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PASS: AN2H sec 2015
GIOVEDÌ 8:30 - 10:30
B 4/8
curve
funzioni a più variabili
campi vettoriali
equazioni differenziali ordinarie
RM: I ⊂ ℝ
ψ: I ⊂ ℝ → ℝμ
f: A ⊂ ℝμ → ℝ
F: A ⊂ ℝμ → ℝμ
d(P,Q) = √i=1μ(xi-yi)2
prodotto per scalare: λ ∈ ℝ
λV̅ = (λx1, λx2, ..., λxμ)
prodotto scalare tra vettori
V̅ ⋅ W̅ = x1y1 + ... + xμyμ = ∑i=1μxiyi ∈ ℝ
norma
∥V̅∥ = √∑i=1(xi)2
distanza euclidea
spazio metrico
spazio vettoriale
Curve
- spazio metrico
piccola ospit.
da più
- spazio vett.
piccola usabilità
(dx)
Rm
- P(...)
- Q(...)
d(P,Q): ...
d : Rm x Rm -> R
- d(P,Q) ≥ 0, ∀ P, Q ∈ Rm
- d(P,Q) = 0 se e solo se P = Q
- d(P,Q) = d(Q,P) ∀ P, Q ∈ Rm
- d(P,Q) < d(P,R) + d(R,Q), ∀ P, Q, R ∈ Rm
{< Rm ,d > spazio metrico} soddisfa
u = 2
P(x,y) ∈ R2
d(P,P0) = lunghezza segment.
ρ ∈ R2 / d(P,P0) = x { , (x,y) ∈ R2 / (x-x0)2 + (y-y0)2 = r2 }
P0 ∈ R2 fissato, x > 0 fissato
BASE CANONICA
e1 = (1, 0, ... , 0)
eu = (0, 0, ... , 1)
i-esimo componente non nulla (i-1)
in R2
e2 = (0, 1)
in R3
e3 = (0, 0, 1)
- Vo = (x1, x2,... xu) ∈ Ru
- Vi = Σ xi ei
PRODOTTO SCALARE
Ru uo = (x1, ... , xu)
Vo = (y1, ... , yu)
Uo * Vo = Σ xi yi
- α (Uo Vo) = (αU)o Vo = Uo (αV)o
- Uo Vo = Vo Uo
- Uo Vo + Wo = Uo Vo + Uo Wo
- ∀ Uo, Vo, Wo ∈ Ru
- Uo Vo ≥ 0
- Uo ∈ Ru
- Uo Vo = 0 <---> Uo = Oo
- || Uo || = √(Uo Uo) = √Σ xi2
- Uo = (x1, ... , xu)
- || Uo || ≥ 0, ∀ Uo ∈ Ru
- || Uo || = 0 <---> Uo = Oo
- || Uo + Vo || ≤ || Uo || + || Vo || dis. triang.
- || Uo Vo || ≤ || Uo || || Vo || dis. di Schwarz
- || λ Oo || = |λ| || Oo ||
- u = 1 R, x ∈ R
- || x || = √(x2) = |x|
I = [a, b] , ϕ : [a, b] → ℝn
ϕ(a) pto INIZIALE di ϕ
ϕ(b) pto FINALE di ϕ
se ϕ(a) = ϕ(b) ϕ è detta curva chiusa
ψ(T) = T ∈ [0; 2π]
ψ(0) = (1,0) ψ(2π)
Una curva ϕ : I ⊂ ℝ → ℝm è detta semplice se per ogni T1 ≠ T2 , T1 , T2 ∈ I , risulta ϕ(T1) ≠ ϕ(T2)
NON PASSA 2 VOLTE NELLO STESSO PTO
ϕ(T1) = ϕ(T2) ϕ non è semplice
eccetto eventualmente il caso in cui I = [a,b] e T1 = a e T2 = b
ψ(T) = T ∈ [0; 2π]
ψ(0) = ψ(π) = (1,0)
ψ(π/2) ψ(3/2 π)
se ψ'(T0) ≠ 0 , la curva r(T) = ψ(T0) + ψ'(T0)(T − T0) , T ∈ ℝ
ha per sostegno la retta di eq. param.
