TEOREMA (regola di Leibniz di derivazione sotto segno di integrale)
Sia \( f(x,T) \) funzione continua rispetto ad \( x \) e derivabile rispetto a \( T \) con derivata parziale \( \frac{\partial f}{\partial T} \) continua rispetto a \( x \) in \([a,b]\) e rispetto a \( T \) in \([ \alpha, \beta ]\) uni parvamente rispetto a \( x \) e \( x \in [a,b] \).
Allora
\( F(T) = \int_{a}^{b} f(x,T) \, dx \) risulta derivabile con \( F(T) = \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial T} (x,T) \, dx \)
\( F(T) = \int_{0}^{1} \cos (x^2 T) \, dx \) \(\Rightarrow F'(T) = \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial T} \cos (T x) \, dx = - \int_{0}^{1} \sin (T x) \, x \, dx \)
\( H(T,a,b) = \int_{a}^{b} f(x,T) \, dx \) \( f \in C^1([a,b] \times [\alpha, \beta]) \)
\( \frac{\partial H}{\partial b} (T,a,b) = f(b,T) \)
\( \frac{\partial H}{\partial a} (T,a,b) = - f(a,T) \)
\( \frac{\partial H}{\partial T} (T,a,b)= \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial T} (x,T) \, dx \)
\( G(T) = \int_{a(T)}^{b(T)} f(x,T) \, dx - H(T,a(T),b(T)) \)
\( G'(T) = \nabla H(\psi(T)) \cdot \psi'(T) - \left(\frac{\partial H}{\partial T} \frac{\partial H}{\partial a} \frac{\partial H}{\partial b}\right) \cdot (\mu, a'(T), b'(T)) \) =
\( = \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial T} (x,T) \, dx - a'(T) f (a(T),T) + b'(T) f (b(T),T) \)
\( \psi(T) = (T, a(T), b(T)) \)
\( \mathcal{G}(T) = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi^2} \cos (i x) \, dx \)
\( G(T) = \int_{\frac{\pi}{2}}^{T^2} \cos (Tx) \, dx - H(T,T, T^2) \)
\(G'(T) = \nabla H(\psi(T)) \cdot \psi'(T) - \left(\frac{\partial H}{\partial T} \frac{\partial H}{\partial a} \frac{\partial H}{\partial b}\right) \cdot (1,1,2T) \) =
\( = \frac{\sin T^3 - \sin T^2}{T} - \cos T^2 + 2T \cos T^3 \)
TEOREMA
Sia \(f(x,T)\) funzione continua rispetto ad \(x\), derivabile rispetto a \(T\) con derivata parziale \(\frac{\partial f(x,T)}{\partial T}\) continua rispetto a \(x\) in \([a,b]\) e rispetto a \(T\) in \([\alpha,\beta]\) uni parametricometre rispetto a \(x\) e \(T \in [a,b]\).
Allora
\(F(T) = \int_{a}^{b} f(x,T) \, dx\) risulta derivabile, con \(F'(T) = \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial T} (x,T) \, dx\)
\(\Rightarrow F(T) = \int_{0}^{1} \cos(Tx^T) \, dx \Rightarrow F'(T) = \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial T} \cos(Tx^T) \, dx = \int_{0}^{1} - \sin(Tx^T) \, x \, dx\)
\(H(T,a,b) = \int_{a}^{b} f(x,T) \, dx\)
\(\frac{\partial H}{\partial b} (T,a,b) = f(b,T)\)
\(\frac{\partial H}{\partial a} (T,a,b) = -f(a,T)\)
\(G(T) = \int_{a(T)}^{b(T)} f(x,T) \, dx - H(T,a(T),b(T))\)
\(G'(T) = \nabla H(\psi(T)) \cdot \psi'(T) - \left( \frac{\partial H}{\partial T}, \frac{\partial H}{\partial a}, \frac{\partial H}{\partial b} \right) \cdot \left( \dot{a}(T), \dot{b}(T) \right)\)
\(= \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial T} (x,T) \, dx - a'(T) f(a(T),T) + b(T) f(b(T),T)\)
\(G(T) = \int_{T}^{T^2} \cos(i x) \, dx\)
\(G(T) = \frac{2}{i} \sin(T^2) - \cos(Tx^T) \, dx= H(T,T,T^2)\)
\(G'(T) = \nabla H(\psi(T)) \cdot \psi'(T) - \left( \frac{\partial H}{\partial T}, \frac{\partial H}{\partial a}, \frac{\partial H}{\partial b} \right) \cdot (1, -1, 2T)\)
\(= \frac{\sin^3 T}{T} - \frac{\sin^T^T}{T} - \cos T + 2T\cos T^3\)
Massimi e Minimi Relativi
f: A ⊆ ℝm → ℝ, x0 ∈ A si dice pto di massimo relativo per f(x) se risulta f(x0) ≥ f(x) ∀ x ∈ A ∩ Tδ(x0) per qualche δ > 0.
Se x0 è pto interno ad A ed è pto di max/min relativo per f(x) e se f(x) è derivabile parzialmente in x0, allora ∇f(x0) = 0̲
Hf (x) =
- ∂2f/∂x12 (x) ∂2f/∂x1∂x2 (x) ... ∂2f/∂x1∂xu (x)
- ∂2f/∂x2∂x1 (x) ∂2f/∂x22 (x) ... ∂2f/∂x2∂xu (x)
- ⋮
- ∂2f/∂xu∂x1 (x) ∂2f/∂xu∂x2 (x) ... ∂2f/∂xu2 (x)
è matrice u x u SIMMETRICA se f ∈ C2(A)
Teorema (condizione sufficiente del II ordine)
Sia f(x) funzione di classe C2 in un aperto A ⊆ ℝm e sia x0 ∈ A tale che ∇f(x0) = 0̲
autovalori positivi
- (i) se Hf(x0) è definita positiva allora x0 è pto min. relativo
- (ii) " " definita negativa " " x0 è pto di max relativo
- (iii) se Hf(x0) è indefinita x0 è pto di sella (né max né min)
f ∈ C2(A)
f(x) = f(x0) + ∇f(x0) · (x − x
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