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1.4 Generalizzazione del concetto di onda pia-

na

Nel caso piú generale in cui un’onda piana si propaghi lungo una direzione

arbitraria r = x · x + y · y + z · z , con un vettore di propagazione k =

b b b √

= ω ǫµ, le espressioni del campo

k · x + k · y + k · z avente modulo |k|

b b b

x y z

elettromagnetico assumono la forma: −jk·r

E = E (1.36)

· e

o −jk·r

H = H (1.37)

· e

o

Al fine di ricavare le relazioni che intercorrono tra i vettori E e H , si

o o

consideri la prima equazione di Maxwell nel dominio dei fasori:

= −jωµH (1.38)

∇ × E

Sostituendo le espressioni (1.36) e (1.37) nella (1.38), si ricava:

−jk·r −jk·r

∇ × E = −jωµH (1.39)

· e · e

o o come imposto dal-

Sostituendo, quindi, l’operatore nabla con il termine −jk,

l’operazione di derivazione rispetto alle coordinate spaziali, la (1.39) assume

la forma: −jk·r −jk·r

−jk × E = −jωµH (1.40)

· e · e

o o

Manipolando la (1.40), si ricava:

b = ωµH

|k| · i × E

k o o

da cui: 1 b

H = i × E (1.41)

k

o o

η

Procedendo in modo analogo sulla seconda equazione di Maxwell:

= jωǫE (1.42)

∇ × H

é possibile sostituire le espressioni (1.36) e (1.37) nella (1.42), ricavando:

−jk·r −jk·r

∇ × H = jωǫE (1.43)

· e · e

o o

12

e, dopo alcune manipolazioni: b

E = −η i × H (1.44)

k

o o

Le relazioni (1.41) e (1.44), dette relazioni d’onda piana, vengono utilizzate

per calcolare, senza ricorrere alle equazioni di Maxwell, il campo magnetico

una volta assegnato l’espressione per il campo elettrico e viceversa.

13

1.5 Incidenza Normale

Un’onda piana con il campo elettrico diretto lungo l’asse x si propaga in un

mezzo con parametri ǫ , µ nella direzione z positiva. All’ascissa z=0 é posta

1 1

un’interfaccia che separa il primo mezzo da un secondo di parametri ǫ , µ

2 2

(fig.1.4). x

e m e ,m

, 2 2

1 1

i

E z

y

Figura 1.4: Incidenza Normale

Il campo elettrico incidente é dato dall’espressione:

−jk

i z

= x · E · e (1.45)

E b 1

o

√ µ .

dove k = ω ǫ 1 1

1

Il corrispondente campo magnetico incidente vale:

E

o −jk

i z

H · e (1.46)

= y ·

b 1

η 1

q µ

con η = .

1

1 ǫ

1

Giunto sull’interfaccia, il campo elettromagnetico incidente viene parzialmen-

te riflesso e parzialmente trasmesso. Le corrispondenti espressioni dei nuovi

campi sono le seguenti: r jk z

= x · E Γ · e

E b 1

12

o (1.47)

E Γ 12

o

r jk z

H · e

= −b

y · 1

η 1

14 −jk

t z

= x · E τ · e

E b 2

12

o (1.48)

E τ 12

o −jk

t z

H · e

= y ·

b 2

η 2

q

√ µ

dove i termini k = ω rappresentano, rispettivamente, la

ǫ µ e η = 2

2 2 2 2 ǫ

2

costante di propagazione e l’impedenza del secondo mezzo.

