Appunti Progettazione funzionale

Prendiamo in considerazione un volano, di inerzia collegato a telaio tramite un albero soggetto a torsione

):

(di rigidezza torsionale ̈

− =

̈ + = 0.

che in forma canonica fornisce: Tale equazione ammette una soluzione del tipo:

() = Θ( + )

Θ

dove e sono costanti di integrazione.

=

La rigidezza torsionale vale , dove = momento quadratico polare di area. Nel caso di albero

circolare, con diametro si ha:

4 4 2

√

= = =

32 32 2 4

2

Poiché il sistema è caratterizzato da gdl (le rotazioni dei volani e ) si avrà un sistema di due equazioni.

1 2

Dall’equilibrio dinamico dei singoli volani si ottiene: ̈

( )

− − − =

1 1 2 1 2 1 1

{ ̈

( )

− − =

2 2 1 2 2

che può essere riarrangiata nella seguente forma:

̈ ̈

( )

+ + − = 0 0 + − 0

1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1

][ ] + =

{ [ [ ][ ] [ ]

0

̈ ̈

− 0

− + = 0 2 2

2 2

2 2 2 1 2 2 2

Si cercano soluzioni armoniche del tipo: ()

= Θ ( + )

1 1

{ ()

= Θ ( + )

2 2

che sostituite nelle equazioni della dinamica, forniscono:

2

( + ) − − Θ 0

1 2 1 2 1 =

[ ] [ ] [ ]

Θ

2 0

− − 2

2 2 2

Imporre che il sistema abbia soluzione non banale significa cercare le condizioni che annullino il determinante

della matrice: 2

( + ) − −

1 2 1 2 4 2

)

|=0 Δ( = − [ + ( + )] + = 0

| 1 2 1 2 2 1 2 1 2

2

− −

2 2 2 equazione caratteristica (o equazione delle frequenze)

Se i due volani sono entrambi collegati a telaio, come mostrato in figura, si ha il nuovo sistema di equazioni:

̈

( )

− + − =

1 1 2 2 1 1 1

{ ̈

( )

− − − =

2 2 1 3 2 2 2

Segue che: = +

̈ 11 1 2

+ − = 0

1 1 11 1 12 2 = +

{ {

dove 22 2 3

̈

+ + = 0

2 2 21 1 22 2 = = −

12 21 2

Si cerchi anche in questo caso di soddisfare il sistema di equazioni ponendo:

2

()

= Θ ( + ) ( − )Θ + Θ = 0

1 1 11 1 1 12 2

{ { 2

()

= Θ ( + ) ( )Θ

Θ + − = 0

2 2 21 1 22 2 2

Θ Θ

Dove si richiede di determinare le due incognite e ; esistono soluzioni diverse della banale se il sistema

1 2

diviene indeterminato, ovvero se: 2

4 2

) ( )

Δ( = − + + − = 0

1 2 1 22 2 11 11 22 12 2

Il discriminante è sempre positivo, per cui tale equazione ammette sempre due radici reali e distinte e

1

2

; inoltre, poiché tali radici sono sempre positive, l’equazione delle frequenze fornisce sempre due valori

2

reali per e :

1 2

Il sistema algebrico di partenza consente di determinare il solo valore del rapporto tra le ampiezze di

oscillazione, ottenendo una soluzione per ciascuna delle frequenze sopra determinate:

Pertanto, l’integrale generale del sistema di equazioni differenziali è fornito dalle seguenti funzioni:

Θ , Θ , ,

dove le costanti arbitrarie vanno determinate in base alle condizioni iniziali. Coerentemente

11 12 1 2

con quanto mostrato precedentemente, gli autovettori forniscono solo il comportamento qualitativo

(modale) legato agli autovalori (frequenze/pulsazioni naturali proprie). Per determinare il comportamento

anche da un punto di vista quantitativo è necessario imporre le condizioni iniziale e determinare le costanti

arbitrarie. Θ = 0, Θ = 0,

Se le condizioni iniziali sono tali per cui oppure le oscillazioni sono sinusoidali e i 2 volani

11 12

oscillano con la stessa pulsazione: sono i modi principali o modi naturali di oscillazione del sistema e le

corrispondenti pulsazioni vengono anch’esse chiamate pulsazioni principali (o naturali).

Il moto dei volani risulta nel caso generale da una combinazione lineare dei modi principali.

