Progettazione Funzionale

Data Materia Autore

23 Settembre 2019 Progettazione Funzionale Andrea Simonetti

Titolo

Introduzione al corso ed elementi di base

Cinematica del punto

La cinematica studia, il movimento dei sistemi a prescindere dalle forze che sono applicate; quindi stiamo

studiando la correlazione che c’è tra un punto ed un altro. Se definiamo l’essenza di un corpo rigido, come

un punto rigido all’interno di uno spazio, P. Tale punto si trova in una certa posizione rispetto ad una terna

di riferimento, la terna di riferimento è una terna fissa. La descrizione della posizione del punto viene

effettuata mediante le coordinate, che risultano essere le proiezioni di questo vettore rispetto alla terna di

riferimento.

Proiettando il vettore posizione, ottengo le 3 coordinate,

necessarie per la determinazione di un punto (x , y , z ), quindi a

p p p

sua volta per descrivere la posizione ho bisogno di 3 coordinate

per i 3 gradi di libertà del punto stesso.

̅̅̅̅̅̅̅̅

−

Il vettore posizione, , è il vettore che congiunge l’origine

degli assi al punto P, ed è descritto nelle sue componenti rispetto

ai versori della terna di riferimento.

Un sistema di punti, rigidi tra loro, ovvero le distanze tra loro non variano, anche in movimento. L’equazione

di fianco descrive, esattamente

la definizione di corpo rigido,

ovvero la distanza tra due punti

del medesimo corpo rigido non

varia tra loro.

Un'altra definizione importante, nella cinematica è la traiettoria, che rappresenta la sequenza

dei punti descritti da un punto nel tempo. Viene espressa

mediante delle leggi temporali che esprimo, a loro volta

come ogni coordinata che descrive il punto rispetto alla terna

di riferimento varia nel tempo.

E’ possibile introdurre l’ascissa curvilinea, che sostanzialmente ci permette

di descrivere la traiettoria presa in considerazione, una volta che scelgo un

riferimento sulla traiettoria e cerco di capire come il punto è posizionato

rispetto al riferimento preso muovendomi lungo la traiettoria. In questo

caso la descrizione parametrica non è dipendente dal

tempo ma da un parametro nuovo, l’ascissa curvilinea.

Introdotto l’ascissa curvilinea, possiamo introdurre anche il concetto di velocità

scalare, che per definizione risulta essere la derivata dell’ascissa curvilinea nel tempo

ed è scritta in corsivo, perché esattamente uno scalare. Qualora invece fossimo interessati, alla velocità

vettoriale di un punto, sarà necessario derivare il

vettore posizione (determinato rispetto ad una terna

fissa nel tempo) rispetto al tempo per ottenerla. La

notazione ci fa bene notare come invece in questo caso essendo una grande vettoriale; è espressa in

grassetto.

Quando faccio la derivata nel tempo, posso inserire l’ascissa curvilinea,

derivando rispetto all’ascissa curvilinea e poi moltiplicando per la derivata

dell’ascissa curvilinea nel tempo.

Per tale funzione possiamo definire, come il

secondo termine, ds/dt, rappresenta la

velocità scalare, mentre dp/ds, rappresenta

il versore tangente alla traiettoria. La

moltiplicazione dei due termini mi rappresenta esattamente la velocità, che infatti per definizione è sempre

tangente alla traiettoria.

Andando a derivare il vettore velocità ulteriormente nel tempo, arriviamo

alle accelerazioni ed

ottenendo esattamente

l’equazione riportata sul

fianco.

All’interno del risultato definiamo come il primo termine esprime la

componente tangente alla traiettoria sommato alla componente normale

alla traiettoria, definita componente centripeta.

Ad ogni modo, è sempre

dimostrabile che dt/ds è normale alla traiettoria. La dimostrazione

viene fatta mediante sempre l’uso del limite del rapporto

incrementale; facendo la differenza per h->0 mi trovo che i due vettori

risultano essere perpendicolari tra loro.

Nel caso della traiettoria rappresentata di fianco come possiamo vedere il

limite del rapporto incrementale, andando a moltiplicare e dividere per Δα,

diventa:

In cui Δα/h risulta essere pari a 1/ρ mentre l’altro termine graficamente come possiamo vedere è

̂

esattamente il versore perpendicolare alla traiettoria.

Si arriva quindi alla seguente equazione dell’accelerazione:

Quindi per una traiettoria sono stati definiti due versori, t ed n, rispettivamente tangenti e perpendicolari

alla traiettoria stessa. Possiamo completare la terna sulla traiettoria inserendo il vettore binormale che per

definizione risulta essere un vettore perpendicolare sia ad n e t e quindi uscente dal piano della traiettoria

rappresentata. Coppie Cinematiche

Un corpo rigido, ha 6 gradi di libertà nello spazio, 3 di traslazione e 3 di rotazione. Unendo vari corpi

tra loro, inserendo una relazione di cinematismo tra loro, andiamo intrinsecamente ad inserire dei

vincoli, limitando la possibilità di movimentazione del corpo qualora invece fosse completamente

libero.

