Propagazione e trasmissione

Lezioni di propagazione e trasmissione

Di Sandra Costanzo

Dip. Elettronica, Informatica e Sistemistica
Università della Calabria, 87036 Rende (CS) - Italy

Indice

• Propagazione per onde
  • Introduzione
  • Onde elettromagnetiche
  • Vettore di Poynting e Potenza
  • Generalizzazione del concetto di onda piana
  • Incidenza normale
  • Incidenza obliqua
    • Polarizzazione perpendicolare
    • Trasmissione totale: angolo di Brewster
    • Riflessione totale
• Linee di trasmissione
  • Introduzione
  • Linee nel dominio del tempo
    • Equazioni dei telegrafisti
    • Soluzioni delle equazioni delle linee nel dominio del tempo
    • Impedenza caratteristica
    • Coefficienti di riflessione e trasmissione
  • Linee nel dominio della frequenza
    • Soluzioni viaggianti
    • Soluzioni stazionarie
    • Coefficiente di riflessione e potenza
    • Impedenza d’ingresso
  • Casi particolari
    • Linea adattata
    • Linea in corto circuito
    • Linea aperta

Capitolo 1: Propagazione per onde

Introduzione

Lo studio dei fenomeni elettromagnetici è affidato, a livello macroscopico, a un insieme di equazioni empiriche note come equazioni di Maxwell:

∂b = −∇× e ∂t

∂d = + J∇× h ∂t

∇· d = ρ

∇· b = 0

Nelle suddette equazioni, i vettori e, h, d, b, J rappresentano, rispettivamente, il campo elettrico, il campo magnetico, l’induzione elettrica, l’induzione magnetica e la densità superficiale di corrente, mentre lo scalare ρ denota la densità volumetrica di carica. Tutte le grandezze citate sono funzioni delle tre coordinate spaziali x, y, z e della coordinata temporale t.

Ricordando le definizioni degli operatori rotore e divergenza in coordinate cartesiane:

∂A ∂A ∂A ∂A

∂Az y z x x y = x − − −∇× A + y + zb b b

∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

∂A ∂A

∂A y z x + + ∇· A = ∂x ∂y ∂z

È facile osservare che le prime due equazioni di Maxwell correlano variazioni spaziali di campo elettrico a variazioni temporali di campo magnetico e viceversa. In particolare, esprimendo la prima equazione nella corrispondente forma integrale si ricava la legge di Faraday:

I ∂φ

bf.e.m. = e · dL = − (1.1)

∂tγ

dove φ rappresenta il flusso di induzione magnetica.

La (1.1) consente di affermare che la variazione temporale del flusso di induzione magnetica produce una f.e.m. indotta, il cui segno è tale da opporsi alla causa generatrice. In altri termini, un campo magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico. In modo del tutto analogo, la forma integrale della seconda equazione di Maxwell riproduce la legge di Ampère generalizzata al caso dinamico:

I ∂φ

dh · dL = + i (1.2)

c∂tγ

La (1.2) esprime la possibilità che un campo magnetico sia prodotto non solo da cariche libere, rappresentate dalla corrente di conduzione i_c, ma anche da variazioni temporali del flusso di induzione elettrica φ_d. Un campo elettrico variabile nel tempo genera, dunque, un campo magnetico.

Onde elettromagnetiche

La conseguenza più appariscente delle equazioni di Maxwell è il fenomeno della propagazione elettromagnetica: una sorgente attiva in una certa regione spaziale, a partire da un certo istante temporale, è rilevabile sperimentalmente solo dopo un intervallo temporale finito non nullo. L’onda elettromagnetica può, dunque, definirsi come segnale identificabile punto per punto ed istante per istante, che si propaga con velocità finita.

Un generico segnale ondoso può essere rappresentato, dal punto di vista matematico, mediante un funzione vettoriale del tipo U (x, y, z, t), dove si è indicata la duplice dipendenza spaziale e temporale. Semplificando l’analisi, è possibile assumere una singola orientazione e considerare una funzione scalare u(z, t), dove si è fatta l’ulteriore ipotesi che la dipendenza spaziale sia limitata alla sola coordinata z. Un esempio familiare è rappresentato dall’onda cosinusoidale:

u(z, t) = A · cos(ωt − kz) (1.3)

Nell’equazione (1.3), il termine A denota l’ampiezza del segnale, ω = 2πf ne rappresenta la pulsazione, mentre il termine k prende il nome di costante di fase o di propagazione.

Si supponga, ora, di voler rappresentare graficamente la (1.3) rispetto alla variabile temporale t. A tale scopo, si fissi un valore z = z_o per la coordinata spaziale, ottenendo la funzione (di una sola variabile):

u(z_o, t) = A · cos(ωt − kz_o) (1.4)

Figura 1.1: Rappresentazione grafica della funzione (1.4)

Il grafico della (1.4), illustrato in fig.1.1, mostra che la funzione considerata risulta essere periodica, con periodo temporale T correlato alla pulsazione ω mediante la ben nota relazione:

2π/ω = T

Procedendo in modo del tutto analogo, si fissi un valore t = t_o per la coordinata temporale, ricavando la funzione spaziale:

u(z, t_o) = A · cos(ωt − kz) (1.5)

Figura 1.2: Rappresentazione grafica della funzione (1.5)

Si consideri, ora, l’andamento della funzione (1.3), al variare della coordinata spaziale z, per due distinti valori della coordinata temporale, rispettivamente t e t + ∆t.

Figura 1.3: Propagazione dell’onda

Come illustrato in fig.1.3, la curva trasla spazialmente, ovvero si propaga di un tratto ∆z senza deformarsi.

