Progettazione Assistita da Calcolatore (PAC) - Teoria

Progettazione ad elementi finiti

Gli elementi finiti ci permettono la risoluzione di ma geometrie suddividendoli in elementi di cui si riesce scrivere la formulazione, ogni elemento è caratterizzato da nodi e nella risoluzione dei sistemi vengono usate solo le informazioni di nodi. Tale metodo è usato grazie alle possibilità di sfruttare mesh a passo variabile (studia geometrie curve) ed alla loro semplice formulazione. Primo passo nel metodo elementi finiti è rappresentato dal passaggio da modello fisico (file CAD del componente) a modello matematico: il modello matematico comporta la rappresentazione del componente in interesse al fine di determinarle loro comportamento e nel riprodurre gli effetti sulle parti adiacenti. Nella pratica non è necessario rappresentare fedelmente il fenomeno fisico in coasi e questo può essere approssimato semplificandolo in modo da avere però stessi risposta. Anche per le geometrie passo non rappresentarle del tutto e per l’analisi basta una porzione. Come esempio possiamo considerare la modellazione di una trave a doppia T il quale può essere modellata con elementi 3D, o con elementi shell. La seconda scelta in questo caso risulta più vantaggiosa poiché in fase di di ottimizzazione dello spessore basta variare delle proprietà, mentre se avessi usato l’alta modellazione avresti dovuto cancellare tutto ogni volta. Il passaggio successivo è quello nel modello matematico e il modello discrete è questa completi la trasformazione di un sistema continuo in uno discrete in cui i grandezze sono calcolate in corrispondenza dei nodi. Questo è passaggio in cui si creano gli elementi finiti i parametri da gestire saranno dimensioni e le forme degli elementi per evitare distorsioni e errori di calcolo. Nelle scelte dell’elemento c’è anche la tipologia (monodimensionale, bidimensionale) e la loro formulazione.

• Aste travi tubi
• Solid 3D
• Rinforzo piastre

Quelli rappresentati sono tutti elementi d’ordine con i nodi solo ai vertici altri elementi più complessi hanno nodi anche a metà spigolo. In ma scienze la formulazione e valutare i entità dell’errore che si commette quando vado a rappresentare io ente corpo tramite elementi. Mettiamo in chiaro che scegliendo un elemento scelgo un’approssimazione e quindi ad un risulta diverso rispetto a quello di ottenere con le formule di scienza delle costruzioni. All’interno di singolo elemento avrò sempre

in errore però rimane essere la dimensione dell'elemento e più elementi usiamo più l'errore verrà circoerisotto. Consideriamo ad esempio una trave posta verticalmente incastrata in alto, di cui posso definire energia interna Ui e l'energia derivante dal lavoro dei carichi esterni Ue. Come distribuzione degli spostamenti considero una distribuzione lineare u = c1x. Per risolvere il problema derivie infatti esuirmo Ui più Ue rispetto alluce riconanzi di equivalnenti a zero. in questo modo si trovano gli spostamenti del modello di cui riuscivamo deformazioni e tensioni

δui e vargilio a zero

Ui= , AΕ C₁² L + PC₁L² AE C₁ PC₂ PL

C₁ = -

∫ E du = C₁ PL

dx 2AE 2A

Nelle realtà le tensioni che sarè massima in corrispondenza dell'incastro, andrè a diminuire via via che si scende verso il basso perch'è l'unico carico agenti è il peso della trave. Nella modellazione a elementi finiti, si modella con un solo elemento trovo in valore di δ costante e l'effetto di trave posti al valor medio la trave rim incatro il problema se nell'assunzione iniziale della distribuzione di cariche are visibile non corrette rispetto alle condizioni di vincolo ma, non è detto che all'interno del corpo l'andamento degli spostamenti sia quello ipotizzato. Negli elementi finiti non si vuole cercare le soluzioni corrette bensì, vengono fatti modelli con più elementi. Per questa trave ad esempio, posso decidere di modellarla con sette elementi ciascuno dei quali è caratterizzato dello spostamento lineare vista u = xi X. Ciascuno di essi avrà me tensioni essistenti al suo interno ma globalmente avremo un valore max ed un min che approssimano queielli veri. Nella realtà le soluzioni che si usano negli elementi finiti sono polinomiali (polinomi interpolanti) in quanto i più facili di gestire. Si utilizzano polinomi interpolanti lineari diav. Un elemento del primo ordine mentre se usano polinomio interpolanti di secondo grado avro elemento del secondo ordine. Gli spostamenti e le tensioni però non sono approssimate allo stesso modo. La linea rossa rappresenta soluzione esista mente mentre es quello trovato con gli elementi finiti (3 elementi). Gli spostamenti vengono approssimati meglio rispetto le tensioni con la legge lineare quindi un dimensionamento e resistenza von stabile possibilità d carettr versi più elementi

Il problema si risolve minimizzando il funzionale e quindi derivando il funzionale stesso rispetto

alle magnitudo ci. Poste n tante derivate parziali quante sono le magnitudo otteniamo

∂L/∂c₁ = 0 ∂L/∂c₂ = 0 ... ∂L/∂c_n = 0 sempre un sistema risolubile.

