Progettazione funzionale - Riassunto dell'intero corso

Progettazione Funzionale

CINEMATICA

RICHIMI DI CINEMATICA

Coppie cinematiche

La principale caratteristica dei sistemi meccanici è quella di essere costituiti da più corpi (membri), collegati fra loro in modo opportuno. A seguito di tali legami (vincoli) risultano limitate le possibilità di movimento di ciascun membro relativamente agli altri, ossia il numero dei gradi di libertà del singolo membro e di tutta la macchina.

Si definisce coppia il sistema formato da 2 membri contigui collegati: se tra di essi esiste un movimento relativo (cioè il sistema ha almeno 1 g.d.l.) si ha una coppia cinematica.

Le coppie sono caratterizzate essenzialmente dallo spostamento relativo dei membri a contatto, che dipende dalla forma delle superfici che sono in contatto durante il moto: tali superfici sono dette superfici coniugate.

Uno stesso spostamento relativo fra i membri può essere ottenuto con differenti coppie di superfici coniugate: l'effettiva forma costruttiva ha influenza sulla trasmissione delle forze, l'usura, l'ingombro, ecc

In figura sono visualizzati diversi esempi di sistemi che realizzano lo stesso spostamento relativo con diverse modalità

• Coppia prismatica: albero accoppiato con foro prismatico (accoppiamento di forma con contatto superficiale)
• Guida e pattino: slitta di macchina utensile (accoppiamento di forza con contatto superficiale)
• Guida volvente: guida lineare a ricircolo di sfere (accoppiamento di forma con contatto puntuale)

Dal punto di vista cinematica si distinguono:

• contatti di strisciamento
• contatti di rotolamento
• contatti di urto

Dal punto di vista realizzativo si distinguono:

• accoppiamenti di forma (es: perno cilindrico in sede cilindrica)
• accoppiamenti di forza (es: bloccaggio di un pezzo in una pinza)

Tutte le coppie possono essere realizzate in entrambi i modi: gli accoppiamenti di forza sono monolaterali ed il contatto è mantenuto da opportune forze e momenti.

In relazione alla geometria del contatto si hanno:

• contatti puntiformi (es: cuscinetto a sfere)
• contatti lineari (es: cuscinetto a rulli)
• contatti superficiali (es: vite-madrevite)

Si indica come classe di una coppia cinematica il numero di gradi di libertà nel moto relativo

CATENA APERTA

Una catena cinematica è detta aperta quando non presenta maglie chiuse per cui almeno uno dei suoi corpi è connesso agli altri tramite una sola coppia cinematica

CATENA MISTA

Una catena cinematica è mista se presenta parti con maglie chiuse e altre con sottoinsiemi aperti

Coppia su cui insistono tre corpi

• è equivalente a due coppie binarie,
• lo schema equivalente può essere scelto arbitrariamente

La molteplicità di una coppia cinematica è pari al numero dei corpi ad essa connessi - 1

molteplicità 2 molteplicità 3

• una coppia è equivalente a un numero di coppie binarie pari alla sua molteplicità
• la scomposizione di una coppia a molteplicità n potrà dare luogo a n + 1 schemi cinematicamente equivalenti formati da sole coppie binarie, in cui n corpi sono connessi a un unico corpo

1 = telaio2-4 = pattini3-5 = aste

L'equazione di Grübler fornisce:n = 3(5 – 1) – 2×6 = 0 grado di mobilità

g.d.l. erratiMeccanismo a 1 g.d.l.

m = 5 numero membric₁ = 4 4 coppie rotoidali2 coppie prismatiche

Si dimostra banalmente che il punto M dell’asta 3, equidistante dai pattini 2 e 4, descrive una circonferenza di raggio l/2, essendo l la lunghezza dell’asta 3.L’aggiunta di un’asta 5 di lunghezza l/2 incernierata in M ed in O non cambia quindi il comportamento funzionale del meccanismo: tale asta impone infatti ad M di percorrere la stessa circonferenza di cui sopra; in presenza di un vincolo apparente o ridondante come questo non vale l’equazione di struttura per il calcolo dei g.d.l.

