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per ogni punto P giacente sulla curva. Sostituendo nella (1.6) la definizione

(1.3), si ricava:

A · cos(ωt − kz) = A · cos(ωt + ω∆t − kz − k∆z)

Quest’ultima relazione é soddisfatta a patto di porre:

∆z ω

v = = (1.7)

f ∆t k

Sostituendo nella (1.7) le definizioni di ω e k, si ricava:

v = f · λ

f

da cui, infine: v f

λ = f

Quest’ultima equazione esprime la relazione di proporzionalitá inversa esi-

stente tra la lunghezza d’onda λ e la frequenza f .

Si consideri, ora, la scomposizione dell’esponenziale complesso in parte reale

e parte immaginaria: jx

e = cosx + jsinx

Facendo uso delle suddetta relazione, la (1.3) puó essere espressa nella forma:

−jkz jωt

u(z, t) = Re A · e · e (1.8)

E’ allora possibile isolare la dipendenza temporale della (1.3), scrivendo:

jωt

u(z, t) = Re U (z) · e (1.9)

−jkz

dove U (z) = A · e prende il nome di fasore dell’onda , mentre la forma

completa u(z, t) é detta espressione istantanea.

La notazione introdotta puó essere applicata ai vettori di campo che compa-

iono nelle equazioni di Maxwell, indicando con le lettere maiuscole i fasori e

con quelle minuscole le corrispondenti espressioni istantanee. In altri termini,

si puó scrivere: 6

jωt

e(z, t) = Re E(z) · e

jωt

t) = Re H(z) · e

h(z,

ed analogamente per i vettori b e d. Sostituendo le espressioni suddette nelle

prime due equazioni di Maxwell (in assenza di sorgenti), si ha:

= −jωB (1.10)

∇ × E

∇ × H = jωD (1.11)

Si supponga, per semplicitá, che il fasore del campo elettrico E abbia un’unica

componente E funzione della sola coordinata spaziale z. L’equazione (1.10)

x

si semplifica come segue: dE

x = −jωB (1.12)

y

dz

Se il mezzo in esame é lo spazio libero, valgono le relazioni:

B = µ H , D = ǫ E (1.13)

y o y x o x

−12 −7

dove ǫ = 8.854 · 10 e µ = 4π · 10 rappresentano, rispettivamente,

o o

i valori della permittivitá e della permeabilitá nel vuoto. La prima delle

relazioni (1.13) mostra che il campo magnetico presenta anch’esso un’unica

componente, diretta lungo l’asse y, funzione della sola coordinata spaziale z.

Il risultato ottenuto consente di semplificare la (1.11) come segue:

dH y

− = jωD (1.14)

x

dz

Si derivi la (1.12) rispetto alla variabile z:

2

d E dB

x y

= −jω (1.15)

dz dz

Sostituendo la seconda delle (1.13) nella (1.15), si ricava:

2

d E dH

x y

= −jωµ (1.16)

o

dz dz

Facendo uso, infine, della (1.14) con la seconda delle (1.13), si ha:

2

d E

x 2

+ k E = 0 (1.17)

x

dz 7

dove si é posto k = ω ǫ µ .

o o

La (1.17), detta ammette soluzioni generali del tipo:

equazione d’onda, −jkz −

+ jkz

· e (1.18)

· e + E

E (z) = E

x x

x

+ −jkz +

dove la quantitá E ·e rappresenta un’onda di ampiezza E che si propaga

x x

− jkz

nella direzione positiva dell’asse z, mentre il termine E ·e denota un’onda

x

di ampiezza E che viaggia lungo l’asse z negativo.

x

Procedendo in modo del tutto analogo per il campo magnetico, si ricava la

soluzione: −jkz −

+ jkz

· e (1.19)

· e + H

H (z) = H

y y

y

Si sostituiscano le equazioni (1.18) e (1.19) nella (1.12), ottenendo:

−jkz −

+

−jkz −

+ jkz

jkz · e (1.20)

· e + H

· e = ωµ H

· e − E

k E o y

y

x

x

Dalla (1.20) si ricava, per confronto:

+ + −

E · k E E

+ −

x x x

H = = H = −

y y

ωµ η η

o

q µ prende il nome di impedenza dello spazio libero.