Per derivare le espressioni dei coefficienti di riflessione Γ e di trasmissione

12

τ , occorre applicare la condizione di continuitá delle componenti tangenziali

12

dei campi sull’interfaccia z=0. In altri termini, si tratta di imporre che:

1 2

(z = 0) = E (z = 0)

E tan tan (1.49)

1 2

(z = 0) = H (z = 0)

H tan tan

Sostituendo nella (1.49) le corrispondenti espressioni dei campi, si ricava:

i r t

(z = 0) + E (z = 0) = E (z = 0)

E (1.50)

i r t

H (z = 0) + H (z = 0) = H (z = 0)

da cui, facendo uso delle espressioni (1.45-1.48), si ha:

E + E Γ = E τ

12 12

o o o (1.51)

E E Γ E τ

12 12

o o o

− =

η η η

1 1 2

Risolvendo il sistema (1.51), si ricavano le espressioni dei coefficienti Γ e

12

τ 12: η − η

2 1

Γ =

12 η + η

2 1 (1.52)

2η 2

τ =

12 η + η

2 1

Si osservi come essi dipendano esclusivamente dalle caratteristiche elettriche

dei due mezzi, particolaritá dovuta al tipo di incidenza normale.

15

1.6 Incidenza Obliqua

Nel caso piú generale in cui un’onda piana incida obliquamente con angolo

θ su un’interfaccia di separazione tra due mezzi, i fenomeni di riflessione e

i

di trasmissione individuano due angoli (fig.1.5) e le espressioni del campo

elettrico incidente, riflesso e trasmesso assumono la forma:

i ·r

−jk

i io

E (1.53)

= E · e r ·r

−jk

r ro (1.54)

E = E · e t ·r

−jk

t to (1.55)

E = E · e

x

e m e m

, ,

1 1 2 2

k r k t

q q

r t z

q

i

k i

Figura 1.5: Incidenza obliqua i r

,k e

Sostituendo le corrispondenti relazioni per i vettori di propagazione k

t

k , si ricava: −jk (xsinθ +zcosθ )

i io

E = E · e (1.56)

i i

1

−jk (xsinθ −zcosθ )

r ro

= E · e (1.57)

E r r

1

−jk (xsinθ +zcosθ )

t to

E = E · e (1.58)

t t

2

16

dove k e k rappresentano i valori delle costanti di propagazione nel primo

1 2

e nel secondo mezzo, rispettivamente.

Le espressioni (1.56), (1.57) e (1.58) vengono utilizzate per determinare le

relazioni che intercorrono tra l’angolo di incidenza θ e gli angoli di riflessione

i

θ e trasmissione θ . In particolare, imponendo la continuitá delle componenti

r t

tangenziali dei campi all’interfaccia in z=0, si puó scrivere:

E (z = o) = E (z = 0)

1 2

da cui: i r t

E (z = o) + E (z = o) = E (z = 0) (1.59)

Sostituendo le espressioni (1.56), (1.57) e (1.58) nella (1.59), si ha:

−jk −jk −jk

io ro to

xsinθ xsinθ xsinθ

= E (1.60)

E · e + E · e · e

r t

i

1 1 1

L’equazione (1.60) é soddisfatta se gli esponenziali coindono, ovvero se sono

garantite le condizioni: k xsinθ = k xsinθ (1.61)

1 1

i r

k xsinθ = k xsinθ (1.62)

1 2

i t

Dal sistema (1.61) si ricavano le leggi di Snell:

θ = θ (1.63)

r i

k sinθ = k sinθ (1.64)

1 2

i t

L’orientazione dei campi viene specificata rispetto ad un piano, detto piano

contenente il vettore di incidenza k e la normale alla superficie

di incidemza, i

di separazione. Nella geometria di fig.2.7, il piano di incidenza coincide con

il piano x-z. Rispetto a tale piano é possibile distinguere due particolari

orientazioni per il campo elettromagnetico:

• in cui il campo elettrico risulta orto-

Orientazione perpendicolare,

gonale al piano di incidenza e, pertanto, diretto lungo l’asse y;

• in cui il campo elettrico giace nel piano di

Orientazione parallela,

incidenza e possiede due componenti, orientate lungo gli assi x e z.

