Appunti di Progettazione Assistita da Calcolatore

Progettazione assistita dal

calcolatore

Introduzione ai software

Per prima cosa introduciamo il software che utilizzeremo durante il corso. Si tratta di Altair

HyperWorks, del quale utilizzeremo HyperMesh per creare il nostro modello e HyperView per

visualizzare i risultati. I solutori che utilizzeremo sono due: OptiStruct è uno dei due e l’altro è

RADIOSS che utilizzeremo durante la parte finale del corso per analisi di impatto.

Di solito avremo in ingresso un CAD e poi ci occuperemo della parte di progettazione assistita

entrando cioè nel rettangolo verde della figura. Nel pre-processing che viene fatto con il software

HyperMesh creeremo la mesh, cioè creeremo il modello ad elementi finiti che comprende gli

elementi più le condizioni al contorno, cioè vincoli e carichi, e poi imposteremo l’analisi; nella

sezione run ci sarà il solutore che può essere interno od esterno a seconda del software; infine

abbiamo il post-processing che faremo con HyperView.

Qui non si fa riferimento al nome dei software perché HyperMesh è da lungo tempo il software più

aperto in termine di importazione ed esportazione dei modelli, cioè accetta input grafici, ma

accetta anche input di modelli preparati con altri software, premette di lavorarci sopra e di

riesportarli in altri software. Questo perché tutta la suite HyperWorks è nata intorno ad

HyperMesh: mentre altri si dedicavano di più al solutore HyperWorks ha sviluppato questo

modulo di pre-processing che ha incontrato molto il plauso delle industrie il quale lo ha fatto

diventare così diffuso, e intorno a questo poi hanno cominciato a fare solutori e quant’altro.

I solutori di HyperWorks, OptiStruct e RADIOSS, non sono i migliori ma si utilizzano perché sono

gratuiti e inoltre la struttura del file del modello, che è un file di testo, è analoga a quella di molti

altri software. Perciò quello che impareremo sul modello quando viene esportato per la soluzione

è valido per tanti altri software.

Fare il pre-processing vuol dire passare dal modello geometrico al modello ad elementi finiti, come

si vede nella figura in basso.

L’esempio riportato è molto semplice perché non si hanno modifiche della geometria, cioè la

geometria che abbiamo la si usa così com’è, anche se non sarà sempre così.

In HyperView o in HyperGraph (quest’ultimo verrà usato solo per una cosa specifica) avremo la

possibilità di visualizzare il risultato tramite delle mappe colorate.

HyperMesh, diversamente da altri software come ANSYS, non ha un sistema di unità di misura al

suo interno, cioè lavora solo con dei numeri, perciò dobbiamo essere noi a lavorare con un sistema

di unità di misura congruenti, ad esempio il sistema internazionale. Quindi ogni grandezza che

inseriamo dobbiamo sapere che grandezza è e in quale unità di misura viene inserita. Vuol dire che

se stiamo mettendo ad esempio una massa

associata ad un punto, e stiamo usando il

sistema internazionale, avremo la massa

espressa in kilogrammi; cioè se sappiamo

che la massa che vogliamo inserire è 20 kg

allora mettiamo 20. Se invece stiamo

utilizzando il sistema di unità di misura in cui

le lunghezze sono espresse in millimetri, la

massa in tonnellate, il tempo in secondi, le

forze in Newton, le pressioni o le tensioni in

MegaPascal, allora non possiamo mettere

20, ma dobbiamo mettere 0.02 (20/1000),

che sarebbero 20 kg espressi in tonnellate.

Se mettessimo ugualmente 20 vorrebbe dire che stiamo mettendo 20 tonnellate. Il sistema in cui

le lunghezze sono espresse in millimetri è quello più utilizzato perché ci dà in output le tensioni in

2

MegaPascal, cioè Newton/millimetro . Utilizzando invece il sistema internazionale avremo le

tensioni in Pascal.

