Progettazione Funzionale

ANALISI DI POSIZIONE

• analisi diretta

Quando parliamo di analisi diretta dobbiamo prima di tutto definire le variabili in gioco, se ad

esempio abbiamo a che fare con un giunto rotoidale (cerniera) esiste una rotazione relativa tra i



due corpi descritta di un angolo (q = [gradi o radianti]) invece con i giunti prismatici avremmo

i i

una distanza relativa tra i due corpo (q = d [millimetri o metri]).

i i

terna di riferimento all’altra, se c’è

Quando passiamo da una applicando la matrice omogenea T,

solo un unico giunto di collegamento tra un corpo ed un altro mi aspetto che ci sia un solo termine

variabile all’interno di quella matrice che è esattamente quella del giunto. 2

Data Materia Autore

07/10/2019 Progettazione funzionale Vissani Nicola

Titolo

Analisi cinematica: modello cinematico ed analisi delle posizioni

una matrice omogenea è costituita da un’unica variabile che corrisponde al grado

In sostanza di

libertà del giunto; questo è vero però per tutti i passaggi nei corpi nella catena cinematica e quindi

dovrò comporre il passaggio dalla base al terminale, ricordiamo ancora una volta che è importante

capire il percorso che stiamo facendo.

Nell’analisi diretta passiamo per la meccanica del corpo avendo bisogno quindi di informazioni su

ogni corpo ed ogni giunto ed ottenendo:

Se siamo in una catena chiusa la matrice T si riduce alla matrice identità poiché alla fine del

nostro studio ritorno a telaio, dunque, ad esempio nel quadrilatero articolato, avrò un solo g.d.l. e

tutte le altre variabili saranno obbligate dalla cinematica (pentalatero articolato ha 2 g.d.l.)

Ricapitolando il problema cinematico diretto (in termini di posizione) consiste nel determinare la

posizione e l’orientamento del membro terminale del sistema meccanico (o di qualunque altro

punto della struttura) in funzione degli spostamenti (noti) dei giunti. Il problema è risolto calcolando

direttamente la formula precedente, che diventa un prodotto di matrici costanti; pertanto esso, che

è già posto in forma esplicita, è facilmente risolubile e fornisce sempre una sola soluzione nel caso

di strutture seriali. Per strutture parallele la cinematica diretta presenta una complessità maggiore;

tali architetture verranno trattate in una lezione dedicata.

• analisi inversa

Studiare la cinematica inversa significa conoscere la posizione del terminale, o quanto meno vorrei

che il terminale si trovasse in una posizione ben precisa, risalire alle coordinate di giunto che mi

permetterebbero di ottenere quella posizione, che è esattamente il problema inverso.

L’equazione che ottengo sarà dunque

In questo caso il termine di sinistra è assegnato, mentre occorre calcolare le varie q a partire dalla

i

loro espressione contenuta nel membro di destra; il problema è molto complesso dal punto di vista

numerico.

• formalizzazione del problema “vettore delle

Per formalizzare il problema innanzitutto definiamo un vettore detto

coordinate interne” “vettore dei giunti”,

o questo è un vettore di spostamento

perciò al suo interno troviamo non forzatamente un’unica unità di misura,

generalizzato

poiché i giunti possono essere sia rotazionali (radianti) che traslazionali (metri.

Inoltre questo vettore ha come dimensione il numero di giunti che ha la macchina

essendo formato dalle coordinate di ogni giunto del meccanismo in considerazione.

Lo spazio di tutti i vettori q è chiamato spazio dei giunti ed è uno spazio n-dimensionale (di solito

n vale 5 o più spesso ancora 6).

Quindi è come se questo spazio fosse l’insieme di tutti i range dei giunti infatti ogni vettore q

descrive in realtà una configurazione del manipolatore; tuttavia q viene anche chiamato vettore

posizione nello spazio dei giunti, perché, tramite l’applicazione della cinematica diretta, fornisce

(e dell’orientamento) del terminale del manipolatore in

una espressione alternativa della posizione

tale spazio. 3

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Analisi cinematica: modello cinematico ed analisi delle posizioni

Un po' più complicato è forse lavorare con lo spazio cartesiano, esso è infatti lo spazio

di tutti i vettori, ed è anche chiamato spazio di lavoro o spazio dei compiti ed è

solitamente uno spazio a 6 dimensioni. Il vettore p viene spesso chiamato vettore

posizione nello spazio di lavoro, in quanto consente di esprimere con le prime tre

β γ)

coordinate x, y e z la posizione della terna terminale e con le altre 3 (α, e

l’orientamento di una terna rispetto ad un'altra, perciò l’orientamento dei diversi corpi.

Non è detto però, come accennato poco fa, che debba forzatamente essere di 6

dimensioni; infatti se pensiamo ad una catena cinematica formata esclusivamente da 3

cerniere prismatiche (quindi solo giunti traslazionali) il terminale potrà solamente

α, β γ

spostarsi nelle direzioni x, y e z non potendo però orientare il corpo; perciò i tre angoli e

rimangano sempre costanti; in questo caso lo spazio cartesiano ha 3 componenti.

