Analisi 2 - parte 3 del programma

Lemma di Poincaré

Se ω è una 1-forma differenziale chiusa in un aperto semplicemente connesso A, allora ω è esatta in A.

Formule di Gauss-Green in R²

∫ f(x,y) dy = ∫∫_D (∂F/∂x) (x,y) dxdy

D = R² versore tangente, f(x,y) funzione di classe C* in un aperto A_D

∫ f(x,y) dx = ∫∫_D (∂F/∂y) (x,y) dxdy

γD, curva semplice e regolare avente per supporto la frontiera di D positivamente orientata.

ω = f(x,y) dy ⟶ F_ω, (0, f(x,y))

∫_∂D F_ω ds = −∬_D ∂f/∂x dxdy

ω = f(x,y) dx ⟶ F_w(x,y) = (f(x,y), 0)

Lemma di Poincaré ripetuto

Se w è una 1-forma differenziabile chiusa in un aperto semplicemente connesso A, allora w è esatta in A.

Formule di Gauss-Green ripetute

∮_∂D+ f(x,y) dy = ∬_D (∂/∂x) f(x,y) dxdy

∮_∂D+ f(x,y) dx = -∬_D (∂f/∂y) dxdy

D = R² dominii segnolari, f(x,y) funzione di classe C¹ in un aperto A.

∂D, curve semplice e regolare avente per supporto la frontiera di D positivamente orientata.

w = f(x,y) dy F_w → (0, f(x,y))

∮_∂D+ F_w · dI = - ∬_D ∂_x/∂x - ∂_w ∂f/∂y = ∬_D ∂f/∂x dxdy

w = f(x,y) dx F_w → (f(x,y), 0)

Equazioni differenziali ordinarie

x ∈ ℝ, y(x), ..., y⁽ⁿ⁾(x)* F(x, y, y', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0 F. A. ⊂ ℝⁿ⁺² → ℝ

L'ordine dell'equazione differenziale * è pari all'ordine massimo delle derivate che appaiono nell'espressione *

x⁴y^IV + 3y' = y(x² - 3) ↔ x⁴ y^IV + 3y' - y(x² - 3) = 0

Equazione di ordine 4

Una funzione y(x) definita in un intervallo I ⊂ ℝ è detta soluzione dell'equazione differenziale * se risulta derivabile n volte in I e se risulta: F(x, y(x), y'(x), ..., y⁽ⁿ⁾(x)) = 0 ∀ x ∈ ℝ

Risolvere l'equazione differenziale * significa determinare tutte le soluzioni

Esempio

y' = a(x)y(x) è soluzione se e solo se y(x) è primitiva di a(x)

∫ a(x) dx = A(x) + c, c ∈ ℝ

Le soluzioni dell'equazione y' = a(x) sono y(x) - A(x) + c₁, c₁ ∈ ℝ, e A(x) è una primitiva di a(x)

Altro esempio

y'' = -x²

y'₁(x) = -x³/3 + c₁, c₁ ∈ ℝ

y(x) = -x⁴/12 + c₁x + c₂, c₁, c₂ ∈ ℝ

y' = a(x) y

y(x₀) = y₀

y(x) = y₀ + ∫_x₀^x a(ξ) T dT

Ulteriore esempio

y'' = -x²

y(x₀) = y₀

y'(x₀) = y₁

Dato x₀, dati y₀, y₁, ... y_n-1 ∈ Rⁿ

Si cercano le soluzioni del problema.

Problema di Cauchy

(Unica soluzione)

Equazione differenziale in forma normale

Sia F(x, y) ⊂ Rⁿ → R | si dice che F(x, y) è funzione Lipschitziana rispetto a y se è uniformemente rispetto a x e y su I x J, se esiste L > 0 (Costante di Lipschitz) tale che:

|F(x, y) - F(x, ẏ)| ≤ L | y - ẏ | ∀x ∈ I, y, ẏ ∈ J

f(x, y) x ∈ I x J → y ∈ R^M

f(x, y) continua in I x J ∃ L > 0 tale che

| f(x, y) - f(x, ẏ) | ≤ L → F(x, ẏ) - F(x, y) ≤ L (y - ẏ) ∀x ∈ I, ẏ ∈ J

∀x ∈ I, ∀y, ẏ ∈ J

Se | ∂F / ∂y | ∀(x, y) ∈ I x J e se | ∂F(x, ẏ) / ∂y | ≤ M ∀(x, ẏ) ∈ I x J allora ∃ L > 0 tale che | F(x,y) - F(x,ẏ) | ≤ L | y - ẏ | ∀x ∈ I, ∀y,ẏ ∈ J

Se F(x,y) ammette derivata parziale rispetto a y continua nel compatto I x J allora F(x,y) risulta lipschitziana