Propagazione e trasmissione

Fase e Vettore di Poynting

La fase della (1.22) è data dalla quantità -kz, che risulta costante per quei valori di z soddisfacenti la condizione z = costante, ovvero sui piani paralleli al piano x - y, che risultano ortogonali all'asse z di propagazione dell'onda.

La densità di potenza istantanea associata ad un campo elettromagnetico e, h è rappresentata dal cosiddetto vettore di Poynting e risulta così definita:

s = e × h (1.23)

La corrispondente rappresentazione fasoriale si ricava sostituendo nella (1.23) la (1.9), particolarizzata per i campi e, h:

jωt jωt

s = Re E · e × Re H · e (1.24)

Assegnato un numero complesso z = a + jb ed il suo coniugato z = a - jb, si può scrivere:

z + za = Re{z} (1.25)

Sostituendo la (1.25) nella (1.24), si ha:

jωt jωt

E · e + E · e + H · e × H · e = s × (1.26)

2 2

111 * * * * -j2ωtj2ωt× H · e + × H +E E E E+ × H × H · e= 4 4 4 4Riapplicando la (1.25) nella (1.26), si ricava:11 * j2ωt} += × H × H · e (1.27)s Re {E Re E2 2Quest'ultima relazione mostra che la densità di potenza istantanea è data dalla somma di un termine costante nel tempo e di un secondo termine variabile con pulsazione doppia rispetto a quella del campo elettromagnetico.La quantità: 91 *S = × HRe {E } (1.28)2rappresenta, pertanto, il valore medio della densità di potenza.L'analisi condotta finora ha riguardato mezzi privi di perdite, caratterizzati da un valore nullo per la conducibilità σ. In presenza di valori non nulli di σ, la seconda equazione di Maxwell nel dominio dei fasori assume la forma:= jωD + J (1.29)∇ × Hdove D = ǫE, mentre J = σE rappresenta la corrente indotta per effetto dellaconducibilità finita σ. Manipolando la (1.29), si ricava: jωεE + σE = jωbεE (1.30)∇ × H dove si è posto: σε = ε - jωb Si osservi come la (1.30) coincida con la (2.11), a patto di sostituire la permittività reale ε (caso senza perdite) con il nuovo valore complesso ε (caso con perdite). Ipotizzando, come nel paragrafo (2.3), la presenza di un'onda piana del tipo E, H che si propaga lungo l'asse z, le equazioni (2.12) e (2.14) assumono la forma: dEx/dz = -jωμHy (1.31) dHy/dz = jωbεEx Derivando rispetto a z la prima delle equazioni (1.31), si ricava: d^2Ex/dz^2 = -ωμbεEx = -ωεμ + jσωμE = γ^2Ex da cui: d^2Ex/dz^2 - γ^2E = 0 (1.32) La soluzione generale della (1.32) assume la forma: E(z) = Ex e^(-γz) + Ex e^(γz) con γ = α + jβ. Considerata,

in particolare, la sola onda diretta, si ha l'espressione :+ −αz −jβzE · e ex−αz −jβzdove il termine e é detto , mentre il termine efattore di attenuazioneprende il nome di Il risultato ottenuto mostra chefattore di propagazione.”in presenza di perdite l'ampiezza del campo decade esponenzialmente lungo”.la direzione di propagazione z

La soluzione del sistema (1.31) in termini di campo magnetico H é layseguente: + −E E−γzx x γzH (z) = · e − · e (1.34)y η ηp pdove s jωµη =p σ + jωǫrappresenta l'impedenza complessa del mezzo con perdite.Un parametro significativo nei casi di condicibilitá finita é la cosiddetta pro-definita come ”lafonditá di penetrazione, distanza z in corrispondenza della1 ”. Applicandoquale l'ampiezza dell'onda diminuisce di un fattore pari a .e1la suddetta definizione, si

ricava che δ = .αLe espressioni complete dei parametri α e β sono le seguenti:

#"rr 12 σǫµ 21+α = ω − 12 ωǫ (1.35)"r #r 1 2σǫµ 2β = ω 1+ +12 ωǫ111.4 Generalizzazione del concetto di onda pia-naNel caso piú generale in cui un’onda piana si propaghi lungo una direzionearbitraria r = x · x + y · y + z · z , con un vettore di propagazione k =b b b √= ω ǫµ, le espressioni del campok · x + k · y + k · z avente modulo |k|b b bx y zelettromagnetico assumono la forma: −jk·rE = E (1.36)· eo −jk·rH = H (1.37)· eoAl fine di ricavare le relazioni che intercorrono tra i vettori E e H , sio oconsideri la prima equazione di Maxwell nel dominio dei fasori:= −jωµH (1.38)∇ × ESostituendo le espressioni (1.36) e (1.37) nella (1.38), si ricava:−jk·r

