Programma di Analisi matematica 1

NOZIONE DI SUCCESSIONE ESTRATTA

Supponiamo di avere:

} , , … }

{ = {

1 2 } } { } }

Definizione: siano { e { due successioni. Diciamo che è una successione estratta da { se

→ ℕ,

esiste una funzione K:ℕ strettamente crescente, tale che:

= ∀ ∈ ℕ

Cosa vuol dire?

} , , … }

{ = {

1 2 3

} , , … }

{ = {

1 4 5 },

Quello che faccio è estrarre alcuni elementi (naturalmente infiniti) dalla successione { ma non tutti.

}

Proposizione: Se la successione { ha limite, finito o infinito, anche ogni sua estratta ha lo stesso limite.

Osservazione 1: il contrario della proposizione precedente in generale è falso, ossia una estratta può avere

limite, ma la successione di partenza può essere indeterminata.

{(−)}

} = = {−1, 1, −1, 1, −1. . }

{

}

Chiaramente { è indeterminata.

} }

Costruiamo la successione { estraendo da { gli elementi di indice pari

} = = {1, 1, 1, 1, … … }

{ }

{

}

È chiaro che, poiché { è costante,

lim = 1

→∞

}

Questa ha limite, anche se { era indeterminata.

Teorema (BOLZANO): ogni successione limitata ammette almeno una successione estratta convergente

SERIE

L’idea di serie nasce dal fatto che, da sempre si è cercato un modo per poter sommare termini infiniti

(esempio: tutti i numeri positivi). Paradossalmente, questa somma può dare un numero finito.

Introduciamo quindi il concetto di serie.

Cos’è una serie numerica?

{ } ∈ ℝ = 10; = 5; = 2.5; . . )

Sia una successione di numeri reali (

1 2 3

+∞

∑

Diciamo serie numerica

=1

Serie e successione delle somme parziali

{ }

A partire dalla successione una nuova successione così definita:

= , = + , = + +

1 1 2 1 2 1 2 +∞

{ } ∑

Tale successione prende il nome di successione di somme parziali della serie una volta

∈ℕ

=1

{ } ∞

costruita la seguente successione possiamo passare al limite per n che tende a + cioè si

∈ℕ

+∞

∑

ⅈ ≔ ∞

considera dove il + indica il passaggio al limite.

=

→∞ { }

Ricapitolando: Da una successione di numeri reali formata da infiniti termini dei quali ci si propone di

{ }

calcolare la somma, si costruisce la successione delle somme parziali e si passa al limite delle

∈ℕ

ⅈ

somme parziali:

→∞

CARATTERE DI UNA SERIE NUMERICA: CONVERGENTE, DIVERGENTE, IRREGOLARE

La maggior parte degli esercizi sulle serie chiede di determinare il carattere di una serie. Che cosa si

intende? { }

Riprendendo quello scritto precedentemente, data una successione di numeri reali e costruita la

{ }

successione delle somme parziali abbiamo definito la serie generale come:

∈ℕ

+∞

ⅈ ≔ ∑

→∞ =

Trovandoci di fronte ad un limite possiamo avere quattro casi differenti: +∞

∑

lim s

I. è un numero reale finito L. in questo caso diremo che la serie è una serie

n

=1

n→∞

convergente.

lim s = +∞

II. la serie diverge positivamente

n

n→∞

lim s = −∞

III. la serie diverge negativamente

n

n→∞

lim s

IV. non esiste allora la serie è irregolare o oscillante

n

n→∞

Esempio:

SERIE A TERMINI POSITIVI, SERIE A TERMINI NEGATIVI

+∞

∑ { }

∈ ℕ

Una serie si dice di segno costante se per ogni i termini della successione numerica

=

hanno tutti lo stesso segno, ovvero sono tutti positivi o tutti negativi, quindi in particolare avremo:

{ }

∈ ℕ

- Serie a termini positivi se per ogni i termini della successione sono tutti positivi,

∈ ℕ >

ovvero per ogni : { }

∈ ℕ

- Serie a termini negativi se per ogni i termini della successione sono tutti negativi,

∈ ℕ <

ovvero per ogni :

Più nello specifico possiamo dire che: { } ∈ ℕ

- Una successione è a termini non negativi se i termini della successione ; sono non

∈ ℕ ≥

negativi, ovvero sono positivi o nulli, per ogni { } ∈ ℕ

- Una successione è a termini non positivi se i termini della successione ; sono non

∈ ℕ ≤

positivi, ovvero sono positivi o nulli, per ogni

Serie definitivamente positive, serie definitivamente negative

Quando si parla di serie definitivamente positive o negative, si intende che esse sono positive o negative

solo da un certo punto in poi.