dove la quantitá η = o

ǫ

o

In definitiva, la (1.19) assume la forma:

1 + −jkz − jkz

H (z) = · E · e − E · e (1.21)

y x x

η

I risultati espressi dalle relazioni (1.18) e (1.21), ottenuti nell’ipotesi di campo

elettromagnetico dipendente dalla sola variabile spaziale z, rappresentano

un’onda ossia un’onda caratterizzata dalle seguenti proprietá:

piana,

1. campo elettrico e campo magnetico sono fra di loro ortogonali ed en-

trambi ortogonali alla direzione di propagazione z;

2. il rapporto tra le ampiezze del campo elettrico e quelle del campo

magnetico é pari all’impedenza del mezzo η;

3. la fase del campo elettromagnetico é costante sui piani ortogonali alla

direzione di propagazione. 8

Per verificare l’ultima delle proprietá sopra elencate, si consideri la sola onda

diretta nell’equazione (1.18): −jkz

+ · e (1.22)

E

x

La fase della (1.22) é data dalla quantitá −kz, che risulta costante per quei

valori di z soddisfacenti la condizione z = costante, ovvero sui piani paralleli

al piano x − y, che risultano ortogonali all’asse z di propagazione dell’onda.

1.3 Vettore di Poynting e Potenza

La densitá di potenza istantanea associata ad un campo elettromagnetico

e, h é rappresentata dal cosiddetto vettore di Poynting e risulta cosı́ definita:

s = e × h (1.23)

La corrispondente rappresentazione fasoriale si ricava sostituendo nella (1.23)

la (1.9), particolarizzata per i campi e, h:

jωt jωt

s = Re E · e × Re H · e (1.24)

Assegnato un numero complesso z = a + jb ed il suo coniugato z = a − jb,

si puó scrivere: ∗

z + z

a = Re{z} = (1.25)

2

Sostituendo la (1.25) nella (1.24), si ha:

∗ ∗

−jωt −jωt

jωt jωt

· e · e

E · e + E · e + H

H

=

s × = (1.26)

2 2

1 1

1

1 ∗ ∗ ∗ ∗ −j2ωt

j2ωt

× H · e + × H +

E E E E

+ × H × H · e

= 4 4 4 4

Riapplicando la (1.25) nella (1.26), si ricava:

1

1 ∗ j2ωt

} +

= × H × H · e (1.27)

s Re {E Re E

2 2

Quest’ultima relazione mostra che la densitá di potenza istantanea é data

dalla somma di un termine costante nel tempo e di un secondo termine va-

riabile con pulsazione doppia rispetto a quella del campo elettromagnetico.

La quantitá : 9

1 ∗

S = × H

Re {E } (1.28)

2

rappresenta, pertanto, il valore medio della densitá di potenza.

L’analisi condotta finora ha riguardato mezzi privi di perdite, caratterizzati

da un valore nullo per la conducibilitá σ. In presenza di valori non nulli di

σ, la seconda equazione di Maxwell nel dominio dei fasori assume la forma:

= jωD + J (1.29)

∇ × H

dove D = ǫE, mentre J = σE rappresenta la corrente indotta per effetto

della conducibilitá finita σ. Manipolando la (1.29), si ricava:

= jωǫE + σE = jωb

ǫE (1.30)

∇ × H

dove si é posto: σ

ǫ = ǫ − j

b ω

Si osservi come la (1.30) coincida con la (2.11), a patto di sostituire la per-

mittivitá reale ǫ (caso con il nuovo valore complesso ǫ (caso

senza perdite) b

con perdite).

Ipotizzando, come nel paragrafo (2.3), la presenza di un’onda piana del tipo

E , H che si propaga lungo l’asse z, le equazioni (2.12) e (2.14) assumono la

x y

forma: dE

x = −jωµH y

dz (1.31)

dH y

− = jωb

ǫE x

dz

Derivando rispetto a z la prima delle equazioni (1.31), si ricava:

2

d E

x 2 2 2

= −ω µb

ǫ

E = −ω ǫµ + jσωµ E = γ E

x x x

2

dz

da cui: 2

d E

x 2

− γ E = 0 (1.32)

x

2

dz 10

La soluzione generale della (1.32) assume la forma:

−γz −

+ γz

· e (1.33)

· e + E

E (z) = E

x x

x

con γ = α + jβ.