Concetti generali degli elementi finiti

Il modello in figura è la rappresentazione

ad elementi finiti della porzione di un

collegamento tra un recipiente in

pressione, un tappo di chiusura e una

guarnizione. Si vede che il recipiente non è

stato rappresentato completamente: la

periodicità in direzione circonferenziale è

stata sfruttata per ridurre le dimensioni del

modello, perciò il modello matematico è

una porzione della realtà fisica che è il

recipiente. I fori sono approssimati come se

fossero esagonali. Per la vite abbiamo una

raggera che simula il dado, una raggera che

simula la testa della vite, e un elemento

lineare che è il gambo della vite. Le due

raggere son due elementi rigidi (in

HyperMesh si chiamano proprio rigids).

Quando si realizza un accoppiamento

filettato si deve garantire che la vite sia

sempre in trazione; se così non fosse

vorrebbe dire che o il dado o la testa della

vite non sono in contatto con i pezzi da unire. L’approssimazione che facciamo passando dalla

realtà fisica al modello matematico sta nel fatto che nel modello abbiamo utilizzato dei rigids,

quindi il vincolo creato non è unilatero e dunque non è rappresentativo della realtà: i due rigids

non si comportano come si comporta nella realtà il sistema fisico. Questa approssimazione però

può andar bene perché stiamo simulando un recipiente in pressione, quindi il sistema di carichi

farà sì che, al di là del precarico iniziale, sul bullone si vada ad aggiungere un carico, il che significa

che il bullone non andrà a scaricarsi (la pressione agente sul tappo genera un carico su esso che

viene trasmesso al bullone; questo carico e il precarico iniziale tendono entrambi a mandare in

trazione il bullone). Perciò, anche se la rappresentazione che abbiamo fatto del bullone in linea di

principio non è fedele a tutti i modi di funzionare del bullone, in questo caso specifico non si

verificherà il distacco del dado o della testa della vite dai pezzi. Questa rappresentazione quindi va

bene perché non ci sarà mai distacco, quindi invece di complicare il modello per renderlo fedele al

funzionamento fisico tanto vale fare un’analisi lineare con un vincolo bilatero.

In sostanza non è necessario rappresentare fedelmente il fenomeno fisico al 100% se questo

fenomeno può essere approssimato per renderlo più semplice in modo da avere però la stessa

risposta. Lo stesso vale per la geometria: non è necessario rappresentare tutta la geometria del

sistema fisico se per l’analisi ne basta una porzione.

Nella figura seguente abbiamo un esempio ancora più semplice, cioè una trave a doppia T

incastrata e caricata di punta con una forza di 100 N che la porta a flessione. Abbiamo due modelli

agli elementi finiti, uno è fatto con elementi 3D (quello verde), mentre l’altro è fatto con elementi

piastra (quello blu).

La modellazione con elementi piastra è lecita farla perché lo spessore è piccolo rispetto alle altre

dimensioni.

Il modello con elementi piastra è comodo e ciò lo si vede con un esempio: supponiamo di voler

fare un’ottimizzazione dello spessore della sezione della trave. Con gli elementi piastra per

cambiare lo spessore basta modificare il suo valore all’interno delle proprietà, mentre con il

modello ad elementi solidi è necessario cancellare tutto, modificare la geometria, rifare la mesh,

riapplicare i carichi e i vincoli e così via. Quindi entrambi i modelli ci danno una risposta simile per

quanto riguarda la soluzione, ma con elementi piastra abbiamo dei vantaggi dal punto di vista

operativo.

Un’altra modellazione possibile è con elementi monodimensionali, ma così si perde la

deformazione all’interno della sezione perché questa viene trattata come una sezione rigida: nelle

proprietà vengono assegnate le grandezze caratteristiche come l’area, il momento di inerzia e

quant’altro e con queste viene calcolata la soluzione; in pratica si fa un calcolo analogo a quello

che si fa a scienza delle costruzioni. Con elementi bi o tridimensionali possiamo apprezzare anche

un’eventuale deformazione all’interno della sezione.

Nell’esempio che segue abbiamo una ruota ferroviaria, un modello completamente

assialsimmetrico, perciò possiamo analizzare solo una semisezione del modello (lo possiamo fare

solo se stiamo effettuando l’analisi di un componente, non se dobbiamo realizzare l’analisi di un

sistema).

Questo è un modello con elementi piastra con una formulazione assialsimmetrica. Il vantaggio è

che possiamo realizzare, con poco

dispendio in termini di calcolo, analisi

molto precise dove ci aspettiamo una

concentrazione delle tensioni.