_−jk·r∇ × E = _−jωµH (1.39)· e · eo o come imposto dal-Sostituendo, quindi, l’operatore nabla con il termine _−jk, l’operazione di derivazione rispetto alle coordinate spaziali, la (1.39) assume la forma: _{−jk·r −jk·r−jk} × E = _−jωµH (1.40)· e · eo oManipolando la (1.40), si ricava: _{b = ωµH|k| · i × Ek o o}da cui: _{1 bH = i × E} (1.41)ko oηProcedendo in modo analogo sulla seconda equazione di Maxwell:= _jωǫE (1.42)∇ × Hé possibile sostituire le espressioni (1.36) e (1.37) nella (1.42), ricavando: _{−jk·r −jk·r∇ × H = jωǫE} (1.43)· e · eo o12e, dopo alcune manipolazioni: _{bE = −η i × H} (1.44)ko oLe relazioni (1.41) e (1.44), dette relazioni d’onda piana, vengono utilizzate per calcolare, senza ricorrere alle equazioni di Maxwell,Il campo magnetico una volta assegnato l'espressione per il campo elettrico e viceversa.

131.5 Incidenza Normale

Un'onda piana con il campo elettrico diretto lungo l'asse x si propaga in un mezzo con parametri ǫ, µ nella direzione z positiva. All'ascissa z=0 è posta un'interfaccia che separa il primo mezzo da un secondo di parametri ǫ2, µ2 (fig.1.4).

Il campo elettrico incidente è dato dall'espressione:

−jki z= x · E · e (1.45)

E b 1o√ µ

Il corrispondente campo magnetico incidente vale:

Eo −jki zH · e (1.46)

= y ·b 1η 1q µ

con η = 1/ǫ1

Giunto sull'interfaccia, il campo elettromagnetico incidente viene parzialmente riflesso e parzialmente trasmesso. Le corrispondenti espressioni dei nuovi campi sono le seguenti:

r jk z= x · E Γ · e

E b 112o (1.47)

E Γ 12or jk zH

• · e= −by · 1η 114 −jkt z= x · E τ · eE b 212o (1.48)E τ 12o −jkt zH · e= y ·b 2η 2q√ µdove i termini k = ω rappresentano, rispettivamente, laǫ µ e η = 22 2 2 2 ǫ2costante di propagazione e l’impedenza del secondo mezzo.
• Per derivare le espressioni dei coefficienti di riflessione Γ e di trasmissione12τ , occorre applicare la condizione di continuitá delle componenti tangenziali12dei campi sull’interfaccia z=0. In altri termini, si tratta di imporre che:
• 1 2(z = 0) = E (z = 0)E tan tan (1.49)
• 1 2(z = 0) = H (z = 0)H tan tan
• Sostituendo nella (1.49) le corrispondenti espressioni dei campi, si ricava:
• i r t(z = 0) + E (z = 0) = E (z = 0)E (1.50)
• i r tH (z = 0) + H (z = 0) = H (z = 0)
• da cui, facendo uso delle espressioni (1.45-1.48), si ha:
• E + E Γ = E τ12 12o o o (1.51)
• E E Γ E τ12 12o o o− =η η η1 1 2
• Risolvendo il sistema (1.51),

Si ricavano le espressioni dei coefficienti Γ e τ: Γ = 12η - η2 / (1.52) τ = 12η + η2 / (1.52) Si osservi come essi dipendano esclusivamente dalle caratteristiche elettriche dei due mezzi, particolarità dovuta al tipo di incidenza normale. 1.6 Incidenza Obliqua Nel caso più generale in cui un'onda piana incida obliquamente con angolo θ su un'interfaccia di separazione tra due mezzi, i fenomeni di riflessione e di trasmissione individuano due angoli (fig.1.5) e le espressioni del campo elettrico incidente, riflesso e trasmesso assumono la forma: Ei = E · er - jki (1.53) Er = E · er - jkr (1.54) Et = E · et - jkt (1.55) E = E · ex eme1e2 (1.56) Figura 1.5: Incidenza obliquai1−jk (xsinθ −zcosθ )r ro= E · e (1.57)E r r1−jk (xsinθ +zcosθ )t toE = E · e (1.58)t t 216dove k e k rappresentano i valori delle costanti di propagazione nel primo1 2e nel secondo mezzo, rispettivamente. Le espressioni (1.56), (1.57) e (1.58) vengono utilizzate per determinare le