Analisi 2 - parte 2 del programma

Teorema (proprietà di continuità e di derivazione sotto segno di integrale)

Sia \( f(x,T) \) funzione continua rispetto ad \( x \) e derivabile rispetto a \( T \) con derivata parziale \( \frac{\partial f}{\partial T}(x,T) \) continua rispetto a \( x \) in \([a,b]\) e rispetto a \( T \) in \([\alpha,\beta]\) uniformemente rispetto a \( x \in [a,b]\). Allora \( F(T) = \int_a^b f(x,T) \, dx \) risulta derivabile con \( F'(T) = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial T}(x,T) \, dx \).

Esempio: \( F(T) = \int_0^1 \cos(x^2 T) \, dx \quad \Rightarrow \quad F'(T) = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial T} \cos(x^2 T) \, dx = \int_0^1 -\sin(x^2 T) x^2 \, dx \)

\( H(T,a,b) = \int_a^b f(x,T) \, dx \quad \quad \quad f \in \mathcal{C}^1([a,b] \times [\alpha, \beta]) \)

\(\frac{\partial H}{\partial b}(T,a,b) = f(b,T) \)

\(\frac{\partial H}{\partial a}(T,a,b) = -f(a,T) \)

\(\frac{\partial H}{\partial T}(T,a,b) = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial T}(x,T) \, dx \)

\( \mathcal{U}(T) = (T, a(T), b(T)) \)

\( G(T) = \int_{a(T)}^{b(T)} f(x,T) \, dx - H(T,a(T),b(T)) \)

\( G'(T) = \nabla H(\mathcal{U}(T)) \cdot \mathcal{U}'(T) = \left(\frac{\partial H}{\partial T}, \frac{\partial H}{\partial a}, \frac{\partial H}{\partial b} \right) \cdot \left(1, a'(T), b'(T)\right) = \)

\( = \int_{a(T)}^{b(T)} \frac{\partial f}{\partial T}(x,T) \, dx - a'(T) f(a(T),T) + b'(T) f(b(T),T) \)

\( G(T) = \int_T^{T^2} \cos(Tx) \, dx \)

\( G'(T) = \left[-\frac{\sin(Tx)}{T} \right]_T^{T^2} \)

\( G(T) = \int_T^{T^2} \cos(Tx) dx - H(T,T,T^2) = \)

\( G'(T) = \nabla H(\mathcal{U}(T)) \cdot \mathcal{U}'(T) = \left(\frac{\partial H}{\partial T}, \frac{\partial H}{\partial a}, \frac{\partial H}{\partial b} \right) \cdot (1,-1,2T) = \)

\( = \frac{\sin(T^3) - \sin(T^2)}{T} = \sin(T^3) - \sin(T^2) \)

= \(- \cos(T^2) + 2T \cos(T^3) \)

Massimi e Minimi Relativi

f: A ⊆ ℝ ⁿ → ℝ

x₀ ∈ A si dice pto di massimo relativo per f(x) se risulta f(x₀) ≥ f(x)

∀ x ∈ A ∩ I_δ (x₀) per qualche δ > 0.

Se x₀ è pto interno ad A ed è pto di max/min relativo per f(x) e se f(x) è derivabile parzialmente in x₀, allora ∇f(x₀) = 0.

∂f/∂x_i

If Hf(x) =

• ∂²f/∂x₁²(x)
• ∂²f/∂x₁∂x₂ (x)
• ∂²f/∂x₁∂x_u (x)
• ∂²f/∂x₂∂x₁ (x)
• ∂²f/∂x₂² (x)
• ∂²f/∂x₂∂x_u (x)
• ∂²f/∂x_u∂x₁ (x)
• ∂²f/∂x_u∂x₂ (x)
• ∂²f/∂x_u² (x)

è matrice u x u

simmmetrica se f ∈ C²(A)

Teorema (condizione sufficiente del II ordine)

Sia f(x) funzione di classe C² in un aperto A ⊆ ℝⁿ e sia x₀ ∈ A

tale che ∇f(x₀) = 0

• autovalori positivi
• (i) se Hf(x₀) è definita positiva allora x₀ è pto min. relativo
• (ii) " " " definita negativa " x₀ è pto di max relativo
• (iii) se Hf(x₀) è indefinita x₀ è pto di sella (né max né min)

f ∈ C² (A)

f(x) = f(x₀) + ∇f(x₀) (x-x₀) + 1/2 Hf (x₀) (x-x₀) · (x-x₀) + o(||x-x₀||²)

per x → x₀

∂f/∂x

∂f/∂y

∂f/∂z

f(x,y,z,λ) = f(x,y,z) + λ (g(x,y,z) - 3) = x + y - z - λ (x² + y² + z² - 3)

