche. Studiare la convergenza della serieπ X n − arctan n .(−1) 2n≥1

3. Equazioni Differenziali. Risolvere il seguenti problemi dı̀i Cauchy:

( 00 0 2x−y 2y = e (x + 1)0 1−y(0) = 0 y (0) = .4

4. Limite di funzione. Calcolare il seguente

limitesettsinh x√lim .6−1 1 + 2xx→0 √−5. Numeri complessi. Rappresentare nel piano di Gauss le radici quadrate di i 36. Integrali. Sia x2e + 1f (x) = .2x x −e + e 2• RCalcolare f (x)dx;1• RCalcolare f (x)dx.log 2 Pag. 1 di 1 12 Luglio 2022ANALISI MATEMATICA ITitolari: Adele Ferone & Annamaria Piccirillo14/07/2021COGNOME e NOME:Matricola:Esame completo Esame parziale Terza prova Intercorso1. Assegnata la funzione |4x − 4|f (x) = arcsin 21 + x• Determinare il dominio di f e della sua derivata;• Stabilire l’esistenza di eventuali asintoti e, in caso affermativo, determinarne la loro equazione edisegnarli nel piano cartesiano;• Classificare gli eventuali punti di non derivabilità e tracciare un grafico locale intorno ad essi;• Studiare le proprietà di monotonia della funzione, indicando gli eventuali estremi relativi disegnandole rette tangenti al grafico corrispondenti ad essi;• Tracciare un grafico

1. Calcolare il seguente integrale definito:

∫ ¹/_x xZ e^{log(1 + e)}√ dx .

2. Rappresentare nel piano di Gauss l'insieme dei punti:

√(√4-3) 9z = .1+ i

3. Determinare il carattere della seguente serie:

∑ ¹/_2X √arctan(αn) nn=1 ∈ al variare di α IR.

4. Calcolare il seguente limite:

lim (2x +1)/(x³ +4) as x→+∞

5. Determinare i parametri reali a e b in modo tale che la funzione:

g(x) = 2( sinh(x+x) )/(ax + b)

risulti continua e derivabile nel suo insieme di definizione.

6. Risolvere i seguenti problemi di Cauchy:

y'' + 5xy' = 0

y + 5xy' = 0

y(1) = 0

y'(1) = 1 .

Compito scritto Pag. 1 di 1 14 Luglio 2021

ANALISI MATEMATICA ICCdLL Matematica e Fisica

Titolare: Adele Ferone

15/07/2015

COGNOME e NOME:

Matricola:

Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso

Il docente chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)

○DO ○NEGO

IL MIO CONSENSO IL MIO CONSENSO

Firma

1. Numeri complessi. Scrivere in forma algebrica e trigonometrica le soluzioni della seguente equazione

   4 - z = 2i - 1

2. Insieme di definizione e derivata. Determinare l'insieme di definizione, f ((-∞, 1]), la derivata e l'insieme di definizione della derivata della seguente funzione

   f(x) = (|x - log 1|)^(1/2)

3. Limite di una funzione. Calcolare il seguente limite

   lim(x→0) (sin x / x)

4. Serie di potenze. Determinare il carattere della seguente serie al variare di x ∈ IR

   ∑ (n=1 to ∞) (nx^(3n)) / ((2n)!)

5. Studio di funzione. Assegnata la funzione

   f(x) = 2|x - 1| + 3|log 1 ,x

   1. Determinare il suo insieme di definizione e quello della sua derivata

   2. Determinare eventuali asintoti

punti angolosi e cuspidi;

(c) Determinare gli estremi relativi e/o assoluti;

(d) Scrivere l'equazione della retta tangente nel punto di ascissa x = 3;

(e) Disegnare un grafico approssimativo trascurando lo studio della concavità;

53 -log ?

(f) Quante soluzioni ammette l'equazione f (x) =

(g) A partire dal grafico di f , applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico, disegnare il

53 |f - |,

grafico di (x 3) + log Riportare anche i vari grafici di passaggio utilizzati per costruire il

grafico della funzione. Segnare sugli assi gli eventuali asintoti.

Prova scritta Pag. 1 di 2 15 Luglio 2015

∈6. Integrali e Sommabilità. Dire per quali α IR la funzione

11 sinf (x) = ,

α α

x x∞)

è sommabile nell'intervallo [1, e calcolare le primitive di f e f .

2 37. Equazioni differenziali. Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale

00 -y 2y + y = cosx + sin x .

Prova Scritta Pag. 2 di 2 15 Luglio

2015ANALISI MATEMATICA I

Titolari: Adele Ferone & Annamaria Piccirillo

23/6/2022

COGNOME e NOME:

Matricola:

1. Grafico di funzione. Assegnata la funzione √3 −2 x ,f (x) = (x + 1)

   1. Determinare il suo insieme di definizione e quello della sua derivata;
   2. Determinare eventuali asintoti e classificare eventuali punti di non derivabilità;
   3. Determinare gli estremi relativi e/o assoluti;
   4. Scrivere e disegnare l’equazione della retta tangente nei punti di flesso;
   5. Disegnare un grafico approssimativo SENZA TRASCURARE lo studio della concavità;∈
   6. Indicare il numero delle soluzioni dell’equazione f (x) = k, al variare di k IR;

2. Manipolazione di un grafico. Assegnata la funzione( 2− ≤2x x + 3 x 3ln(ax + b) x > 3 .• ∈

   1. Determinare a, b IR in modo che risulti continua e derivabile;
   2. Disegnare il grafico e la retta tangente nel punto x = 0, effettuando solo ed unicamente operazioni con i grafici (traslazione, dilatazione)

dominio di f e della sua derivata;

Stabilire l'esistenza di eventuali asintoti e, in caso affermativo, determinarne la loro equazione edisegnarli nel piano cartesiano;

Classificare gli eventuali punti di non derivabilità e tracciare un grafico locale intorno ad essi;

Studiare le proprietà di monotonia della funzione, indicando gli eventuali estremi relativi disegnandole rette tangenti al grafico corrispondenti ad essi;

Studiare la concavità e la convessità della funzione, determinando eventuali punti di flesso e diseg-nando le rette tangenti al grafico corrispondenti ad essi. Tracciare un grafico di f ;

Calcolare il seguente integrale indefinito ∫(2x + xe + 3e) dx.