Analisi 2 - parte 3 del programma

Lemma di Poincaré

Se w è 1-forma differenziale chiusa in un aperto semplicemente connesso A allora w è esatta in A.

FORMULE DI GAUSS - GREEN IN R²

\[\int\limits_{\partial D} f(x, y) \, dy = \iint\limits_D \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \, dx \, dy\]

Se D è normalità regolare, f(x, y) funzione di classe C¹ in un aperto A.

JD, curva semplice e regolare avente per sostegno la frontiera di D positivamente orientata.

\[\int\limits_{\partial D} f(x, y) \, dx = - \iint\limits_D \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \, dx \, dy\]

\[\omega = f(x, y) \, dy\]

\[\mathbb{F}_{\omega} = (0, f(x, y))\]

\[\int\limits_{\partial D} \mathbb{F}_{\omega} \cdot \overline{n} \, ds = \iint\limits_D \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) \, dx \, dy = \iint\limits_D \frac{\partial f}{\partial x} \, dx \, dy\]

\[\omega = f(x, y) \, dx\]

\[\mathbb{F}_{\omega} = (f(x, y), 0)\]

Equazioni Differenziali Ordinarie

X ∈ ℝ, y(x), ... , y⁽ⁿ⁾(x)

• F(x, y, y', ... , y⁽ⁿ⁾) = 0

F: A ⊂ ℝⁿ⁺² → ℝ

L’ordine dell’equazione differenziale ⋆ è pari all’ordine massimo delle derivate che compaiono nell’espressione ⋆

• x y^iv + 3yⁱ = y(x-3) ↔ x y^iv + 3yⁱ - y(x-3) = 0 equazione di ordine 4

Una funzione y(x) definita in un intervallo I ⊂ ℝ è detta soluzione dell’equazione differenziale ⋆ se risulta derivabile n volte in I e se risulta:

• F(x, y(x), y'(x), ... , y⁽ⁿ⁾(x)) = 0 ∀ x ∈ I

Risolvere l’equazione differenziale ⋆ significa determinare tutte le soluzioni

Es.

y' = a(x)

y(x) è soluzione se e solo se y(x) è primitiva di a(x)

• ∫ a(x) dx = A(x) + c , c ∈ ℝ

Le soluzioni dell’equazione y' = a(x) sono y(x) = A(x) + c, c ∈ ℝ, e A(x) è una primitiva di a(x).

Es.

y^‘‘(x) = x²

• y⁽¹⁾(x) = x³/3 + c₁, c₁ ∈ ℝ

y(x) = x⁴/12 + c₁ x + c₂ , c₁, c₂ ∈ ℝ

integrale generale

ψ(x_(n)) = 0

quelle che sappiamo risolvere

y' = B(x) b(y) (1)

y' = a(x) y + b(x)

a_ny⁽ⁿ⁾ + b₁y' + c y (β(x))

a_ny⁽ⁿ⁾ + a_my^(m) + ... + a_oy = g_o(x)

A(x,y) + ψ(y) B(x,y) - (0)

I

EQUAZIONI DIFFERENZIALI A VARIABILI SEPARABILI

y' = a(x) b(y)

(y' = x²y²)

a(x) b(y) continue

→ f (x,y) = a(x) b(y) è lip.

se ∃ y_o | b (y_o) = 0

allora y_o (x_o) = y_o è soluzione di y' = a(x)b(y)

∀ x ∈ Dom.

se ψ(x) è soluzione di y = a(x) b(y) e se 1

b (ψ(x)) ≠ 0

allora

y' (x) = a(x) b(ψ(x)) ⟷ y' (x) - a(x)

b (ψ(x)) = 0

B(u) primitiva di 1

b(y)

(B (ψ(x)))' = B' (ψ(x)) ψ' (x) = 1

b(ψ(x)) ψ' (x) = y'(x)

b(ψ(x))

x ≠ 0

a(x) = ¹/_x

b(x) = x²

y'' - ¹/_x y' + x² = 0

y(−1) = 0

y'' − ¹/_x

y = e^A(x) (∫ b(x) e^−A(x) dx + K)

A(x) = una primitiva di a(x) = ¹/_x

A^*(x) = log |x| in (0, +∞)