Il passaggio dal modello matematico al

modello discreto consiste nella creazione

degli elementi finiti, e i parametri che si

devono imparare a gestire sono le

dimensioni e la forma degli elementi

finiti per far sì che quando vengono

creati non siano distorti, altrimenti in alcuni casi il solutore si rifiuta di lavorare.

Passando al modello discreto si deve anche scegliere che tipo di elementi utilizzare. Nella scelta

degli elementi non c’è solo la scelta della tipologia (monodimensionali, bidimensionali,

tridimensionali) ma anche la scelta della formulazione.

Quelli rappresentati in figura sono tutti elementi del prim’ordine, con i nodi solo nei vertici. Se

avessimo elementi più complicati avremmo anche nodi a metà spigolo.

L’elemento tetraedrico in alto a destra ha il vantaggio di riuscire ad adattarsi molto bene a

qualsiasi tipo di geometria, ma sbaglia la rigidezza di quasi il 100%, perciò non si usa mai in questa

forma con quattro nodi, ma si usa nella forma più complessa con dieci nodi: quattro nodi ai vertici

più un nodo su ciascuno spigolo in posizione intermedia.

In questo esempio vediamo un modello di partenza da

cui poi è stata generata la mesh. Una prima scelta è

quella presentata nella figura successiva in cui la barra su

cui sono appoggiate le forche è stata modellata con

elementi monodimensionali, e poi sono stati ripristinati i

collegamenti con le due forche.

Con questa modellazione non riusciamo ad ottenere una descrizione dettagliata dell’interazione

tra la barra e le forche, cioè non potendo creare un modello con i contatti non otteniamo la

distribuzione delle pressioni tra la barra e le forche all’interfaccia di collegamento. Sono stati

utilizzati dei rigids per connetter le forche alla barra. In un caso come questo il collegamento

tramite rigids è una scelta quasi obbligata, ma così perdiamo informazioni locali perché, essendo

elementi rigidi, nelle zone in cui abbiamo creato i rigids troveremo tensioni e deformazioni nulle:

dato che i nodi sulla superficie di interfaccia delle forche sono collegati rigidamente al nodo

master che si trova sulla barra, questi mantengono invariate le loro posizioni reciproche, perciò

non abbiamo deformazione e quindi neanche tensioni. In corrispondenza dei rigids molto

probabilmente vedremo un comportamento diverso da quello atteso.

In questa figura vediamo invece una modellazione alternativa, in cui la barra è stata modellata con

elementi tridimensionali ed è stato utilizzato un modello di contatto tra la barra e le forche, sia

nelle zone evidenziate in nero che in quelle evidenziate in giallo.

Elementi finiti tramite esempi

Abbiamo una trave con sezione A appesa in posizione verticale soggetta solo al proprio peso, e la

trattiamo con l’approccio tipico degli elementi finiti. Definiamo un funzionale dove abbiamo

l’energia interna della trave U e l’energia derivante dal lavoro dei

p

carichi esterni V . Per risolvere il problema deriviamo questo

p

funzionale ∏= U +V rispetto all’incognita e poniamo questa

p p

derivata uguale a 0.

Negli elementi finiti si parte sempre ipotizzando una distribuzione

degli spostamenti: nel nostro problema abbiamo definito un’ascissa

verticale discendente con origine nell’incastro, perciò dobbiamo

scegliere una distribuzione degli spostamenti che sia compatibile

con i vincoli. La possibilità più semplice è una distribuzione lineare:

u = c ∙x

1

Potevamo scrivere u = c ∙x + c ma c deve essere uguale a 0 perché

1 2 2

gli spostamenti in corrispondenza dell’incastro devono essere nulli,

quindi per avere una distribuzione di spostamenti compatibili con i

vincoli non ci devono essere termini di ordine zero. Facciamo

un’assunzione di questo genere quando scegliamo un elemento

piuttosto che un altro: ad esempio se scegliamo di utilizzare

elementi tetraedrici abbiamo la possibilità di scegliere tra elementi con quattro nodi e elementi

con dieci nodi. Il numero diverso di nodi si traduce in diverse leggi di spostamento all’interno

dell’elemento.

Gli elementi finiti si basano quindi sull’assunzione che non sappiamo quale è la distribuzione degli

spostamenti nel nostro problema ma la ipotizziamo.