Considerata, in particolare, la sola onda diretta, si ha l’espressione :

+ −αz −jβz

E · e e

x

−αz −jβz

dove il termine e é detto , mentre il termine e

fattore di attenuazione

prende il nome di Il risultato ottenuto mostra che

fattore di propagazione.

”in presenza di perdite l’ampiezza del campo decade esponenzialmente lungo

”.

la direzione di propagazione z

La soluzione del sistema (1.31) in termini di campo magnetico H é la

y

seguente: + −

E E

−γz

x x γz

H (z) = · e − · e (1.34)

y η η

p p

dove s jωµ

η =

p σ + jωǫ

rappresenta l’impedenza complessa del mezzo con perdite.

Un parametro significativo nei casi di condicibilitá finita é la cosiddetta pro-

definita come ”la

fonditá di penetrazione, distanza z in corrispondenza della

1 ”. Applicando

quale l’ampiezza dell’onda diminuisce di un fattore pari a .

e

1

la suddetta definizione, si ricava che δ = .

α

Le espressioni complete dei parametri α e β sono le seguenti:

#

"r

r 12

σ

ǫµ 2

1+

α = ω − 1

2 ωǫ (1.35)

"r #

r 1

2

σ

ǫµ 2

β = ω 1+ +1

2 ωǫ

11

1.4 Generalizzazione del concetto di onda pia-

na

Nel caso piú generale in cui un’onda piana si propaghi lungo una direzione

arbitraria r = x · x + y · y + z · z , con un vettore di propagazione k =

b b b √

= ω ǫµ, le espressioni del campo

k · x + k · y + k · z avente modulo |k|

b b b

x y z

elettromagnetico assumono la forma: −jk·r

E = E (1.36)

· e

o −jk·r

H = H (1.37)

· e

o

Al fine di ricavare le relazioni che intercorrono tra i vettori E e H , si

o o

consideri la prima equazione di Maxwell nel dominio dei fasori:

= −jωµH (1.38)

∇ × E

Sostituendo le espressioni (1.36) e (1.37) nella (1.38), si ricava:

−jk·r −jk·r

∇ × E = −jωµH (1.39)

· e · e

o o come imposto dal-

Sostituendo, quindi, l’operatore nabla con il termine −jk,

l’operazione di derivazione rispetto alle coordinate spaziali, la (1.39) assume

la forma: −jk·r −jk·r

−jk × E = −jωµH (1.40)

· e · e

o o

Manipolando la (1.40), si ricava:

b = ωµH

|k| · i × E

k o o

da cui: 1 b

H = i × E (1.41)

k

o o

η

Procedendo in modo analogo sulla seconda equazione di Maxwell:

= jωǫE (1.42)

∇ × H

é possibile sostituire le espressioni (1.36) e (1.37) nella (1.42), ricavando:

−jk·r −jk·r

∇ × H = jωǫE (1.43)

· e · e

o o

12

e, dopo alcune manipolazioni: b

E = −η i × H (1.44)

k

o o

Le relazioni (1.41) e (1.44), dette relazioni d’onda piana, vengono utilizzate

per calcolare, senza ricorrere alle equazioni di Maxwell, il campo magnetico

una volta assegnato l’espressione per il campo elettrico e viceversa.

13

1.5 Incidenza Normale

Un’onda piana con il campo elettrico diretto lungo l’asse x si propaga in un

mezzo con parametri ǫ , µ nella direzione z positiva. All’ascissa z=0 é posta

1 1

un’interfaccia che separa il primo mezzo da un secondo di parametri ǫ , µ

2 2

(fig.1.4). x

e m e ,m

, 2 2

1 1

i

E z

y

Figura 1.4: Incidenza Normale

Il campo elettrico incidente é dato dall’espressione:

−jk

i z

= x · E · e (1.45)

E b 1

o

√ µ .

dove k = ω ǫ 1 1

1

Il corrispondente campo magnetico incidente vale:

E

o −jk

i z

H · e (1.46)

= y ·

b 1

η 1

q µ

con η = .