La coppia cinematica è l’insieme di almeno 2 corpi che entrano in moto relativo tra di loro (deve

esserci sempre 1 gdl).

L’obiettivo generale, della progettazione funzionale, è quello di creare un sistema di corpi che abbia

una specifica movimentazione, uno specifico cinematismo, e ciò viene fatto essenzialmente

ponendo tra i vari corpi le coppie cinematiche. Le varie tipologie di coppie cinematiche creano attriti

e forze diverse su componenti. Non è importante inizialmente le dimensioni del sistema, ma la

movimentazione che deve essere eseguita.

Una volta capito come creare la movimentazione, si passa alla definizione di quali coppie

cinematiche vanno utilizzate e con quali accortezze.

Coppie Cinematiche Inferiori

Le coppie cinematiche inferiori anche dette elementari, sono tutte quelle coppie cinematiche di

superficie, ovvero le coppie cinematiche in cui si impone il contatto tra le superfici.

Nell’uso corrente le coppie elementari sono spesso considerate solo quelle che lasciano un grado di

libertà.

Vediamole però con maggior precisione:

- R – Rotoidale

Se il corpo esterno non è vincolato abbiamo 7 gdl, 6 del sistema che può traslare e ruotare e 1 di

rotazione relativa.

Se il corpo esterno è invece vincolato abbiamo 1 gdl che corrisponde all’unico relativo, per la

determinazione della disposizione del sistema.

- P- Prismatica

Se il corpo esterno non è vincolato abbiamo 7 gdl, 6 del sistema che può traslare e ruotare e 1 di

traslazione relativa.

Se il corpo esterno è invece vincolato abbiamo 1 gdl che corrisponde all’unico relativo, per la

determinazione della disposizione del sistema.

- E - Elicoidale

Se il corpo esterno non è vincolato abbiamo 7 gdl, 6 del sistema che può traslare e ruotare e 1 di

roto-traslazione (azioni legate tra loro) relativa.

Se il corpo esterno è invece vincolato abbiamo 1 gdl che corrisponde all’unico relativo, per la

determinazione della disposizione del sistema.

- F - Piana

Se il corpo esterno non è vincolato abbiamo 9 gdl, 6 del sistema che può traslare e ruotare e 3 di

rotazione e traslazione relativa.

Se il corpo esterno è invece vincolato abbiamo 3 gdl che corrisponde alle relative, per la

determinazione della disposizione del sistema.

- C - Cilindrica

Se il corpo esterno non è vincolato abbiamo 8 gdl, 6 del sistema che può traslare e ruotare e 2 di

rotazione e traslazione relativa.

Se il corpo esterno è invece vincolato abbiamo 2 gdl che corrisponde alle movimentazioni relative,

per la determinazione della disposizione del sistema.

- G – Sferica

Se il corpo esterno non è vincolato abbiamo 9 gdl, 6 del sistema che può traslare e ruotare e 3 di

rotazione relativa.

Se il corpo esterno è invece vincolato abbiamo 3 gdl che corrisponde alle movimentazioni relative,

per la determinazione della disposizione del sistema.

Va anche definito come si deve però non sempre pensare solo ai gdl che rimangono liberi dopo

l’applicazione di una coppia cinematica, ma è anche conveniente capire, la coppia cinematica del

caso in quella configurazione quanti e quali gradi di libertà va a limitare. Per esempio, nella sferica,

supponendo il corpo esterno vincolato a terra, avremo 3 gdl dati dalle 3 rotazioni ma anche quindi

3 gradi di vincolo relativi alle traslazioni impossibilitate.

Coppie Cinematiche Superiori

Ovviamente qua rientrano tutte le altre tipologie di coppie cinematiche; ovvero quelle con contatto

lineare o puntiforme. Un esempio importante di coppia superiore è esattamente la camma, che nel

piano avevamo visto imporre contatto forzato trai corpi lasciando liberi

rotazione relativa e traslazione.

Una particolarità delle coppie superiori, è la presenza di corpi non rigidi che possono avere anche

contati superficiali, ad esempio le cinghie.

Equazioni di Struttura

Il primo step cinematico che si deve risolvere di un sistema meccanico, è quella di capire i gradi di

libertà che servono per descrivere la mobilità del meccanismo.

Quello che si intende fare è il trasporto delle equazioni di Groubler nello spazio; sapevamo che

Il pedice di c indica il numero di gdl lasciati dalla coppia cinematica.

nello spazio diventa:

E per l’ennesima volta i gdl di cui un sistema risulta essere caratterizzato è esattamente il numero di

varibaili necessarie per descrivere univocamente la mobilità del sistema stesso.