∇F = 0

• ∂f/∂x (x,y,z,λ) = 1 - 2xλ = 0
• ∂f/∂y (x,y,z,λ) = 1 - 2yλ = 0
• ∂f/∂z (x,y,z,λ) = -1 - 2zλ = 0
• ∂f/∂λ (x,y,z,λ) = - (x² + y² + z² - 3) = 0

LAGRANGIANA

λ ≠ 0

x = 1/2λ; λ = 1/2

candidati per essere max e min ass. per f (x,y,z) in Z sono (1,1,-1) e (-1,-1,-1)

max

min

∀G (x,y,z) − (2x, 2y, 2z) ≠ 0 ∀(x,y,z) ∈ Z

Determinare coordinate centro di massa

coordinate del baricentro B di γ sono date da:

Determinare le coordinate del baricentro B di un arco circolare γ con f avente per sostegno l'arco x² + y² = r², y = |x|^1/2

1. μ(γ) = ∫_γ y ds
2. γ = φ([π/4, 3π/4]), φ(θ) = (r cosθ, r sinθ), θ ∈ [π/4, 3π/4]
3. ||φ'(t)|| = √(r²) = r, dato che è un raggio
4. μ(γ) = ∫₀ y ds = ∫_π/4^3π/4 r² sinθ dθ = [r(-cosθ)]^3π/4_π/4 = r² - r²
5. x_B = (1/μ(γ)) ∫_γ y × ds = (1/√2 r²) ∫_π/4^3π/4 r sinθ cosθ dθ = r/√2 [(sin²θ/2)_π/4^3π/4] = 0

D = {(x,y) ∈ ℝ² / x² + y² ≤ 4, y ≠ 0}

normale rispetto ad x, non normale rispetto ad y

D = {(x,y) / x ∈ [-2,2] , α(x) ≤ y ≤ β(x)}

dove β(x) = √(4 - x²)

d(x) = { 0 se x ∈ [-2,√4] √(1-x²) se x ∈ [-1,1] 0 se x ∈ [1,2] }

posso comunque scrivere il dominio come unione di due insiemi

Se f(x,y) continua in D dominio normale rispetto ad x e ad y

allora

D = {(x,y) / x ∈ [a,b], α(y) ≤ y ≤ β(y)} ∪ {(x,y) / y ∈ [c,d], δ(y) ≤ x ≤ η(y)}

∬_D f(x,y) dx dy = ∫_a^b ( ∫_α(x)^β(x) f(x,y) dy ) dx = ∫_c^d ( ∫_δ(y)^γ(y) f(x,y) dx ) dy

CASO PARTICOLARE

D = {[a,b] × [c,d]} : { (x,y) / x ∈ [a,b], c ≤ y ≤ d}

∬_D f(x,y) dx dy = ∫_a^b ( ∫_c^d f(x,y) dt ) dx = ∫_c^d ( ∫_a^b f(x,y) dx ) dy

Se D = [a,b] × [c,d], f(x,y) = g(x) h(y)

∬_D g(x) h(y) dx dy = ∫_a^b ( ∫_c^d g(x) h(y) dy ) dx = ∫_a^b g(x) dx ∫_c^d h(y) dy

∫_a^b ( g(x) ∫_c^d h(y) dy ) dx = ∫_c^d h(y) dy ∫_a^b g(x) dx

∬_D y³ √(x² - y²) dx dy

D = {(x,y) / (x-1)² + y² ≤ 1}

(x-1)² + y² = 1

y² = 1 - (x-1)²

y = ± √(1 - (x-1)²)

D = {(x,y) / x ∈ [0,2], -(1-x)^1/2 ≤ y ≤ (1-x)^1/2}

Involucro

D = D₁ ∪ D₂

D₂ = {(x,y) ∈ D | z + y > 0}

∬_D+ f(x,y,z) dx dy = ∬_D f(x,y,z) dx dy

∬_D f(x,y,z) dx dy = 2 ∬_D+ f(x,y,z) dx dy

D₃ = {(x,y,z) ∈ ℝ³ (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f(x,y)}

∬_D f(x,y) dx dy = volume(R) = λ(R)

(x,y) ∈ D: {(x,y,z) ∈ ℝ³ | (x,y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ 1-x²-y²}

f(x,y) = 1-x²-y²

(x,y) ∈ D: {(x,y) ∈ D | x²+y² ≤ 1}

V = ∬_D 1−x²−y² dx dy = 4 ∬_D0 ∫ 1−x²−y² dx dy

la funzione risulta compresa tra il paraboloide e la circonferenza nel piano xy

rep. simmetrica rispetto ad x e dy

D₀ = {(x,y) | x ∈ [0,1] , 0 ≤ y ≤ √(1−x²)}

V = ∫₀∫_{√(1−x²−y¹)} dx dy = 4 ∫₀¹ (1−x²)√(1−x²) dx