1

1 ǫ

1

Giunto sull’interfaccia, il campo elettromagnetico incidente viene parzialmen-

te riflesso e parzialmente trasmesso. Le corrispondenti espressioni dei nuovi

campi sono le seguenti: r jk z

= x · E Γ · e

E b 1

12

o (1.47)

E Γ 12

o

r jk z

H · e

= −b

y · 1

η 1

14 −jk

t z

= x · E τ · e

E b 2

12

o (1.48)

E τ 12

o −jk

t z

H · e

= y ·

b 2

η 2

q

√ µ

dove i termini k = ω rappresentano, rispettivamente, la

ǫ µ e η = 2

2 2 2 2 ǫ

2

costante di propagazione e l’impedenza del secondo mezzo.

Per derivare le espressioni dei coefficienti di riflessione Γ e di trasmissione

12

τ , occorre applicare la condizione di continuitá delle componenti tangenziali

12

dei campi sull’interfaccia z=0. In altri termini, si tratta di imporre che:

1 2

(z = 0) = E (z = 0)

E tan tan (1.49)

1 2

(z = 0) = H (z = 0)

H tan tan

Sostituendo nella (1.49) le corrispondenti espressioni dei campi, si ricava:

i r t

(z = 0) + E (z = 0) = E (z = 0)

E (1.50)

i r t

H (z = 0) + H (z = 0) = H (z = 0)

da cui, facendo uso delle espressioni (1.45-1.48), si ha:

E + E Γ = E τ

12 12

o o o (1.51)

E E Γ E τ

12 12

o o o

− =

η η η

1 1 2

Risolvendo il sistema (1.51), si ricavano le espressioni dei coefficienti Γ e

12

τ 12: η − η

2 1

Γ =

12 η + η

2 1 (1.52)

2η 2

τ =

12 η + η

2 1

Si osservi come essi dipendano esclusivamente dalle caratteristiche elettriche

dei due mezzi, particolaritá dovuta al tipo di incidenza normale.

15

1.6 Incidenza Obliqua

Nel caso piú generale in cui un’onda piana incida obliquamente con angolo

θ su un’interfaccia di separazione tra due mezzi, i fenomeni di riflessione e

i

di trasmissione individuano due angoli (fig.1.5) e le espressioni del campo

elettrico incidente, riflesso e trasmesso assumono la forma:

i ·r

−jk

i io

E (1.53)

= E · e r ·r

−jk

r ro (1.54)

E = E · e t ·r

−jk

t to (1.55)

E = E · e

x

e m e m

, ,

1 1 2 2

k r k t

q q

r t z

q

i

k i

Figura 1.5: Incidenza obliqua i r

,k e

Sostituendo le corrispondenti relazioni per i vettori di propagazione k

t

k , si ricava: −jk (xsinθ +zcosθ )

i io

E = E · e (1.56)

i i

1

−jk (xsinθ −zcosθ )

r ro

= E · e (1.57)

E r r

1

−jk (xsinθ +zcosθ )

t to

E = E · e (1.58)

t t

2

16

dove k e k rappresentano i valori delle costanti di propagazione nel primo

1 2

e nel secondo mezzo, rispettivamente.

Le espressioni (1.56), (1.57) e (1.58) vengono utilizzate per determinare le

relazioni che intercorrono tra l’angolo di incidenza θ e gli angoli di riflessione

i

θ e trasmissione θ . In particolare, imponendo la continuitá delle componenti

r t

tangenziali dei campi all’interfaccia in z=0, si puó scrivere:

E (z = o) = E (z = 0)

1 2

da cui: i r t

E (z = o) + E (z = o) = E (z = 0) (1.59)

Sostituendo le espressioni (1.56), (1.57) e (1.58) nella (1.59), si ha:

−jk −jk −jk

io ro to

xsinθ xsinθ xsinθ

= E (1.60)

E · e + E · e · e

r t

i

1 1 1

L’equazione (1.60) é soddisfatta se gli esponenziali coindono, ovvero se sono

garantite le condizioni: k xsinθ = k xsinθ (1.61)

1 1

i r

k xsinθ = k xsinθ (1.62)