Questa formula non può essere applicata sempre in modo univoco, in quanto si possono

determinare dei casi in cui i vincoli inseriti sono ridondanti. Si può infatti verificare in presenza di

questi che la formula restituisca un isostaticità o anche un iperstaticità ma effettivamente il corpo

è dotato di mobilità.

Data Materia Autore

9-24 Progettazione funzionale Manuele M

Titolo

Lezione progettazione funzionale 24/09

Possiamo avere diverse soluzioni delle catene cinematiche, dobbiamo capire quali sono i punti principali

della meccanica per passare dallo schema geometrico a quello cinematico che vediamo nella figura sopra. I

due sistemi dal punto di vista cinematico sono gli stessi. Per ogni meccanismo prima di definire uno schema

geometrico dobbiamo prima risolvere lo schema cinematico.

TOPOLOGIA CINEMATICA: indica l’informazione che rappresenta le connessioni fra i corpi tramite coppie

cinematiche

CATENA CHIUSA: Una catena cinematica è detta chiusa quando tutti i suoi membri presentano almeno due

coppie cinematiche, e, formano, pertanto, una o più maglie chiuse.

CATENA APERTA: Una catena cinematica è detta aperta quando non presenta maglie chiuse per cui almeno

uno dei suoi corpi è connesso agli altri tramite una sola coppia cinematica

CATENA MISTA: Una catena cinematica è mista se presenta parti con maglie chiuse e altre con sottoinsiemi

aperti

Se vogliamo ragionare sull’equazione di struttura per la catena mista vediamo che sotto abbiamo un

quadrilatero articolato che sappiamo ha 1 gdl. Per rendere invece nota la meccanica dei componenti della

parte aperta devo avere 2 informazioni una del corpo 5 rispetto al 4 e una del corpo 6 rispetto al 5,

appunto perché ho 2 coppie rotoidali.

Voglio studiare la cinematica della catena aperta, e voglio controllare il punto terminale dell’asta . Devo

sapere i suoi gradi di libertà, applicando le equazioni di Goubler.

→

n = 6(m – 1) – 5c1 – 4c2 – 3c3 – 2c4 – c5 n = 6(4 − 1) − 3 ∗ 5 = 3gdl

La macchina ha 3gdl cioè se vado ad attaccare un terminale alla macchina posso muoverlo con 3gdl, se ci

fosse una pinza al termine del corpo 4 posso spostarlo nelle direzioni x e y ed dargli un orientamento

desiderato. → n = 6(3 − 1) − 2 ∗ 5 = 2gd

Se pensassi di eliminare il corpo 4 avrei:

Allora se applicassi una pinza al terminale 3, potrei solo posizionare il corpo nelle coordinate x e y, ma NON

posso decidere in che orientamento farlo. Avrei un orientamento obbligato dalla cinematica della

macchina. → = 6(2 − 1) − 1 ∗ 5 = 1gd

Se vado ulteriormente a togliere il corpo 3 ho

In questo ulteriore caso ho un’asta che si muove su una circonferenza, ho 1 solo gdl. Questo mi dice che

posso scegliere un solo valore da variare ad esempio la coordinata x, la coordinata y e l’orientamento

saranno determinati dalla cinematica della macchina.

MOLTEPLICITA CINEMATICA: la molteplicità di una coppia cinematica è pari al numero dei corpi ad essa

connessi -1

• una coppia è equivalente a un numero di coppie binarie pari alla sua molteplicità

• la scomposizione di una coppia a molteplicità n potrà dare luogo a n + 1 schemi cinematicamente

equivalenti formati da sole coppie binarie, in cui n corpi sono connessi a un unico corpo

Se ho 3 aste che si connettono a una singola cerniera posso pensare di svincolarla e avere una cerniera tra 2

aste e un’asta separata. Se ora penso di unire anche l’asta separata nella cerniera ho che questa può

muoversi relativamente alle altre 2. Di fatto è come se aggiungessi un'altra cerniera.