= = = = = ;

Si consideri il caso in cui e ne segue che:

1 2 1 2 3

= 2 = 2 = = −

11 22 12 21

2 4 2 2

)

Δ( = − 4 + 3 = 0,

L’equazione delle frequenze diventa: che ha radici:

2

I corrispondenti rapporti tra le ampiezze di oscillazione valgono:

2− 2−3

Θ Θ

21 22

= = 1 = = = −1 =

1 2

Θ − Θ −

11 12

Assumendo arbitrariamente unitaria la prima componente del modo, si ottengono le seguenti espressioni:

Θ Θ

1 1

11 12

Θ = = Θ = =

[ ] [ ] [ ] [ ]

1 2

Θ Θ

1 −1

21 22

Negli studi presentati in precedenza, il rotore, inteso come albero al quale è collegato

solidalmente un corpo (rotore) di geometria generica, è stato sempre considerato

come perfettamente rigido. In alcune applicazioni meccaniche è però necessario

considerare la flessibilità dell’albero su cui è calettato il rotore.

Ciò avviene ad esempio se l’albero è snello e subisce una deformazione non

trascurabile sotto l’effetto delle forze dovute allo squilibrio del rotore.

Si consideri un disco circolare, montato nella mezzeria di un albero flessibile, di cui si trascura la massa. Il

rotore è squilibrato staticamente, quindi la distanza del baricentro dal centro del disco è pari

). ,

all’eccentricità (qui chiamata Il centro del disco coincide con in condizioni di equilibrio statico, ovvero

quando l’albero è indeformato.

,

Il vettore indica la posizione del punto mentre il vettore indica la

; = + .

posizione di si ha quindi

Si consideri il vettore in rotazione sincrona con il rotore, ovvero con

.

velocità angolare L’angolo rappresenta lo sfasamento tra la rotazione

.

del rotore e la rotazione del vettore

L’accelerazione di vale:

2 2

2

+ ̈ −

(

̈ = + ) = =

[ ] [ ]

2

+

2 2 ̈ −

−

= [ ],

La forza elastica che tende a riportare in asse il punto può essere espressa come dove k

−

rappresenta la rigidezza dell’albero a flessione. Analogamente, si possono modellare le forze dissipative

−̇

= [ ].

dovute agli attriti ed allo smorzamento interno del materiale −̇

̈ = +

Le equazioni del moto sono date da: , che scomposta lungo gli assi vale:

2

̈ + ̇ + =

{ (*)

2

̈ + ̇ + =

,

In particolare, lo scopo è quello di determinare il modulo di e lo sfasamento in funzione della velocità

.

angolare Si ha: = ( − )

{ (**)

= ( − )

Derivando le (**) e sostituendole nelle (*), si ottiene:

2 2

)(

[( − − ) − ( − )] =

{ (***)

2 2

)(

[( − − ) − ( − )] =

Elevando al quadrato e sommando membro a membro le precedenti equazioni si ottiene:

2

2 2 2 2 2 2

[( ]

) ()

− + = ( ) =

, da cui si può ricavare .

2 2 2

)

√(− +()

Per il calcolo della fase, si consideri la seconda equazione delle (***): essa è valida in ogni istante, quindi si

= 0,

può imporre senza perdita di generalità:

2 2

( )(−) )()

− + cos(−) = 0 −( − + cos() = 0

= = arctan ( )

2 2

− −

Con riferimento alla pulsazione naturale ed al fattore di smorzamento dei sistemi del II ordine si può definire:

√

= =

2√

Quindi la soluzione può essere anche scritta come: La figura mostra l’ampiezza e la fase precedentemente

calcolati in funzione della velocità angolare e al variare

del fattore di smorzamento.

Dall’analisi del grafico si può desumere che:

-l’ampiezza della flessione è nulla per velocità angolare nulla, ha un massimo in corrispondenza della

risonanza, diminuisce asintoticamente fino al valore di al crescere della velocità angolare;

-la velocità angolare per cui si ha risonanza si chiama velocità critica flessionale. In particolare per

valori tendenti a zero dello smorzamento, l’ampiezza della flessione in condizioni di risonanza tende

all’infinito e la velocità critica flessionale coincide con ;

-la fase tende a zero per basse velocità, mentre tende a per velocità molto maggiori di ;

≪ , , ≫

-di conseguenza, per , sono allineati secondo tale ordine, mentre per tali

, , .

punti si dispongono allineati nell’ordine Inoltre, essendo il modulo