1 2

i t

Dal sistema (1.61) si ricavano le leggi di Snell:

θ = θ (1.63)

r i

k sinθ = k sinθ (1.64)

1 2

i t

L’orientazione dei campi viene specificata rispetto ad un piano, detto piano

contenente il vettore di incidenza k e la normale alla superficie

di incidemza, i

di separazione. Nella geometria di fig.2.7, il piano di incidenza coincide con

il piano x-z. Rispetto a tale piano é possibile distinguere due particolari

orientazioni per il campo elettromagnetico:

• in cui il campo elettrico risulta orto-

Orientazione perpendicolare,

gonale al piano di incidenza e, pertanto, diretto lungo l’asse y;

• in cui il campo elettrico giace nel piano di

Orientazione parallela,

incidenza e possiede due componenti, orientate lungo gli assi x e z.

17

1.6.1 Polarizzazione Perpendicolare

Considerata, per semplicitá di trattazione, la prima delle suddette orienta-

zioni (fig.2.8), il campo elettrico incidente é dato dall’espressione:

X

H

r

E r E

t

K t

K r H

t

qr q t

q i Z

K i

E

i H

i

Figura 1.6: Incidenza obliqua con orientazione Perpendicolare

−jk (xsinθ +zcosθ )

E = y E e (1.65)

b i i

1

o

i

Il campo magnetico associato deve essere ortogonale sia al campo elettrico,

, secondo l’espressione:

sia alla direzione del vettore di propagazione k i

1 b × E

H i

= (1.66)

k

i i

η i

1

Sostituendo la (1.65) nella (1.66), si ricava:

E

o −jk (xsinθ +zcosθ )

H = e (b

xsinθ + z cosθ ) × y =

b b

i i

1 i i

i η 1

E

o −jk (xsinθ +zcosθ )

(b

z sinθ − x

cosθ ) e (1.67)

= b i i

1

i i

η 1

Procedendo in modo analogo per i campi riflesso e trasmesso, si ricava:

−jk (xsinθ −zcosθ )

= y E Γ e

E b r r

1

o

r (1.68)

E Γ ⊥

o −jk (xsinθ −zcosθ )

= (b

z sinθ + x

cosθ ) e

H b r r

1

r r

r η 1 18

−jk (xsinθ +zcosθ )

E = y E τ e

b t t

2

o

t (1.69)

E τ ⊥

o −jk (xsinθ +zcosθ )

= (b

z sinθ − x

cosθ ) e

H b t t

2

t t

t η 2

Applicando le condizioni di continuitá dei campi all’interfaccia, si ricavano

le espressioni dei coefficienti di riflessione e trasmissione:

η cosθ − η cosθ

2 1

i t

Γ =

⊥ η cosθ + η cosθ

2 1

i t (1.70)

2η cosθ

2 i

τ =

⊥ η cosθ + η cosθ

2 1

i t

Si osservi come, a differenza dell’incidenza normale, i valori dei coefficienti

dipendano non solo dalle caratteristiche del mezzo ma anche dagli angoli di

incidenza e di trasmissione.

1.6.2 Trasmissione Totale: angolo di Brewster

Nell’ipotesi che l’interfaccia separi due dielettrici ideali di parametri ǫ , µ

1 1

e ǫ , µ , con ǫ > ǫ , si vogliano determinare i valori dell’angolo di inciden-

2 2 2 1

za θ che annullano il coefficiente di riflessione, distinguendo i due tipi di

i

polarizzazione. Considerato il caso di polarizzazione perpendicolare, si puó

scrivere: cosθ − ncosθ

η cosθ − η cosθ

2 1 i t

i t = (1.71)

Γ =

⊥ η cosθ + η cosθ cosθ + ncosθ

2 1

i t i t

p

dove n = ǫ /ǫ rappresenta l’indice di rifrazione del secondo mezzo rispetto

2 1

al primo.

Sostituendo la seconda legge di Snell nella [1.71], si ricava:

√ 2 2

− sin θ

n

cosθ − i

i √ (1.72)

Γ =

⊥ 2 2

cosθ + n − sin θ

i i

Per θ = 0 si ha:

i 19

n − 1

|Γ | =

⊥ n +1

Posto, invece, Γ = 0, si ricava:

⊥ 2 2 2

cos θ = n − sin θ

i i

La suddetta equazione non ammette soluzioni reali, pertanto si conclude che

la funzione Γ risulta essere monotona crescente e non presenta punti di

nullo.