MOBILITA IN CASO DI VINCOLI SOVRABBONDANTI: Se sono presenti vincoli sovrabbondanti (sistema

sovravincolato o internamente iperstatico) si può scrivere, nel caso generale:

ESEMPI DI VARI MECCANISMI (della meccanica applicata):

SISTEMA BIELLA MANOVELLA:

L’equazione di Grübler fornisce:

= 3(4 – 1)– 2 ∗ 4 = 1 grado di mobilità

m = 4 numero membri

c1 = 4 numero vincoli di classe 1 di cui:

3 coppie rotoidali e 1 coppia prismatica

QUADRILATERO ARTICOLATO:

L’equazione di Grübler fornisce:

= 3(4 – 1)– 2 ∗ 4 = 1 grado di mobilità

m = 4 numero membri

→

c1 = 4 numero vincoli di classe 1, in questo caso 4 coppie

rotoidali

MECCANISMO CAMMA PIANA:

L’equazione di Grübler fornisce:

= 3(3 – 1)– 2 ∗ 2 – 1 = 1 grado di mobilità

m = 3 numero membri

→

c1 = 2 1 coppia rotoidale tra 1 e 2 ,1 coppia prismatica tra 3 e 1

→

c2 = 1 1 coppia di tipo camma piana tra il cedente 3

e la camma 2 (2 gradi di libertà nel moto

relativo: la camma può ruotare e strisciare)

Il vincolo di camma piana per definizione vincola i due corpi in contatto a non staccarsi, cioè vincola la

traslazione dei due corpi a contatto. Attenzione i corpi non sono vincolati al rotolare, ma strisciano

relativamente. Se fossero vincolati a rotolare non avremo gradi di libertà.

MODIFICA DEL MECCANISMO A CAMMA PIANA:

L’equazione di Grübler fornisce:

= 3(4 – 1)– 2 ∗ 4 = 1 grado di mobilità

m = 4 numero membri

→

c1 = 4 1 coppia rotoidale tra 1 e 2, 1 coppia prismatica tra 3 e 1,

1 coppia di puro rotolamento tra la camma 2 e la rotella 4,

1 coppia rotoidale tra 4 e 3

Qui ho aggiunto un corpo e ho inserito pero nel collegamento tra corpo 2 e 4 un vincolo che NON è quello

di camma piana, ma è un vincolo di puro rotolamento, quindi i corpi 2 e 4 non possono strisciare tra loro. Se

lasciassi ilvincolo di camma piana avrei un meccanismo con 2gdl, che sono la rotazione del corpo 2 e la

quella del corpo 4 che può quindi essere orientato come desidero.

PENTALATERO ARTICOLATO:

L’equazione di Grübler fornisce:

= 3(5 – 1)– 2 ∗ 5 = 2 grado di mobilità

→

numero membri c1 = 5 coppie rotoidali tra i vari

membri compreso il telaio

Per gestire il pentalatero ho quindi bisogno di 2 motori, va ricordato che posso posizionarli dove preferisco

teoricamente, ma in pratica scegliamo sempre di legarli a telaio, perche dinamicamente i motori hanno una

massa e quindi una forza peso. Posso comunque esserci casi particolari.

Possiamo immaginare che vogliamo controllare il punto della cerniera tra i corpi 3 e 4, per scopi industriali,

posso cioè muovere il punto nelle coordiante x e y come preferisco. Posso lasciare i motori a telaio perche

ho una cinematica a catena chiusa, se avessi un braccio robotico (catena aperta) dovrei posizionare i motori

sulle coppie rotoidali.

ARCO A TRE CERNIERE: (STRUTTURA ISOSTATICA)

L’equazione di Grübler fornisce:

= 3(3 – 1)– 2 ∗ 3 = 0 grado di mobilità

m = 3 numero membri

c1 = 3 coppie rotoidali tra i vari membri compreso il telaio

L’arco a tre cerniere è una struttura isostatica fintanto che le cerniere non sono allineate, in quel caso vado

a renderla labile.

MECCANISMO IPERSTATICO:

L’equazione di Grübler fornisce:

= 3(4 – 1)– 2 ∗ 5 = – 1 grado di mobilità

m = 4 numero membri

c1 = 5 coppie rotoidali tra i vari membri compreso il telaio

tenendo in considerazione due volte la coppia rotoidale tra le

aste 2, 3 e 4

L’asta 4 vediamo che non ha alcuno scopo, visto che senza di essa comunque la struttura non può

muoversi. Va quindi a generare un vincolo iperstatico.

VINCOLI VIRTUALI:

L’equazione di Grübler fornisce:

= 3(5 – 1)– 2 ∗ 6 = 0 grado di mobilità

→

I gdl sono errati il meccanismo ha 1gdl

m = 5 numero membri

c1 = 4 4 coppie rotoidali 2 coppie prismatiche

L’aggiunta di un’asta 5 di lunghezza l/2 incernierata in M ed in O non cambia quindi il comportamento

funzionale del meccanismo: tale asta impone infatti ad M di percorrere la stessa circonferenza di cui sopra;

in presenza di un vincolo apparente o ridondante come questo non vale l’equazione di struttura per il

calcolo dei g.d.l. L’asta incernierata al centro di da quindi un vincolo mal posto, non va realmente a

vincolare il meccanismo.

L’equazione di Grübler fornisce:

= 3(4 – 1)– 2 ∗ 4 = 1 grado di mobilità

Meccanismo con 1 gdl

m = 4 numero membri