Propagazione e trasmissione - lezioni

ersa. In particolare, esprimendo la prima equazione nella corrispondente

forma integrale si ricava la legge di Faraday:

I ∂φ b

· −

f.e.m. = dL = (1.1)

e ∂t

γ

dove φ rappresenta il flusso di induzione magnetica.

b

La (1.1) consente di affermare che la variazione temporale del flusso di in-

duzione magnetica produce una f.e.m. indotta, il cui segno é tale da opporsi

alla causa generatrice. In altri termini, un campo magnetico variabile nel

tempo genera un campo elettrico. In modo del tutto analogo, la forma in-

tegrale della seconda equazione di Maxwell riproduce la legge di Ampére

generalizzata al caso dinamico:

I ∂φ d

·

h dL = + i (1.2)

c

∂t

γ

La (1.2) esprime la possibilitá che un campo magnetico sia prodotto non solo

da cariche libere, rappresentate dalla corrente di conduzione i , ma anche da

c

variazioni temporali del flusso di induzione elettrica φ . Un campo elettrico

d

variabile nel tempo genera, dunque, un campo magnetico.

1.2 Onde elettromagnetiche

La conseguenza piú appariscente delle equazioni di Maxwell é il fenomeno del-

la propagazione elettromagnetica: una sorgente attiva in una certa regione

spaziale, a partire da un certo istante temporale, é rilevabile sperimental-

mente solo dopo un intervallo temporale finito non nullo. L’onda elettro-

magnetica puó, dunque, definirsi come segnale identificabile punto per punto

ed istante per istante, che si propaga con velocitá finita.

Un generico segnale ondoso puó essere rappresentato, dal punto di vista

(x, y, z, t), dove si

matematico, mediante un funzione vettoriale del tipo U

é indicata la duplice dipendenza spaziale e temporale. Semplificando l’anal-

isi, é possibile assumere una singola orientazione e considerare una funzione

scalare u(z, t), dove si é fatta l’ulteriore ipotesi che la dipendenza spaziale

sia limitata alla sola coordinata z. Un esempio familiare é rappresentato

dall’onda cosinusoidale: · −

u(z, t) = A cos(ωt kz) (1.3)

3

Nell’equazione (1.3), il termine A denota l’ampiezza del segnale, ω = 2πf ne

rappresenta la pulsazione, mentre il termine k prende il nome di costante di

fase o di propagazione.

Si supponga, ora, di voler rappresentare graficamente la (1.3) rispetto alla

per la coordinata

variabile temporale t. A tale scopo, si fissi un valore z = z o

spaziale, ottenendo la funzione (di una sola variabile):

· −

u(z , t) = A cos(ωt kz ) (1.4)

o o

1

0.8

0.6

0.4

0.2

,t)

0 0

u(z −0.2

−0.4

−0.6

−0.8

−1

0 1 2 3 4 5

t [s] −8

T x 10

Figura 1.1: Rappresentazione grafica della funzione (1.4)

Il grafico della (1.4), illustrato in fig.1.1, mostra che la funzione considerata

risulta essere periodica, con periodo temporale T correlato alla pulsazione ω

mediante la ben nota relazione: 2π

ω = T per la

Procedendo in modo del tutto analogo, si fissi un valore t = t

o

coordinata temporale, ricavando la funzione spaziale:

· −

u(z, t ) = A cos(ωt kz) (1.5)

o o

Come mostrato in fig.1.2, la (1.5) é anch’essa una funzione periodica, con

periodo spaziale λ, detto lunghezza d’onda, che risulta correlato alla costante

di propagazione k dalla relazione: 2π

k = λ

4

1

0.8

0.6

0.4

0.2

)

0

u(z,t 0

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8

−1

0 5 10 15

λ z [m]

Figura 1.2: Rappresentazione grafica della funzione (1.5)

Si consideri, ora, l’andamento della funzione (1.3), al variare della coordinata

spaziale z, per due distinti valori della coordinata temporale, rispettivamente

t e t + ∆t. 1

0.8

0.6 ∆ z

0.4

0.2

)

0

u(z,t 0

−0.2

−0.4 istante t

−0.6 istante t+∆ t

−0.8

−1

0 5 10 15

z [m]

Figura 1.3: Propagazione dell’onda

Come illustrato in fig.1.3, la curva trasla spazialmente, ovvero si propaga di

un tratto ∆z senza deformarsi.

La velocitá di propagazione v dell’onda, detta velocitá di fase, deve lasciare

f

inalterata la forma del segnale, ossia deve soddisfare la relazione:

u(z, t) = u(z + ∆z, t + ∆t) (1.6)

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