17

1.6.1 Polarizzazione Perpendicolare

Considerata, per semplicitá di trattazione, la prima delle suddette orienta-

zioni (fig.2.8), il campo elettrico incidente é dato dall’espressione:

X

H

r

E r E

t

K t

K r H

t

qr q t

q i Z

K i

E

i H

i

Figura 1.6: Incidenza obliqua con orientazione Perpendicolare

−jk (xsinθ +zcosθ )

E = y E e (1.65)

b i i

1

o

i

Il campo magnetico associato deve essere ortogonale sia al campo elettrico,

, secondo l’espressione:

sia alla direzione del vettore di propagazione k i

1 b × E

H i

= (1.66)

k

i i

η i

1

Sostituendo la (1.65) nella (1.66), si ricava:

E

o −jk (xsinθ +zcosθ )

H = e (b

xsinθ + z cosθ ) × y =

b b

i i

1 i i

i η 1

E

o −jk (xsinθ +zcosθ )

(b

z sinθ − x

cosθ ) e (1.67)

= b i i

1

i i

η 1

Procedendo in modo analogo per i campi riflesso e trasmesso, si ricava:

−jk (xsinθ −zcosθ )

= y E Γ e

E b r r

1

o

r (1.68)

E Γ ⊥

o −jk (xsinθ −zcosθ )

= (b

z sinθ + x

cosθ ) e

H b r r

1

r r

r η 1 18

−jk (xsinθ +zcosθ )

E = y E τ e

b t t

2

o

t (1.69)

E τ ⊥

o −jk (xsinθ +zcosθ )

= (b

z sinθ − x

cosθ ) e

H b t t

2

t t

t η 2

Applicando le condizioni di continuitá dei campi all’interfaccia, si ricavano

le espressioni dei coefficienti di riflessione e trasmissione:

η cosθ − η cosθ

2 1

i t

Γ =

⊥ η cosθ + η cosθ

2 1

i t (1.70)

2η cosθ

2 i

τ =

⊥ η cosθ + η cosθ

2 1

i t

Si osservi come, a differenza dell’incidenza normale, i valori dei coefficienti

dipendano non solo dalle caratteristiche del mezzo ma anche dagli angoli di

incidenza e di trasmissione.

1.6.2 Trasmissione Totale: angolo di Brewster

Nell’ipotesi che l’interfaccia separi due dielettrici ideali di parametri ǫ , µ

1 1

e ǫ , µ , con ǫ > ǫ , si vogliano determinare i valori dell’angolo di inciden-

2 2 2 1

za θ che annullano il coefficiente di riflessione, distinguendo i due tipi di

i

polarizzazione. Considerato il caso di polarizzazione perpendicolare, si puó

scrivere: cosθ − ncosθ

η cosθ − η cosθ

2 1 i t

i t = (1.71)

Γ =

⊥ η cosθ + η cosθ cosθ + ncosθ

2 1

i t i t

p

dove n = ǫ /ǫ rappresenta l’indice di rifrazione del secondo mezzo rispetto

2 1

al primo.

Sostituendo la seconda legge di Snell nella [1.71], si ricava:

√ 2 2

− sin θ

n

cosθ − i

i √ (1.72)

Γ =

⊥ 2 2

cosθ + n − sin θ

i i

Per θ = 0 si ha:

i 19

n − 1

|Γ | =

⊥ n +1

Posto, invece, Γ = 0, si ricava:

⊥ 2 2 2

cos θ = n − sin θ

i i

La suddetta equazione non ammette soluzioni reali, pertanto si conclude che

la funzione Γ risulta essere monotona crescente e non presenta punti di

nullo.

Nel caso di polarizzazione parallela, si puó scrivere:

√ 2

2 2

− sin θ − n cosθ

cosθ − ncosθ n i i

t i √

Γ = (1.73)

=

k cosθ + ncosθ 2 2 2

n − sin θ + n cosθ

t i i i

Anche in questo caso, per θ = 0 risulta:

i n − 1

|Γ | =

k n +1

Tuttavia, a differenza di quanto verificato nel caso di polarizzazione per-

pendicolare, la funzione Γ presenta dei punti di nullo. Si puó scrivere,

k

infatti: n

2 2 4 2 √

Γ = 0 ⇒ n − sin θ = n cos θ ⇒ sinθ = (1.74)

k i i i 2

n +1

L’angolo di incidenza che soddisfa la [1.74] é detto angolo di trasmissione

totale o anche di Brewster.