x1 = ψ(T0) + ψ'(T0)(τ − T0)
xα = ψμ(T0) + ψ'μ(T0)(T − T0)
retta tang. alla curva
ψ in ψ(T0)
rν − ψ(T0) =
xα − ψμ(T0) + (ψ(T0 + μ) − ψ(T0)) / h (T − T0)
lo retta secante tende alla retta limite (tangente) ψ(To + u) si avvicina a ψ(To) x u n→o
Se ψ' ≠ 0 risulta ben definito
|ψ'(T0)| = 1 / ||ψ'(T0)|| = 1 / ||ψ'(T0)|| ψ'(T0)
VERSORE TANGENTE a ψ in ψ(T0)
y = 3√x2 f(x)
x ∈ [-1, 1]
→ ϕ (T) = (-T, T2)
T ∈ [-1, 1]
Φ (T) = (T3, T2)
f'(x) ≈ -2⁄3, 2⁄3, 1⁄√x, ∀ x ≠ 0
non è finito lim
x →0 f'(x) [
f'(x) non è di classe C1 a tratti → Φ (T) non è di classe C1
∀ tratti → ϕ non è regolare a tratti
Equazioni che hanno lo stesso sostegno possono essere diverse
ρ = β(θ)
θ∈I
ρ : I → [0; ∞]
equaz. polare di Φ(θ) = (ρ(θ)cos(θ), ρ(θ)sin(θ)), θ∈I
Φ risulta di classe C1(a tratti)
se e solo se ρ risulta di classe C1(a tratti)
ρ(θ)
di classe C1
Φ'(θ) =(ρ'(θ)cos(θ)-ρ(θ)sin(θ), ρ'(θ)sin(θ)+ρ(θ)cos(θ)) = -σ 2ℵll Φ(θ)ll =
»(ρ'(θ)cos(θ)-ρ(θ)sin(θ))2 + (ρ'(θ)sin(θ) + ρ(θ)cos(θ))2 = 0
+ (ρ'(θ))2+( ρ(θ))2 = 0
regolare a tratti
Teorema
Due curve ϕ e ψ semplici, regolari (a tratti) aventi lo stesso sostegno sono equivalenti.
ex.
Determinare una parametrizzazione della curva semplice e regolare a tratti aventi per sostegno il disegno.
(T, T) , T ∈ [0, 1]
prima parte
(T, 1) , T ∈ [1, 2]
seconda parte
Semplice, di classe C¹ a tratti, ψ ([0, z]) = γ
Avuto per suo sostegno l'intersez del cilindro
x² + (y²/4) = 1 con il piano z = x - 2
∫√1+x² dx = ½ (x√1+x² + log |x + √1+x²|) + C
= ¼ [s√1+s² + log(s + √1+s²)]02 = ¼ (2√5 + log(2 + √5))
Φ: [a,b] ⟶ ℝn
Ψ: [b,c] ⟶ ℝn
Φ(b) = Ψ(b)
γ = Φ ∪ Ψ
i(t), t ∈ [a,b]
i(t), t ∈ [b,c]
δ ([a,c]) = Ψ ([a,b]) ∪ Ψ ([b,c])
⟶ ℒ (Φ ∪ Ψ) = ℒ (Φ) ∪ ℒ (Ψ)
DAL TEOREMA DI RETTIFICABILITÀ
Φ: [a,b] ⟶ ℝn di classe C1 a tratti
⟶ ∃ {T0 = a ≤ T1 < ... < TK = b} :
Φi [Ti-1, Ti] = ℝn di classe C1
resttrizione
⟶ Φ = Φ1 ∪ Φ2 ∪ ... ∪ ΦK
⟶ ℒ (Φ) = ℒ (Φ1) + ... + ℒ (ΦK)
= ∑i=1K ∫Ti-1Ti ||Φ'(T)|| dT
sommatoria di tante piccole lunghezze
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