1

= ∫ ∙ ∙

2

Essendo la trave sottoposta a trazione abbiamo che:

= =

= ∙

Per semplicità consideriamo l’area della sezione A costante.

Se mettiamo tutto insieme otteniamo 2

1

( )

= ∫

2

0

Per semplicità consideriamo anche E costante e quindi possiamo portare fuori un AE.

2

( )

= ∫

2

0

Adesso inseriamo la legge degli spostamenti che abbiamo ipotizzato.

12 12

2

= ∫ = [ ] =

1

2 2 0 2

0

c è una costante che però è incognita, quindi nota c e nota la posizione del punto di cui vogliamo

1 1

sapere lo spostamento lungo all’ascissa sapremo lo spostamento in ogni parte del modello.

Andiamo adesso a calcolare V che in generale comprende due contributi, quello delle forze di

p

superficie (forze di superficie per gli spostamenti della superficie integrati su tutta la superficie del

sistema) e quello delle forze di volume (forze di volume per gli spostamenti all’interno del volume

integrati su tutto il volume). = − ∫ ∗ − ∫ ∗

In questo caso le forze di superficie non ci sono e quindi il primo integrale è nullo, b = ρg, perciò

possiamo riscrivere l’integrale così:

= − ∫

0

ρgA lo chiamiamo p e sostituiamo ad u l’espressione in funzione di c , perciò scriviamo:

1

2 2

= − ∫ = [− ] = −

1 1 1

2 2

0 0 2 2

Adesso abbiamo una quantità che è un funzionale pari ad AEc L /2 – pc L /2. In questa quantità

1 1

l’incognita è c perché A e L sono informazioni geometriche del modello, E è l’informazione sul

1

materiale che è fissato e p è la condizione di carico, quindi, se dobbiamo derivare, deriviamo

rispetto all’incognita c che ci permetterà di minimizzare quella quantità. Di conseguenza avremo:

1 2

− = 0 ⇒ =

1 1

2 2

Adesso abbiamo risolto il problema, cioè abbiamo trovato un valore di c e quindi sappiamo gli

1

spostamenti del nostro modello. Ora possiamo ricavarci le deformazioni e le tensioni, infatti du/dx

sarà c che in questo caso è proprio il valore della deformazione in direzione x.

1

= =

1 2

Se poi moltiplichiamo questo valore per E otteniamo il valore della tensione lungo x.

= =

1 2

Quindi abbiamo trovato le grandezze secondarie: abbiamo una tensione costante, una

deformazione costante, e degli spostamenti lineari. Se però abbiamo una situazione di questo tipo

i carichi sono solo il peso proprio e in corrispondenza dell’incastro avremo tutto il peso della trave

pari a LAρg = Lp, perciò la tensione all’incastro sarà:

=

Abbiamo quindi una tensione che è doppia rispetto a quella trovata, ma che è la tensione corretta.

Questo valore poi va a diminuire perché via via che si scende verso il basso sulla sezione che

consideriamo grava il peso di una porzione minore di trave. Se infatti ci trovassimo in

corrispondenza dell’ultima sezione vedremmo che qui la tensione è nulla perché non c’è alcuna

porzione del sistema che grava su questa. Il modello ad elementi finiti dice che invece abbiamo la

stessa tensione su tutta la trave pari a pL/2A, poiché abbiamo fatto un modello con un unico

elemento. Adesso inseriamo alcuni dati relativi alle grandezze geometriche e del materiale della

trave per vedere la differenza tra i due risultati.

La tensione vera ha l’andamento descritto di seguito.

Qui abbiamo il risultato del modello agli elementi finiti

realizzato con un unico elemento, dove i quattro vertici della

trave corrispondono ai quattro nodi dell’elemento. Il

risultato è esattamente quello che troviamo facendo

quell’integrale visto prima. A sinistra in alto abbiamo le

informazioni relative a questo elemento e il 26953

rappresenta la tensione che c’è all’interno della trave

modellata con un solo elemento (all’incirca è proprio la metà

di 53906 che è la tensione massima sulla trave in

corrispondenza dell’incastro trovata invece con le leggi della

scienza delle costruzioni). Il problema sta nell’assunzione

iniziale,