1.6.3 Riflessione totale

Sostituendo nella (1.64) le espressioni di k e k , si ricava, nell’ipotesi che

1 2

µ = µ = µ :

1 2 o √

ǫ µ · sinθ = ω ǫ

ω µ · sinθ

1 2

o i o t

da cui: 20

sinθ n 2

i = (1.75)

sinθ n 1

t

dove le quantitá n , n rappresentano gli indici di rifrazione del primo e del

1 2

secondo mezzo, rispettivamente.

Ipotizzando che n > n , la (1.75) mostra che, all’aumentare dell’angolo di

1 2

incidenza θ , l’angolo di rifrazione θ cresce piú velocemente (fig.1.7); si avrá,

i t

pertanto, un valore di θ , detto angolo limite, in corrispondenza del quale

i o

l’angolo di rifrazione vale 90 , dando luogo ad un fenomeno di riflessione

totale. x q

t z

q

i Figura 1.7: Riflessione totale

21

Capitolo 2

Linee di Trasmissione

2.1 Introduzione

L’analisi dei circuiti, in elettrotecnica, viene effettuata mediante modelli a

parametri concentrati, nei quali la dipendenza spaziale di tensioni e correnti

viene trascurata, assumendo che la propagazione dei segnali dal generatore

all’utilizzatore sia istantanea. Una tale approssimazione é consentita solo

a frequenze sufficientemente basse, tali da considerare il circuito in esame

In presenza di apparati elettronici dimensionalmente

elettricamente piccolo.

comparabili alla lunghezza d’onda non é piú possibile trascurare i fenomeni

di propagazione e le grandezze circuitali (tensione e corrente) assumono una

duplice dipendenza dalle coordinate spaziali e temporali. Si parla, in tal caso,

di Un esempio tipico é rappresentato dalle

circuiti a parametri distribuiti.

sistemi di due o piú conduttori paralleli la cui distanza

linee di trasmissione,

di separazione risulta elettricamente piccola rispetto alla lunghezza stessa dei

conduttori. Alcuni esempi di linee a due conduttori sono illustrati in fig.2.1,

dove la sorgente é rappresentata da un circuito equivalente di Thevenin e

la linea é connessa ad un carico resistivo di valore R . Il piano di massa

L

presente nel secondo circuito sostituisce il conduttore di ritorno.

Nel seguito verranno prese in esame esclusivamente linee di trasmissione a

due conduttori omogenee ed uniformi, nelle quali le proprietá del dielettrico

interposto e la sezione trasversale restano invariate in ogni punto della linea.

22

Rs CARICO

Vg R

+

- L R L

Rs

Circuito di

THEVENIN +

Vg - PIANO DI MASSA

Figura 2.1: Esempi di linee di trasmissione a due conduttori

2.2 Linee nel dominio del tempo

2.2.1 Equazioni dei telegrafisti

L’analisi delle linee di trasmissione prevede di determinare gli andamenti delle

correnti nei conduttori e delle tensioni tra gli stessi conduttori in ogni punto

della linea. La possibilitá di definire in modo univoco tensioni e correnti deri-

va dalla configurazione di campo elettromagnetico trasversale caratterizzante

la struttura: i vettori di campo elettrico e di campo magnetico risultano or-

togonali (trasversali) all’asse della linea, solitamente l’asse z, lungo il quale

avviene la propagazione.

Allo scopo di derivare le equazioni delle linee, si consideri un tratto di

lunghezza ∆z << λ, che puó essere schematizzato mediante il circuito a

parametri concentrati illustrato in fig.2.2.

Figura 2.2: Circuito equivalente ad un tratto ∆z << λ

La capacitá per unitá di lunghezza C modella l’effetto capacitivo del campo

23

elettrico che circonda i conduttori, mentre l’induttanza per unitá di lunghezza

L tiene conto del campo magnetico dovuto alla corrente che fluisce nei due

conduttori.