La velocità di propagazione v dell’onda, detta velocità di fase, deve lasciare inalterata la forma del segnale, ossia deve soddisfare la relazione:

u(z, t) = u(z + ∆z, t + ∆t) (1.6)

per ogni punto P giacente sulla curva. Sostituendo nella (1.6) la definizione (1.3), si ricava:

A · cos(ωt − kz) = A · cos(ωt + ω∆t − kz − k∆z)

Quest’ultima relazione è soddisfatta a patto di porre:

∆z / ∆t = v = ω / k (1.7)

Sostituendo nella (1.7) le definizioni di ω e k, si ricava:

v = f · λ

da cui, infine: v λ = f

Quest’ultima equazione esprime la relazione di proporzionalità inversa esistente tra la lunghezza d’onda λ e la frequenza f.

Si consideri, ora, la scomposizione dell’esponenziale complesso in parte reale e parte immaginaria:

e^jx = cosx + jsinx

Facendo uso delle suddetta relazione, la (1.3) può essere espressa nella forma:

u(z, t) = Re{A · e^−jkz · e^jωt} (1.8)

È allora possibile isolare la dipendenza temporale della (1.3), scrivendo:

u(z, t) = Re{U (z) · e^jωt} (1.9)

dove U (z) = A · e^−jkz prende il nome di fasore dell’onda, mentre la forma completa u(z, t) è detta espressione istantanea.

La notazione introdotta può essere applicata ai vettori di campo che compaiono nelle equazioni di Maxwell, indicando con le lettere maiuscole i fasori e con quelle minuscole le corrispondenti espressioni istantanee. In altri termini, si può scrivere:

e(z, t) = Re{E(z) · e^jωt}

h(z, t) = Re{H(z) · e^jωt}

ed analogamente per i vettori b e d. Sostituendo le espressioni suddette nelle prime due equazioni di Maxwell (in assenza di sorgenti), si ha:

∇ × E = −jωB (1.10)

∇ × H = jωD (1.11)

Si supponga, per semplicità, che il fasore del campo elettrico E abbia un’unica componente E funzione della sola coordinata spaziale z. L’equazione (1.10) si semplifica come segue:

dE_x / dz = −jωB_y (1.12)

Se il mezzo in esame è lo spazio libero, valgono le relazioni:

B_y = μ_o H_y, D_x = ε_o E_x (1.13)

dove ε_o = 8.854 · 10⁻¹² e μ_o = 4π · 10⁻⁷ rappresentano, rispettivamente, i valori della permittività e della permeabilità nel vuoto. La prima delle relazioni (1.13) mostra che il campo magnetico presenta anch’esso un’unica componente, diretta lungo l’asse y, funzione della sola coordinata spaziale z. Il risultato ottenuto consente di semplificare la (1.11) come segue:

dH_y / dz = jωD_x (1.14)

Si derivi la (1.12) rispetto alla variabile z:

(d²E_x / dz²) = −jω (dB_y / dz) (1.15)

Sostituendo la seconda delle (1.13) nella (1.15), si ricava:

(d²E_x / dz²) = −jωμ_o (dH_y / dz) (1.16)

Facendo uso, infine, della (1.14) con la seconda delle (1.13), si ha:

(d²E_x / dz²) + k² E_x = 0 (1.17)

dove si è posto k = ω √ε_oμ_o.

La (1.17), detta equazione d’onda, ammette soluzioni generali del tipo:

E_x(z) = E_x⁺ · e^−jkz + E_x⁻ · e^+jkz (1.18)

dove la quantità E_x⁺ ·e^−jkz rappresenta un’onda di ampiezza E_x⁺ che si propaga nella direzione positiva dell’asse z, mentre il termine E_x⁻ ·e^+jkz denota un’onda di ampiezza E_x⁻ che viaggia lungo l’asse z negativo.

Procedendo in modo del tutto analogo per il campo magnetico, si ricava la soluzione:

H_y(z) = H_y⁺ · e^−jkz + H_y⁻ · e^+jkz (1.19)

Si sostituiscano le equazioni (1.18) e (1.19) nella (1.12), ottenendo:

(H_y⁺ · e^−jkz + H_y⁻ · e^+jkz) · ωμ_o = (E_x⁺ · e^−jkz + E_x⁻ · e^+jkz) · ωμ_o (1.20)

Dalla (1.20) si ricava, per confronto:

H_y⁺ = E_x⁺ / η_o, H_y⁻ = − E_x⁻ / η_o

dove la quantità η_o = √μ_o / ε_o prende il nome di impedenza dello spazio libero.

In definitiva, la (1.19) assume la forma:

H_y(z) = 1 / η_o · (E_x⁺ · e^−jkz − E_x⁻ · e^+jkz) (1.21)

I risultati espressi dalle relazioni (1.18) e (1.21), ottenuti nell’ipotesi di campo elettromagnetico dipendente dalla sola variabile spaziale z, rappresentano un’onda piana, ossia un’onda caratterizzata dalle seguenti proprietà:

• Campo elettrico e campo magnetico sono fra di loro ortogonali ed entrambi ortogonali alla direzione di propagazione z.
• Il rapporto tra le ampiezze del campo elettrico e quelle del campo magnetico è pari all’impedenza del mezzo η.
• La fase del campo elettromagnetico è costante sui piani ortogonali alla direzione di propagazione.

Per verificare l’ultima delle proprietà sopra elencate, si consideri la sola onda diretta nell’equazione (1.18):

E_x(z) = E_x⁺ · e^−jkz (1.22)

La fase della (1.22) è data dalla quantità −kz, che risulta costante per quei valori di z soddisfacenti la condizione z = costante, ovvero sui piani paralleli al piano x − y, che risultano ortogonali alla direzione di propagazione.