ESEMPIO: coppie multiple

Nel caso di meccanismi con catene composte (cioè con accoppiamenti multipli) l’equazione di struttura non dà risultati corretti se applicata senza cautela; ad es. (meccanismo di Watt):

1 = telaio2-3-4-5-6 = aste

L’equazione di Grübler, applicata allo schema strutturale corretto fornisce:n = 3(6 – 1) – 2×7 = 1 grado di mobilità

Schema strutturale corretto

Meccanismo a 1 g.d.l.

m = 6 numero membric₁ = 7 7 coppie rotoidali

Schemi strutturali

Gli schemi strutturali spesso considerano solo coppie rotoidali o prismatiche (di classe 1), eventualmente ricorrendo al meccanismo associato a quello con coppie superiori. Utilizzando solo coppie di classe 1, dall’equazione di Grübler, per ottenere meccanismi con 1 g.d.l., occorre che il numero delle coppie c sia:

c = (3/2)m – 2

da cui il numero di membri m deve essere pari.A parte il caso banale m = 2, i meccanismi con 4 membri vengono genericamente detti «quadrilateri» e quelli con 6 membri «esalateri».

Tale equazione si può sviluppare ed esprimere in funzione delle coordinate lagrangiane ottenendo:

_{vGxωR = 0}

_{vGyωR = 0}

_vGz0

_{ẋG = (ψ̇ sin θ cos φ - φ̇ sin φ)R}

ẏ_G = (ψ̇ sin θ sin φ - θ̇ cos φ)R

ż_G = 0

Poiché tale sistema di equazioni non è integrabile, il vincolo è anolonomo e la sfera ha ancora 5 g.d.l.: ciò significa che, con opportune manovre, è ancora possibile "parcheggiare" la sfera in qualsiasi posizione con qualsiasi orientamento prefissato senza farla mai strisciare.

Dal punto di vista computazionale il prodotto si calcola come:

A_T = ^A_BR ^R_BR ^A_BP^CORG + ^AP_BORG

La trasformazione inversa, invece:

B_T = ^A_BR^T -^B_A ^RT

Il problema è risolto calcolando direttamente la formula precedente, che diventa un prodotto di matrici note; pertanto esso, che è già posto in forma esplicita, è facilmente risolvibile e fornisce sempre una sola soluzione nel caso di strutture seriali.

Per strutture parallele la cinematica diretta presenta una complessità maggiore. Si richiede uno studio dedicato.

Analisi inversa

Il problema cinematico inverso (in termini di posizione) consiste nel determinare l'insieme di spostamenti dei giunti che portano il terminale del meccanismo in un assegnato punto con orientamento prefissato.

Anche questo problema si risolve a partire dalle equazioni riportate, che dopo aver svolto le moltiplicazioni indicate possono essere riscritte nella forma:

T = _nT⁰(q₁, q₂, ..., q_i, ..., q_n)

In questo caso il termine di sinistra è assegnato, mentre occorre calcolare le varie q_i a partire dalla loro espressione contenuta nel membro di destra; il problema è molto complesso dal punto di vista numerico.

Formalizzazione del problema

Lo studio cinematico viene descritto in termini di applicazioni tra due spazi vettoriali notevoli:

• l'insieme delle “n” variabili di giunto q_i può essere raccolto nel vettore delle coordinate interne q e lo spazio di tutti i vettori q è chiamato spazio dei giunti (spazio n-dimensionale con n di solito pari a 5 o più spesso ancora 6).
• la posizione e l'orientamento del dispositivo terminale possono essere raccolti anch’essi nel vettore delle coordinate esterne p di dimensione “m” e lo spazio di tutti i vettori p è chiamato spazio cartesiano o spazio di lavoro o spazio dei compiti (solitamente è uno spazio a 6 dimensioni).