Scritto progettazione funzionale

Esercitazioni Esame del 06/09/18

Per il sistema illustrato in figura si determini la legge del moto delle due aste, assumendo che all'istante t=0 le due aste con ferme, l'asta A è ruotata di 10 gradi rispetto l'asta B è orizzontale.

E_y del modellare:

J_A * θ_A = J_B * I⊂y_B

E_z del modellare:

k = 300 N/m

l = 0.5 m; n = 40

Se un sistema lineare, deteriore una matrice d'inerzia N e una matrice dei rigido denora e tenendo delle aste lo schema conmente restituire direttore delle leg, del moto opinoi somniciestro dei reple edit nell'infressere

E_x:

►

• -k₁y₁ + k₃(y₂-y₁) + f₂(t) = m₁ ÿ₁
• -k₃(y₂-y₁) - k₂y₂ + f₂(t) = m₂ ÿ₂

• ( m₁ ÿ₁ + ( k₁ + k₂)y₁ - k₃y_{2> = f1(t)}
• ( m₃ ÿ₂ + k₂y₂ + ( k₂ + k₃)y₃ = f₂(t)

[m₁₁ m₁₂]'[ÿ₁]' [k₁₁ k₁₀][y₁] = [f₁(t)]

[m₁₁ m₂₂] [0][m₃ s₃ y₃]-k₃f₁₃[y₂] [f₃(t)]

θ_A = Θ_A + θ₀ (W₁t + φ₁)

θ_B = Θ_B + θ₀ (W₁t + φ₁)

-J_AW₁² + θ_A'' = n_Ak²

-θ_B'' + θ_A''k² = n_Bk²

ω⁴[-A_BW₀²t] + [R₃](-θ₀t) + [k]⁴

-θ_At - [θ_A] = [⁰₀]

w₁ = 4500 → n₁ / 1

w₂ = 1000 → n₂ / 3

I_B2t = k² θ_Bt - θ_B

I_B2t = gamma θ_Bt

Nota bene: gamma diverso e θ sostituito: nulla contenuta.

P₂ = 0 → Φ_Bf = 0

1/β₀² = 0.5

I_A(0) - θ_A = θ_A + θ_B

N_A = θ_A + θ_A

θ_At = 10A_T

λ = θA - θBo

Riordina che t = 0

f₁ = f₂ = 0 poiché cos(w₁t + Φ₀) = cos(φ)

ESERCIZIONE

questo t₃ sempre positivo

P_b non vincente

Key

1. Punti critici Q1 → 3 Equazioni (equilibro); 7 Vincoli → 2 G.d.L.

Risoluzione Errori → Diagramma corpo libero

1^st Definizione

a. Diagramma corpo libero (momentum per la vita):

P_a → ₂, ₁, v&sub2;i = ₃ → ₂ P₃ → m₂ (₃ L⁰)> (Q

3 v&sub2;

• Con fermata i
• Q(sotto)sarà resa → su chi → y e quindi x
• Guardando U^ü e sommando credito ↔ Δ
• Va a dipenderci quindi di eventuali quantità apparenti

Fissiamo il sistema della leva

U_m t_i+ keh Inoltre Ul varo zero allora dovrà competere →

−key − Doppio −

1. Definisci il lavoro quindi
2. Valore bilanciamento

B1

• J_s = 1^st M solar Tensione Termica
• Conversione cal

1. Conclusione: Matrice di trazione
2. Disturbo perturbante sistematico
3. Equilibrio del sistema repressivo

Expl. del Moto VIBRAZIONI

ESAME 26/1/18

Per il sistema illustrato in fig. sono noti:

• k₁ = 0.9 k₂ m
• m = 0.1 kg
• R = 200 mm
• l₁ = 50 mm
• k₂ = 6 kN/m
• ω_n = 76,6 Hz = 90 π rad/s

Si supponga che la molla m si muova solo in direzione verticale (non ruota) e il dato Δl_min.

