Programma Analisi matematica 2

DEFINITE: Sia f: (a,b) → ℝ, x₀ ∈ (a,b) detto derivabile in x₀ se ∀ ε > 0, &exists; δ > 0 t.c. ^ste _ste.

OSSERVAZIONE: Se un punto dell’intervallo non appartiene non è derivabile. Ĉ; tangente in Ĉ.

DEFINIZIONE: Si definisce derivata prima: ½.

DEFINIZIONE: Siano x₀ ∈ (a,b) se ∀ x₀ ∈ (a,b) f’: ℝ, (intorno   I = U ∩ (a,b)).

DEFINIZIONE: Sia (X, d) una spazio metrico, f: X → ℝ una funzione derivabile.

DEFINIZIONE: Sia (X, τ), un topologico, una mappa differenziabile.

In generale, ∀ p ∈ (a,b), la funzione ¾ À (A−f)

TEOREMA: Se definisce come l’intervallo di Taylor. Toglie tutto tranne il primo addendo.

Sia (a,b) un insieme aperto e

OSSERVAZIONE: (f, ⨷) si pensa una funzione derivabile totale.

difformatrice →

DEFINIZIONE: Sia m ∈ (a,b) una funzione.

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DEFINIZIONE: PUNTO A 1.

e Uⁿ da un intervallo 4.

Teorema di Fermat:

• Se f ∈ C¹[a,b] allora ogni punto di massimo e minimo relativo è stazionario.
• Se x₀ è un punto di max/min relativo, allora f'(x₀) = 0.

• Definizione: f ∈ C¹(a,b) si dice crescente in (a,b) se ∀x₁,x₂ ∈ (a,b) con x₁ < x₂, risulta f(x₁) ≤ f(x₂).
• Definizione: f ∈ C¹(a,b) si dice decrescente in (a,b) se ∀x₁,x₂ ∈ (a,b) con x₁ < x₂, risulta f(x₁) ≥ f(x₂).

NON è detto che è punto di max/min

(h = x-a)

Definizione di derivata prima:

• f'(c) = lim (x→c) [f(x) - f(c)] / (x - c)

Teorema: Rivalutazione e teorema limite

• f: [a,b] → R continua in [a,b]
• Derivabile in (a,b) allora esiste c ∈ (a,b):
• F'(x) = f(a) + ∫(a,x) (t - a)dF(t)

Teorema di Lagrange:

• Supponiamo che f sia continua in [a,b] e derivabile in (a,b):
• Esiste ξ ∈ (a,b) tale che
• f(b) - f(a) = f'(ξ)(b-a)

Definizione:

• f: A ⊆ ℝ, A contenente un intorno di c.
• Si dice che f è derivabile in c se esiste il limite

(c = x₀)

Teorema: Formula di Taylor di primo ordine in forma locale

• Se f ∈ C²([a,b]), x₀ ∈ (a,b), c'è un intorno I ⊆ [a,b] di x₀ dove
• f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + ½ f''(ξ)(x-x₀)²

Teorema di Poincaré Globale

Sia Rⁿ semplicemente connesso, 2 ≤ n, ƒ : Ω ⊆ Rⁿ → R e a ∈ Ω, con Ω aperto e connesso.

1. Se ƒ chiuso, allora ƒ esatto.

Osserva: Rⁿ semplicemente connesso, R diverso da prati principali

Osservazioni su potenziali:

∃ b₀ ∈ C_{a,b}(Ω) tali che ∇b₀ = 0, ϕ(b₀) = 0, ∀ϕ, 0 ≡ ϕ è costante

Campi Radiali

Definizione:

Un insieme E ∈ Rⁿ è simmetria sferica se x, y ∈ E esistono σ : E → Rⁿ, xσ = y e σ è rotazione.

Teorema:

Sia Rⁿ e F ∈ R un campo radiale E ∈ Rn simm. sferico...