A^*(x) = log |x| in (−∞, 0)

y^*(x) = e^A*(x) (∫ b(x) e^−A*(x) dx + K)

y(−1) = 0 definita in (−∞, 0)

y = − x (∫ x² − log (−x) dx) − K

= − x (∫ x²/₂ + K ) definita in tutto ma primitiva di scelta

y (−1) = 0 → −¹/₂ + K = 0 → K = ¹/₂

y(x) = x (x²/₂ − ¹/₂) è la soluzione del (PC) in (−∞, 0)

c₁y₁(x) + c₂y₂(x) = 0

c₁y₁'(x) + c₂y₂'(x) = 0

→ W(x) ≠ 0 ∀ x ∈ I 

y₁(x), y₂(x) soluzioni lin. indip. di y'' + b(x)y' + c(x)y = 0

→ y(x) = c₁y₁(x) + c₂y₂(x), c₁, c₂ ∈ R è ancora soluzione.

Teorema

Siano y₁(x), y₂(x) soluzioni lin. indip. di y'' + b(x)y' + c(x)y = 0 in I ⊆ ℝ. Allora per ogni soluzione y(x) di y'' + b(x)y' + c(x)y = 0 ∃ c₁, c₂ tali che

y(x) = c₁y₁(x) + c₂y₂(x)

Dim

Sia y(x) soluzione dell'equazione in I e sia x₀ ∈ I fissato.

Consideriamo il sistema nelle incognite c₁ e c₂,

• c₁y₁(x₀) + c₂y₂(x₀) = y(x₀)
• c₁y₁'(x₀) + c₂y₂'(x₀) = y'(x₀)

determinato

W(x₀) = | y₁(x₀) y₂(x₀) | ≠ 0

| y₁'(x₀) y₂'(x₀) |

→ ∃! soluzione del sistema : c₁, c₂ ∈ ℝ

Sia ṽ(x) = c₁y₁(x) + c₂y₂(x),

y(x) = soluzione dell'equazione

ṽ'' + b(x)ṽ' + c(x)ṽ = 0

Inoltre ṽ(x₀) = c₁y₁(x₀) + c₂y₂(x₀) = y(x₀) e

ṽ'(x₀) = c₁y₁'(x₀) + c₂y₂'(x₀) = y'(x₀)

y(x) e ṽ(x) sono due soluzioni con ṽ(x₀), y(x₀), e ṽ'(x₀) , y'(x₀)

∀x y(x) - ṽ(x) = c₁y₁(x) + c₂y₂(x) #

Δ=0 ⟹ r₁=r₂

λ²+2rλ+w²=0

λ_o=-r

ψ(T)=(c₁+c₂T)e^-rT ⟹ (c₁+c₂T)e^-rT

T→+∞

no oscillazioni

Λ=-4(r²-w²)=0

T→∞

ψ^''+w²ψ=g(T)

moto forzato

ψ^''+bψ^'+cψ=g(T)

ψ(x)=ψ_o(x)+ψ_p(x)

dove ψ_o(x) è l'integrale generale dell'equaz. omogenea

=> ψ_p(x) è una soluzione particolare di

y^III - 4y^I + 4y = 0

x² - 4x + 4 = 0 -> (λ - 2)² = 0

y_g(x) = c₁e^2x + c₂xe^2x, c₁, c₂ ∈ℝ

y_p(x) = Ax² ∀A ∈ ℝ è soluzione di y^III - 4y^I + 4y = 0

y_p(x) = Ax²e^2x ∀A ∈ ℝ è soluzione di y^III - 4y^I + 4y = 0

y₁(x) = Ax²e^2x

y_p(x) = Ax^me^λx

dove il è la molteplicità della radice λ = 2 di p(λ)

y^II - 2y^I + y = |3x.e^x|

y^II - 2y^I + y = 0

(λ - 1)² = .λ² - 2λ + 1 = 0 λ = 1

y_g(x) = c₁e^x + c₂xe^x

y_p(x) = (Ax + B)x -> Axx² + Bxx²

y_p(x) = x(Ax + B)x -> Axx²e^x + Bxx²e^x

y_p(x) = x²(Ax + B)x.nx

y^II - 2y^I + 2y + x²sinx

y^II - 2y^I + 2y = 0

(λ -2I)² + sϕ + 1 λ - z = 0

(λ - 1)² = -1 λ = ±i λ = -1 ± i

y_g(x) = e^x( c₁cosx + c₂sinx) = c₁e^xcosx + c₂e^xsinx

y_p(x) ∈ e^2x( Acosx + Bsinx)