Dettagliatamente una serie si dirà definitivamente positiva se da un certo indice in poi (diciamo K) la

{ } ≥ >

successione associata alla serie, ossia è a termini positivi, ovvero per ogni si ha

Osservazione: Una serie di segno regolare non può essere irregolare

- Una serie a termini positivi: o converge o diverge positivamente

- Una serie a termini negativi: o converge o diverge negativamente

Come capire se una serie è a termini di segno costante

+∞

∑

Come fare a capire se una serie è a segno costante? Ci sono tre modi principali:

=

I. Studio del segno tramite le disequazioni. { }

>

si pone e si risolve la disequazione trovando gli intervalli in cui è positiva e in quelli in cui è

negativa. In base al risultato si deduce se è a termini positivi o negativi

II. Studio del segno tramite le proprietà delle funzioni elementari

III. Studio del segno per induzione

Esempio serie costante:

A) +∞ 2

− 3

∑ −1

=0

2

−3

= > 0

Posto poniamo

−1 2

− 3 >0

−1

Risolvendo la seguente disequazione si ottiene n > 1. Poiché la nostra serie parte da n = 0 e per ogni n > 1

abbiamo visto che è strettamente maggiore di 0, si ha che la nostra serie è strettamente positiva.

B)

C)

CONDIZIONE NECESSARIA PER LA CONVERGENZA DI UNA SERIE

Quando ci troviamo di fronte ad una serie di cui ci è chiesto di determinare il carattere, la prima che

dobbiamo fare è vedere se è verificata la condizione necessaria per la convergenza, spesso nota col nome

di condizione necessaria di Cauchy.

È importante verificarlo in quanto spesso se essa non è soddisfatta è anche inutile continuare lo studio con

altri criteri. +∞

{ } ∑

Partiamo dall’enunciato: sia una successione di numeri reali e la serie numerica ad essa

=

+∞

∑

associata. Se converge, allora il limite della successione del termine generale vale zero:

= ⅈ = 0

→+∞ +∞

∑

In modo del tutto equivalente: condizione necessaria affinché la serie converge è che la

=

{ } ⅈ = 0

successione del termine generale sia infinitesimale, ovvero:

→+∞

L’errore da non fare è quello di non invertire il risultato e dire che se il limite della successione del termine

+∞

∑

ⅈ =

generale è nulla, cioè 0, allora la serie converge.

=

→+∞

Ricordiamo che la condizione sopra enunciato è solo necessaria.

Esempio:

Consideriamo la serie +∞

∑ (ⅇⅈⅇ ⅈ)

=

+∞

∑ (ⅇⅈⅇ ⅈ ⅇⅇⅈ)

=

In entrambi i casi il termine generale è infinitesimale, infatti:

1 1

ⅈ = ⅈ = 0

2

→+∞ →+∞

Ma la prima delle due serie (serie armonica) diverge positivamente mentre la seconda converge. Ripetiamo:

nel caso in cui il termine generale della serie sia infinitesimale, non possiamo dire nulla sul carattere

della serie.

Come usare la condizione necessaria di convergenza per le serie

+∞

∑

Se abbiamo una serie in cui il termine generale non è infinitesimo, ovvero se

=

ⅈ ≠ 0

→+∞

Allora la serie non converge. +∞

∑

Nella pratica, trovandoci di fronte ad una serie numerica di cui dobbiamo determinare il carattere

=

la prima cosa da fare sarà calcolare il limite ⅈ

→+∞

E fare un’analisi preliminare, se tale limite è uguale a zero, nulla possiamo dire sul carattere della serie; se

tale limite è diverso da zero, possiamo affermare che la serie non converge.

Come usare la condizione necessaria per le successioni a segno costante

È importante saperle riconoscere in quanto di fronte ad esse le cose cambiano.

+∞

∑

Se siamo di fronte ad una serie a termini (definitivamente positivi) e il limite del termine generale

=

non vale zero, allora possiamo affermare che al serie diverge positivamente. In modo analogo per il diverge

negativamente.

Esempio sull’uso della condizione necessaria:

A)

B)

SERIE GEOMETRICA

Sia q un numero reale. Si dice serie geometrica di ragione q la serie:

+∞

∑

=0

Convergenza della serie numerica 1

− < <

- Se la serie converge ed ha per somma 1−

≤ −

- Se la serie è irregolare

≥

- Se la serie diverge positivamente

Osservazione: Nella serie geometrica n varia da zero