• La frequenza della molla k₁ definisce una frequenza naturale pari a 76,6 Hz
• Il parametro modulo per le vibrazioni libere
• Un rapporto forzato del sistema quando sulla massa m viene una F = 10 N e f = 300 Hz

1. Eq. del Moto Libero Vincolo 3D per l’asse

m ¨x = - (k₁ + k₂) x + l₂ R Oⁿ + ξ_t o

Sξ = k₁ R x c_ξ x - k₁ l₂ ξ_t x

Eq. diff. delle dinamiche del sistema:

L’equazione passa lo zero assoluto

Esercizio d'oscillazione.

Risolvendo che θ=45^o torniamo alle eq. del moto

con proietti x e y:

(m + m₁) (lθ)² = m₁ v_t² + m₁v_r²

0 = R_o - l'(m + m₁)g

R_o = (m + m₁)l θ² + (m + m₁)g

F = -₂/₃ (m + m₁)l θ² + (m + m₁)g

Sostituendo nella terza scritta: l θ_o = (m + m₁)gl θ = (m + m₁)(₃/₂)

[etc](m + m₁)][l θ^o] + (m + m₁)gl θ = 0

w_n = √(_mg/_l) . w_n = 1,4184^rad/ ₁

T = ₈/_wn = 4,4971

Progettazione funzionale

Corso di laurea magistrale in Ingegneria Meccanica

A.A. 2018/19

Appello n° 2 del 20/2/19

Quesito

Una trave di sezione circolare è vincolata mediante un incastro all'estremità sinistra e mediante un appoggio cedevole (schematizzato tramite una molla di costante k₁) nel punto intermedio. Una massa di valore pari a m₁ è fissata a metà della lunghezza, mentre una seconda massa, di valore pari a m₂, è fissata all'estremo destro, mediante un supporto elastico di rigidezza k₂. Nell'ipotesi che la massa propria della trave risulti trascurabile, si chiede di calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni, essionali del sistema.

Dati

• Masse   m₁ = 25 kg   m₂ = 15 kg
• Rigidezza della molla . . . k₁ = 32 kN/m   k₂ = 28 kN/m
• Modulo di Young dell'acciaio . E = 206 kN/mm²
• Semi lunghezza della trave   l = 400 mm
• Diametro della sezione della trave   d = 12 mm

ẋ = - l₁ s₁ θ̇₁ - l₂ s₁₂ (θ̇₁ + θ̇₂)

ẏ = l₁c₁ θ̇₁ + l₂ c₁₂ (θ̇₁ + θ̇₂)

Jacobiano inverso: dato ẋ e ẏ

⎡ẋ⎤ = ⎡-l₁ s₁ l₂ s₁₂⎤ ⎡θ̇₁⎤

⎣ẏ⎦ = ⎣l₁ c₁ l₂ c₁₂⎦ ⎣θ̇₂⎦

Matrice Jacobiano:

l₁ c₁ s_θ1 - l₂ s_2c2

s_θ - 0 0 0 c c

1. θ₁
2. θ₂ = θ
3. θ

Se il Jacobiano singolare se det[J] = 0

l₁ l₂ s₂ + l₂ l₃ s₂ + l₃ c₃ θ = 0

s_θ = 0 p s o c

c θ = π

Singolarità quando 3 momenti se allineano.

Se J singulare non posso interverrtirlo

ẋ = - (l₁ + l₂) s₁ θ̇₁ - l₃ s₃ θ̇₂

y = (l₁ + l₂) c₁ θ + l₃ c₃ θ₃

⎡x⎤ = ⎡(l₁ + l₂)c₁ + l₃ c₃⎤ ⎡s₁⎤

⎣y⎦ = ⎣(l₁ + l₂)c₂ + l₃ c⎦ ⎣c₃⎦

La singolarità sono un problema anche nel loro intorno.

- l₁ s₁ θ̇₁ - l₂ s_{2c2 θ1 + l3 s3 θ1 ➝ ẋ}

l₁ c₁ θ̇ + l₃c₁₂ θ̇₁ + l ₂ c₂₀ 2 ➝ ẏ