Le funzioni peso devono essere linearmente indipendenti e

polinomi devono essere completi per avere convergenze devono rispettare le condizioni di cantiera.

Il metodo di Ritz può essere applicato a tutti i problemi (anche non lineari) che hanno

forme deboli.

Continuo il modello ... vedere che se in un modello aumenti il numero di elementi aumentano

strettamente anche le nodi e quindi nella formulazione vista in precedenza aumentano

anche ci magnitudo ci, che sono proprio gli spostamenti nodali in un'analisi strutturale. Il numero

delle funzioni peso necessarie diminuisce perchè per trovare le magnitudo devo risolvere un numero

di equazioni pari al numero delle magnitudo. Aumentando ci si rende più forte l'ipotesi secondo

cui l'integrale del residuo nullo equivale proprio al residuo nullo. Con mesh grossolane

si impone ci W debole anche se porta ci ottenedo un errore maggiore. Con mesh

fitte ci tanti elementi quindi molti incognite e funzioni peso si impone un W forte

ferumo che il problema sia risolto in modo quasi esatto

∫(v_i - R dσ = 0 corrispondenza P = 0

forze a lui

mot vec

Matrici di Rigidità

Gli elementi finiti sono un metodo numerico di soluzione in cui un dominio fisico è diviso

regi elementi finiti in ogni elementi vengono definite delle ci algebra e partire da

quelle fisiche ci infine informazioni di tutti gli elementi vengono assemblate. Le nuove

geometrie deve essere tale da definire in modo univoco e non

ambigua (funzione di approssimazione geometria non distorte).

Ci formulazione di ogni elemento viene derivato con il metodo

prima inoltre assoggetto ci finite nel rispetto delle continuità

della soluzione di legli elementi.

Negli elementi esempi di nodi degli elementi della matrice ci algebra evol risolvete

tipici nodi = spostamenti di nodi con essendo relazioni che legano forza ...

spostamenti il tuo metodo (*metodo diretto*) è fattibile solo per elementi monodimensionali

Per gli altri elementi ci sono metodi energetici basati sul principio dei lavori

virtuali od avessimo grandi deformazioni (impatto) cambierà la descrizione della meccanica

del continuo cui ci non sarebbe più applicabile. Quindi un sistema deformabile

Il termine D^TΔu rappresenta le matre di rigidezza delle penalità mentre Q ̅ è il vettore dei termini non omogenei dei vincoli. Anche qui x ̅ come per λ ̅ deve voltori topo grandi di a mi sarebbe frequente i termini di k_i e il νn risolverne il sistema vincolato bensì il vincolo metodo delle penalità direttamente implementabile, v risolto insiemele alle dipendenze linee fe condizioni di vincolo e la formulazione è usata anche per vincoli non lineari, ma impone vincoli in modo esgemplamento

Moltiplicatori di Lagrange

Approccio simile ai precedenti è in si in founzione L(x,y,[...] del sistema non vincolato a cui si aggiunge una quantità ΔG per ottenere la funzione generale Г(x, y). Per trovare il sistema di svolgere si deriva Г

Ω rispetto x, y ed ai corrispondoć=ra moltiplicato di Lagrange:

Π (x,y):= f_xy+ /₁ G_vncol orb

(1)(2)(3)

────────────>0= ∂ll/∂x, =0Π, = 0Π/∂y, =0 Π/∂λ0

Da un punto di vista fisica L indicano le reazioni vincolati il dissibile rompigiti versa m moltiplicato per ogni equazione di vincoli. Tale metodo impone i vincoli in modo esatto e ci consentiti di ottenere in un passo solo la soluzione e le reazioni vincolanti il caso di vincoli lineari questi dovranno il seguente forma (de moltiplicare per per l ed veggisilisce a cero partici timopi e in modo esatto)

e^{vec \inogkte} _{per proseu l' ogni eq vincolane vnesso moltiplicto}

D (a._{g = 0 Imples a T [(D ^u−Q Ł):0}

e^{sist eq vincolati}

Tale quantità viene sommato alla scritture all'energia tabili del sistema non vincolati per ottenere l'energia tabili del sistema vincolati. Successivamente si derine rispetto delle due incognite i, j

∘ i̇ . iK_i K ̅+u̅'F_i . G_i (Ḋ^m * Q )̅=0

∂Π /∂ⲕ

┣ Ku̅=F̅+ ẟ * D:S=0

⟹ \begin{matrix} \\Ḋ ^u −Q =0 \ \end{matrix}

Tale metodo impone vincoli in modo esatto e fornisce dir primentati le reazioni vincolati pure essere generalizato per vincoli non lineari ma aumentar le dimensioni del sistema (+1 dimensione per ogni equazione di vincolato). Un altro problema è che il vettore delle incongiate non è dimensionalmente omogenea poiché ho sete spostamenti ché forze