Analisi 2 - prima parte del programma

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Revisionato il 20/04/2026

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Appunti di analisi matematica 2 sulla prima parte del programma sulla seconda parte basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof.ssa Alessio …

Esame Analisi matematica II

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Alessio Maria Gemma

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2016-2017

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Argomenti trattati

Pass: AN2M sec. 2018

Dettagli del Corso

Giovedì 8:30-10:30 B 4/8

Curve
Funzioni a più variabili
Campi vettoriali
Equazioni differenziali ordinarie

Geometria e Calcolo

R^u (x₁, x₂ ... x_u) x_i &in; R ∀ i = 1 ... u

u-pla ordinata di valori reali
P ∈ R^u → R (x₁, x₂ ... x_u)
V ∈ R^u → (x₁, x₂ ... x_u)
Spazio metrico
Spazio vettoriale

Q (y₁, y₂ ... y_u)

d(P, Q) = √((x₁ - y₁)² + (x₂ - y₂)² + ... + (x_u - y_u)²)

Distanza euclidea

Operazioni sui Vettori

Prodotto per scalare: λ ∈ R, λV̅ = (λx₁, λx₂, ..., λx_u)
Somma vettori Û (x₁ ... x_u) &Vcirc; (y₁ ... y_u)
Û + &Vcirc; = (x₁ + y₁ ... x_u + y_u)
Prodotto scalare tra vettori: Û̅ * &Vcirc;̅ = x₁y₁ + ... + x_uy_u = ∑_i=1^ux_iy_i ∈ R
Norma ∭Û∭ = √Û̅* Û̅ = √∑_i=1^ux_i²

Geometria nel Piano

Giovedì 8:30 - 10:30 B 4/8

Curve
Funzioni a più variabili
Campi vettoriali
Equazioni differenziali ordinarie

Rn (x₁, x₂, ..., x_n), x_i ∈ R, ∀ i : 1 ... n

n-upla ordinata di valori reali

P ∈ Rn → R (x₁, x₂, ..., x_u)

V¯ ∈ Rn V¯ = (x₁, x₂, ..., x_u)

Q (y₁, y₂, ..., y_u)

d (P, Q) = √((x₁ - y₁)² + (x₂ - y₂)² + ... + (x_u - y_u)²)

Distanza euclidea

Operazioni sui Vettori

Prodotto per scalare: λ ∈ R, λ V¯ = (λ x₁, λ x₂, ..., λ x_u)
Somma vettori U¯ (x₁, ..., x_u), V¯ (y₁, ..., y_u)
U¯ + V¯ = (x₁ + y₁, ..., x_u + y_u)
Prodotto scalare tra vettori U¯ V¯ = x₁ y₁ + ... + x_u y_u = ∑_i=1^u x_i y_i ∈ R
Norma ||U¯|| = √(U¯ U¯) = √(∑_i=1^u x_i²)

Spazio Metrico

Curva --- spazio metrico P(...), Q(...)

d: ^{R^m x R^m → R}

d(P,Q) ≥ 0, ∀ P, Q ∈ R^m
d(P,Q) = 0 se e solo se P = Q
d(P,Q) = d(Q,P), ∀ P, Q ∈ R^m
d(P,Q) ≤ d(P,R) + d(R,Q), ∀ P, Q, R ∈ R^m
{ R^m, d } spazio metrico soddisfacente

Coordinate Polari

u = 2, P(x, y) ∈ R²

d(P,P₀) = lunghezza segmento

P ∈ R² / d(P, P₀) = x

P₀ ∈ R² fissato, x > 0 fissato

(x, y) ∈ R² / (x - x₀)² + (y - y₀)² = r²

P₀(x₀, y₀) P(x, y)

Coordinate polari di P(x, y) rispetto a P₀(x₀, y₀) (ρ, θ)

ρ = d(P, P₀) = √((x-x₀)² + (y-y₀)²)

ρ ∈ [0; +∞)

θ ∈ [0; 2π)

x = x₀ + ρ cos θ

y = y₀ + ρ sin θ

θ = arctan \(\frac{y-y_0}{x-x_0}\)

(x, y) ∈ ℝ² | x² + y² ≤ 1

(ρ, θ) ∈ ℝ² | ρ ∈ [0, 1]

θ ∈ [0, 2π)

A = { (x, y) ∈ ℝ² | x² + y² = r², y ≥ 0 }

(ρ, θ) | ρ = r, θ ∈ [0, π]

x = x₀ + a cos θ

y = y₀ + b sin θ

P₀ (x₀, y₀) a > 0, b ≥ 0

∅ = arctan ^4-y_o⁄_{x-x_o}

Otteniamo punti di una ellisse

Allora ^{(x-x_o)²⁄_a²} + ^{(y-y_o)²⁄_b²} = 1

Di là per ∅=1 otteniamo punti di circonferenza A. {(x,y) ∈ ℝ² | ^x²⁄_a² + ^y²⁄_b² ≤ 1} ~ {(ρ,∅) | ρ ∈ [0,1]; ∅ ∈ [0,π]}

B. {(x,y) ∈ A |&

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