Propagazione e trasmissione - lezioni

Equazioni di Maxwell

∂A ∂A ∂A∂A ∂A ∂Ay z xz x y− − −∇× b b bA = x + y + z∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y∂A ∂A ∂Ax y z∇· = + +A ∂x ∂y ∂zé facile osservare che le prime due equazioni di Maxwell correlano variazionispaziali di campo elettrico a variazioni temporali di campo magnetico e vicev-2ersa. In particolare, esprimendo la prima equazione nella corrispondenteforma integrale si ricava la legge di Faraday:I ∂φ b· −f.e.m. = dL = (1.1)e ∂tγdove φ rappresenta il flusso di induzione magnetica.bLa (1.1) consente di affermare che la variazione temporale del flusso di in-duzione magnetica produce una f.e.m. indotta, il cui segno é tale da opporsialla causa generatrice. In altri termini, un campo magnetico variabile neltempo genera un campo elettrico. In modo del tutto analogo, la forma in-tegrale della seconda equazione di Maxwell riproduce la legge di

Ampéregeneralizzata al caso dinamico: I ∂φ d·h dL = + i (1.2)c∂tγ

La (1.2) esprime la possibilitá che un campo magnetico sia prodotto non solo da cariche libere, rappresentate dalla corrente di conduzione i, ma anche da variazioni temporali del flusso di induzione elettrica φ. Un campo elettrico dvariabile nel tempo genera, dunque, un campo magnetico.

1.2 Onde elettromagnetiche

La conseguenza piú appariscente delle equazioni di Maxwell é il fenomeno della propagazione elettromagnetica: una sorgente attiva in una certa regione spaziale, a partire da un certo istante temporale, é rilevabile sperimentalmente solo dopo un intervallo temporale finito non nullo. L’onda elettromagnetica puó, dunque, definirsi come segnale identificabile punto per punto ed istante per istante, che si propaga con velocitá finita.

Un generico segnale ondoso puó essere rappresentato, dal punto di vista (x, y, z, t), mediante un funzione

Il vettore del tipo Ué indica la duplice dipendenza spaziale e temporale. Semplificando l'anal-isi, é possibile assumere una singola orientazione e considerare una funzione scalare u(z, t), dove si é fatta l'ulteriore ipotesi che la dipendenza spaziale sia limitata alla sola coordinata z. Un esempio familiare é rappresentato dall'onda cosinusoidale: −u(z, t) = A cos(ωt kz) (1.3)

Nell'equazione (1.3), il termine A denota l'ampiezza del segnale, ω = 2πf ne rappresenta la pulsazione, mentre il termine k prende il nome di costante di fase o di propagazione.

Si supponga, ora, di voler rappresentare graficamente la (1.3) rispetto alla variabile temporale t. A tale scopo, si fissi un valore z = z o spaziale, ottenendo la funzione (di una sola variabile): −u(z , t) = A cos(ωt kz ) (1.4)

o o

10.8

0.6

0.4

0.2

t)

0

0

u(z −0.2

−0.4

−0.6

−0.8

−1

1

2

3

4

5

t [s] −8T x

Il grafico della (1.4), illustrato in fig.1.1, mostra che la funzione considerata risulta essere periodica, con periodo temporale T correlato alla pulsazione ω mediante la ben nota relazione: 2πω = T per la Procedendo in modo del tutto analogo, si fissi un valore t = to coordinata temporale, ricavando la funzione spaziale: - u(z, t ) = A cos(ωt kz) (1.5) Come mostrato in fig.1.2, la (1.5) é anch’essa una funzione periodica, con periodo spaziale λ, detto lunghezza d’onda, che risulta correlato alla costante di propagazione k dalla relazione: 2πk = λ

Si consideri, ora, l’andamento della funzione (1.3), al variare della coordinata spaziale z, per due distinti valori della coordinata temporale, rispettivamente t e t

+ ∆t. 10.80.6 ∆ z0.40.2)0u(z,t 0−0.2−0.4 istante t−0.6 istante t+∆ t−0.8−10 5 10 15z [m]

Figura 1.3: Propagazione dell’onda

Come illustrato in fig.1.3, la curva trasla spazialmente, ovvero si propaga diun tratto ∆z senza deformarsi.

La velocitá di propagazione v dell’onda, detta velocitá di fase, deve lasciarefinalterata la forma del segnale, ossia deve soddisfare la relazione:

u(z, t) = u(z + ∆z, t + ∆t) (1.6)

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