Applicando le leggi di Kirchoff al circuito di fig.2.2, si ricavano le equazioni:

∂i(z, t)

v(z, t) − L∆z = v(z + ∆z, t)

∂t (2.1)

∂v(z, t)

i(z, t) − C∆z = i(z + ∆z, t)

∂t

Manipolando il sistema (2.1) e passando al limite per ∆z → 0, si ha:

v(z + ∆z, t) − v(z, t) ∂i(z, t)

lim = −L

∆z ∂t

∆z→0 (2.2)

∂v(z + ∆z, t)

i(z + ∆z, t) − i(z, t) = −C

lim ∆z ∂t

∆z→0

pervenendo, infine, al sistema, detto dei telegraf isti, di equazioni alle de-

rivate parziali del primo ordine nelle incognite tensione e corrente, funzioni

delle coordinate spaziali e temporali.: ∂i(z, t)

∂v(z, t) = −L

∂z ∂t (2.3)

∂v(z, t)

∂i(z, t) = −C

∂z ∂t

2.2.2 Soluzioni delle equazioni delle linee nel dominio

del tempo

Al fine di derivare le distribuzioni di tensione e corrente lungo la linea, si

derivi rispetto a z la prima delle (2.3), ottenendo:

2 2

∂ v(z, t) ∂ i(z, t)

= −L (2.4)

2

∂z ∂z∂t

Sostituendo la seconda delle (2.3) nella (2.4), si ha:

2

2 ∂ v(z, t)

1

∂ v(z, t) − =0 (2.5)

2

2 2

∂z v ∂t

f

24

1

dove si é posto v = .

f LC

L’equazione (2.5) ammette soluzione generale data dalla sovrapposizione di

un’onda progressiva e di un’onda regressiva. Al fine di ricavarne l’espressione

analitica, si consideri il cambiamento di variabili:

z

x = t − v f (2.6)

z

y = t + v f

rispetto al quale le derivate composte assumono la forma:

∂v

∂v ∂x ∂v ∂y 1 ∂v

∂v = · + · = − −

∂z ∂x ∂z ∂y ∂z v ∂x ∂y

f

∂v ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂v

= · + · = +

∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂x ∂y (2.7)

2 ∂v ∂v 1

∂ ∂v ∂v

∂ 1 1 1

∂ v − + − =

= − − −

2

∂z ∂x v ∂x ∂y v ∂y v ∂x ∂y v

f f f f

2 2

2

1 ∂ v ∂ v

∂ v

= + − 2

2 2 2

v ∂x ∂y ∂x∂y

f 2 2 2

2 ∂ v ∂ v ∂ v

∂ v = + + 2

2 2 2

∂t ∂x ∂y ∂x∂y

Sostituendo le relazioni (2.7) nella (2.5), si ricava:

2 ∂v

∂ ∂v

∂ v =0 ⇒

=0 ⇒ = f (x) (2.8)

∂x∂y ∂y ∂x ∂x

Risolvendo quest’ultima equazione, si ha:

Z

v(x, y) = f (x)dx + f (y) = f (x) + f (y) (2.9)

2 1 2

ovvero, in termini delle variabili originarie z,t:

25

z z

t −

v(z, t) = V · v t +

+ V · v (2.10)

1 1 2 2

v v

f f

In modo del tutto analogo, derivando rispetto a z la seconda delle (2.3), si

ricava l’equazione rispetto alla sola corrente i(z, t):

2 2

∂ i(z, t) 1 ∂ i(z, t)

− =0 (2.11)

2

2 2

∂z v ∂t

f

La soluzione generale della (2.11) assume la forma:

z

z + I · i (2.12)

t +

i(z, t) = I · i t − 2 2

1 1 v v

f f

2.2.3 Impedenza Caratteristica

Le distribuzioni di tensione e corrente (2.10) e (2.12) sono fra loro correlate.

z

z t −

, I · i

t −

Se si considerano, infatti, le sole onde dirette V · v 1 1

1 1 v v

f f

e si sostituiscono nel sistema dei telegrafisti (2.3), si ricava:

z z

t −

∂v t −

∂i

1 1

v v

f f

V = −LI (2.13)

1 1

∂z ∂t

z , l’equazione (2.13) assume la forma:

Posto u = t − v f ∂v (u) ∂i (u)

V 1 1

1 = −LI (2.14)

