Propagazione e trasmissione - Appunti

Lezioni di Propagazione e Trasmissione

Indice

1. Propagazione per onde
1. Introduzione
2. Onde elettromagnetiche

Capitolo 1: Propagazione per onde

1.1 Introduzione

Lo studio dei fenomeni elettromagnetici é affidato, a livello macroscopico, ad un insieme di equazioni empiriche note come equazioni di Maxwell:

∂b∇× −e = ∂t

∂d∇× h = + J∂t

∇· d = ρ

∇· =0

Nelle suddette equazioni, i vettori e, h, d, b, J rappresentano, rispettivamente, il campo elettrico, il campo magnetico, l’induzione elettrica, l’induzione magnetica e la densitá superficiale di corrente, mentre lo scalare ρ denota la densitá volumetrica di carica. Tutte le grandezze citate sono funzioni delle tre coordinate spaziali x, y,

z e della coordinata temporale t. Ricordando le definizioni degli operatori rotore e divergenza in coordinate cartesiane:

∇× A = ∂Ay/∂z - ∂Az/∂y + ∂Ax/∂z - ∂Az/∂x + ∂Ax/∂y - ∂Ay/∂x

∇· A = ∂Ax/∂x + ∂Ay/∂y + ∂Az/∂z

è facile osservare che le prime due equazioni di Maxwell correlano variazioni spaziali di campo elettrico a variazioni temporali di campo magnetico e viceversa. In particolare, esprimendo la prima equazione nella corrispondente forma integrale si ricava la legge di Faraday:

∫ ∇· B dV = - ∫ (∂E/∂t) dV

dove φ rappresenta il flusso di induzione magnetica.

La legge di Faraday (1.1) consente di affermare che la variazione temporale del flusso di induzione magnetica produce una f.e.m. indotta, il cui segno è tale da opporsi alla causa generatrice. In altri termini, un campo magnetico variabile

I ∂φ d·h dL = + i (1.2)c∂tγ

La (1.2) esprime la possibilitá che un campo magnetico sia prodotto non soloda cariche libere, rappresentate dalla corrente di conduzione i , ma anche dacvariazioni temporali del flusso di induzione elettrica φ . Un campo elettricodvariabile nel tempo genera, dunque, un campo magnetico.

1.2 Onde elettromagnetiche

La conseguenza piú appariscente delle equazioni di Maxwell é il fenomeno del-la propagazione elettromagnetica: una sorgente attiva in una certa regionespaziale, a partire da un certo istante temporale, é rilevabile sperimental-mente solo dopo un intervallo temporale finito non nullo. L’onda elettro-magnetica puó, dunque, definirsi come segnale identificabile punto per puntoed istante per istante, che si propaga con velocitá

finita.Un generico segnale ondoso puó essere rappresentato, dal punto di vista(x, y, z, t), dove si matematico, mediante un funzione vettoriale del tipo Ué indicata la duplice dipendenza spaziale e temporale. Semplificando l’anal-isi, é possibile assumere una singola orientazione e considerare una funzione scalare u(z, t), dove si é fatta l’ulteriore ipotesi che la dipendenza spaziale sia limitata alla sola coordinata z. Un esempio familiare é rappresentato dall’onda cosinusoidale: · −u(z, t) = A cos(ωt kz) (1.3)3Nell’equazione (1.3), il termine A denota l’ampiezza del segnale, ω = 2πf nerappresenta la pulsazione, mentre il termine k prende il nome di costante di fase o di propagazione.Si supponga, ora, di voler rappresentare graficamente la (1.3) rispetto alla per la coordinata variabile temporale t. A tale scopo, si fissi un valore z = z ospaziale, ottenendo la funzione (di una sola variabile):· −u(z , t)

A cos(ωt kz ) (1.4)

Il grafico della (1.4), illustrato in fig.1.1, mostra che la funzione considerata risulta essere periodica, con periodo temporale T correlato alla pulsazione ω mediante la ben nota relazione: 2πω = T per la

Procedendo in modo del tutto analogo, si fissi un valore t = to coordinata temporale, ricavando la funzione spaziale:

-u(z, t ) = A cos(ωt kz) (1.5)

Come mostrato in fig.1.2, la (1.5) è anch'essa una funzione periodica, con periodo spaziale λ, detto lunghezza d'onda, che risulta correlato alla costante di propagazione k dalla relazione: 2πk = λ/4