Nel caso di polarizzazione parallela, si puó scrivere:

√ 2

2 2

− sin θ − n cosθ

cosθ − ncosθ n i i

t i √

Γ = (1.73)

=

k cosθ + ncosθ 2 2 2

n − sin θ + n cosθ

t i i i

Anche in questo caso, per θ = 0 risulta:

i n − 1

|Γ | =

k n +1

Tuttavia, a differenza di quanto verificato nel caso di polarizzazione per-

pendicolare, la funzione Γ presenta dei punti di nullo. Si puó scrivere,

k

infatti: n

2 2 4 2 √

Γ = 0 ⇒ n − sin θ = n cos θ ⇒ sinθ = (1.74)

k i i i 2

n +1

L’angolo di incidenza che soddisfa la [1.74] é detto angolo di trasmissione

totale o anche di Brewster.

1.6.3 Riflessione totale

Sostituendo nella (1.64) le espressioni di k e k , si ricava, nell’ipotesi che

1 2

µ = µ = µ :

1 2 o √

ǫ µ · sinθ = ω ǫ

ω µ · sinθ

1 2

o i o t

da cui: 20

sinθ n 2

i = (1.75)

sinθ n 1

t

dove le quantitá n , n rappresentano gli indici di rifrazione del primo e del

1 2

secondo mezzo, rispettivamente.

Ipotizzando che n > n , la (1.75) mostra che, all’aumentare dell’angolo di

1 2

incidenza θ , l’angolo di rifrazione θ cresce piú velocemente (fig.1.7); si avrá,

i t

pertanto, un valore di θ , detto angolo limite, in corrispondenza del quale

i o

l’angolo di rifrazione vale 90 , dando luogo ad un fenomeno di riflessione

totale. x q

t z

q

i Figura 1.7: Riflessione totale

21

Capitolo 2

Linee di Trasmissione

2.1 Introduzione

L’analisi dei circuiti, in elettrotecnica, viene effettuata mediante modelli a

parametri concentrati, nei quali la dipendenza spaziale di tensioni e correnti

viene trascurata, assumendo che la propagazione dei segnali dal generatore

all’utilizzatore sia istantanea. Una tale approssimazione é consentita solo

a frequenze sufficientemente basse, tali da considerare il circuito in esame

In presenza di apparati elettronici dimensionalmente

elettricamente piccolo.

comparabili alla lunghezza d’onda non é piú possibile trascurare i fenomeni

di propagazione e le grandezze circuitali (tensione e corrente) assumono una

duplice dipendenza dalle coordinate spaziali e temporali. Si parla, in tal caso,

di Un esempio tipico é rappresentato dalle

circuiti a parametri distribuiti.

sistemi di due o piú conduttori paralleli la cui distanza

linee di trasmissione,

di separazione risulta elettricamente piccola rispetto alla lunghezza stessa dei

conduttori. Alcuni esempi di linee a due conduttori sono illustrati in fig.2.1,

dove la sorgente é rappresentata da un circuito equivalente di Thevenin e

la linea é connessa ad un carico resistivo di valore R . Il piano di massa

L

presente nel secondo circuito sostituisce il conduttore di ritorno.

Nel seguito verranno prese in esame esclusivamente linee di trasmissione a

due conduttori omogenee ed uniformi, nelle quali le proprietá del dielettrico

interposto e la sezione trasversale restano invariate in ogni punto della linea.

22


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Moses

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti sul corso di Propagazione e trasmissione tenuto dalla professoressa Sandra Costanzo, con analisi dei seguenti argomenti: le onde elettromagnetiche, l’incidenza normale, l’incidenza obliqua (polarizzazione perpendicolare, riflessione totale, trasmissione totale e angolo di Brewster), vettore di Poynting e potenza, equazioni dei telegrafisti.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria informatica
SSD:
Università: Calabria - Unical
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Moses di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Propagazione e trasmissione e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Calabria - Unical o del prof Costanzo Sandra.

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