− 1

v ∂u ∂u

f

Manipolando la (2.14), si ricava:

∂ V · v (u)

1 1 − LI · i (u) = 0 (2.15)

1 1

∂u v f

da cui risulta: V · v (u) − LI · i (u)v = costante (2.16)

1 1 1 1 f

Scegliendo la costante pari a zero, si ottiene la relazione:

V · v (u) = Lv I · i (u) = Z I · i (u) (2.17)

1 1 1 1 1 1

f o

q L rappresenta l’impedenza caratteristica della linea.

dove la quantitá Z =

o C

Procedendo in modo analogo per le onde riflesse, si ricava:

26

V · v (u) = −Z I · i (u) (2.18)

2 2 2 2

o

In definitiva, le distribuzioni di tensione e corrente sono esprimibili nella

forma:

z z

v(z, t) = V · v t − + V · v t +

1 1 2 2

v v

f f (2.19)

V z z

V

1 2

i(z, t) = t − t +

v − v

1 2

Z v Z v

o f o f

Le ampiezze V e V vengono determinate dall’applicazione di opportune

1 2

condizioni agli estremi della linea, ovvero sul generatore e sul carico.

2.2.4 Coefficienti di riflessione e trasmissione

Si consideri una linea di trasmissione di impedenza caratteristica Z , utiliz-

o

zata per connettere un generatore di tensione V ad un carico di impedenza

g

Z (fig.2.3).

L t

o Zo

+

Vg Z

L

_

Figura 2.3: Circuito a linea di trasmissione

All’istante t l’interruttore viene chiuso e la tensione V si manifesta ai mor-

o g

setti di ingresso della linea. Negli istanti successivi, l’onda diretta di tensione

si propaga lungo la linea; ad essa é associata un’onda di corrente avente la

1 . Quando le onde

stessa forma ma ampiezza ridotta di un fattore pari a Z o

dirette di tensione e corrente raggiungono il carico Z , parte dell’energia da

L

esse trasportata viene ceduta, ossia e la rimanente parte viene

trasmessa,

riflessa, dando origine alle onde regressive. Siano v ,i le tensioni e correnti

d d la

e i

dirette, e v ,i le tensioni e correnti riflesse. Dette, inoltre, v AA

r r AA ′

tensione e la corrente sul carico Z , si possono scrivere le relazioni:

L 27 = v + v

v d r

AA

′ (2.20)

v

v r

d −

i = i + i =

AA d r

′ Z Z

o o

Dalla prima delle (2.20) si ricava:

v = v − v (2.21)

r AA d

Sostituendo la (2.21) nella seconda delle (2.20), si ha: (2.22)

= 2v − v

Z i d AA

o AA ′

A quest’ultima equazione corrisponde il circuito a parametri concentrati di

fig.3.4, nel quale la sorgente é rappresentata dal generatore di tensione 2v d

con impedenza interna Z .

o Zo A I

AA’

Z

2V L

d A’

Figura 2.4: Circuito equivalente all’equazione (2.22)

Manipolando la (2.21), si ricava:

2v · Z Z − Z

d L L o

v = − v = v = Γ · v (2.23)

r d d d

Z + Z Z + Z

L o L o

−Z

Z

dove la quantitá Γ = denota il coefficiente di riflessione.

o

L +Z

Z o

L

Sostituendo la (2.23) nella prima delle (2.20), si ha:

= (1 + Γ)v = τ · v (2.24)

v d d

AA

2Z é detto coefficiente di trasmissione.

dove τ = L

+Z

Z o

L 28


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AUTORE

Moses

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti sul corso di Propagazione e trasmissione tenuto dalla professoressa Sandra Costanzo, con analisi dei seguenti argomenti: le onde elettromagnetiche, l’incidenza normale, l’incidenza obliqua (polarizzazione perpendicolare, riflessione totale, trasmissione totale e angolo di Brewster), vettore di Poynting e potenza, equazioni dei telegrafisti.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria informatica
SSD:
Università: Calabria - Unical
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Moses di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Propagazione e trasmissione e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Calabria - Unical o del prof Costanzo Sandra.

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