Nel caso più generale, quindi, si fa riferimento ad un vettore posizione ad “m” componenti (in cui è

sempre m ≤ 6, ad esempio nei sistemi piani m sarebbe al massimo 3).

N.B. gli angoli del vettore p sono scelti in base alla congurazione che noi vogliamo dare, possiamo infatti

decidere di utilizzare gli angoli di Eulero quelli di Tait-bryan ecc.

Attraverso la cinematica diretta, avendo la matrice T ottenuta tramite il prodotto delle singole

matrici di trasformazione posso trovare la trasformazione complesa dalla quale estrarre le 6

coordinate del vettore p così da poter risalire alla posizione del dei diversi corpi della macchina

data una certa configurazione.

Il problema cinematico diretto quindi può essere pensato nei termini della seguente applicazione

non-lineari:

Queste sono difficili da trattare però conoscendo le diverse q (da q a q ) posso facilmente

1 n

ricavarmi T inserendo queste ultime all’interno delle equazioni precedentemente scritte.

ϕ

Chiameremo una funzione di un sistema di equazioni non lineari che mettono in relazione lo

spazio dei giunti con lo spazio cartesiano.

Utilizzando invece, il problema cinematico inverso dovremmo invertire la precedente applicazione

non-lineare per ottenere:

L’inversione di tale relazione per manipolatori seriali comporta vari problemi e non è calcolabile

esplicitamente se non per casi particolari: si tratta, in definitiva, delle difficoltà tipiche della

risoluzione di sistemi di equazioni non lineari (in questo caso trascendenti), durante questo corso

di studi si useranno quindi anche programmi di calcolo, come Matlab, per ottenere delle soluzioni a

tali equazioni. 4

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Analisi cinematica: modello cinematico ed analisi delle posizioni

• esistenza delle soluzioni nella cinematica diretta ed inversa

Il problema cinematico diretto ammette sempre soluzione, ed in particolare, abbiamo sempre

soluzione unica, anche se da un punto di vista analitico avremo sempre una duplice soluzione, la

configurazione dell’oggetto comunque nello spazio è sempre una.

Nel problema inverso invece dobbiamo capire se la soluzione esiste, e se dovesse esistere,

quante soluzioni ha; a differenza del caso diretto infatti in cui una soluzione esiste sempre, nello

cinematica inversa, per manipolatori seriali, non è sempre garantita l’esistenza della

studio della

soluzione: in particolare ciò si verifica (a parte casi specifici) se il manipolatore non ha un numero

di assi almeno pari al numero di gradi di libertà richiesti al compito, ovvero se: n < m, basti pensare

al caso in cui avessimo 3 cerniere muovendoci in un solo piano non sarebbe permesso al nostro

corpo di uscire da quest’ultimo.

anche nel caso: n ≥ m il problema può risultare

Tuttavia impossibile; difatti bisogna osservare che

disporre di “n” assi non significa necessariamente che il membro terminale possegga “n” gradi di

“sole”

libertà (si pensi al caso di 6 coppie prismatiche: è evidente che il terminale del manipolatore

mantiene sempre un orientamento costante)

Altro aspetto importante è capire lo spazio di lavoro in cui si muove la macchina; infatti anche nel

caso in cui le “n” coppie elementari siano disposte sulla catena cinematica in modo tale da dotarla

di “n” gradi di libertà, alcune porzioni dello spazio tridimensionale possono risultare fuori portata

per il robot (per es. nel caso di sole coppie rotoidali, è evidente che non potranno mai essere

raggiunti i punti al di fuori di una sfera di raggio sufficientemente elevato).

Viene chiamato spazio di lavoro primario (reachable workspace o spazio di lavoro raggiungibile)

l’insieme dei punti dello spazio raggiungibili dal manipolatore e spazio di lavoro secondario

(dextrous workspace o spazio di lavoro destro) l’insieme dei punti in cui il manipolatore può

arrivare assumendo qualsiasi orientamento, quest’ultimo risulta migliore rispetto al primario ed è

“spazio

anche chiamato destro”.

Queste sono delle definizioni applicate più che altro nelle macchine industriali.

Prima di tutto ciò però devo capire la geometria del mio spazio di lavoro, poiché una volta

ottenuta tale informazione, osso posizionare il mio robot all’interno di questa stazione per fargli

svolgere dei compiti, dobbiamo però notare che la geometria dello spazio di lavoro non è

determinata esclusivamente dalla topologia (tipo di giunti che ha la macchina) della catena e dalle

dimensioni geometriche dei membri, ma anche dalle limitazioni di mobilità dei vari giunti. 5

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• soluzioni multiple

Solitamente il problema cinematico inverso per manipolatori seriali ammette soluzioni multiple,

infatti assegnata una posizione dell’oggetto da prendere posso avere diverse posizione della

macchina che mi permettono di arrivare ad esso.

Tale problema è spesso indicato con il nome di analisi delle configurazioni in quanto occorre

valutare quale delle soluzioni ammissibili (ognuna delle quali corrisponde ad una differente

configurazione del robot nello spazio) sia più adatta allo svolgimento del compito assegnato. Per

esempio il più generico robot a 6 assi composto da sole coppie rotoidali ammette fino ad un

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