Appunti di Progettazione Assistita da Calcolatore

Formattazione del testo

Bvettore del flusso termico al contorno, {p } è il vettore della convezione al contorno, {p } è ilH Qvettore della generazione di calore. Bisogna fare un'importante osservazione: la matrice di sistema è singolare (cioè mal posta) a meno che non venga specificata una condizione di temperatura, ovvero bisogna "vincolare/incastrare" il problema dal punto di vista termico.

Mappatura e verifica della mesh. Ogni elemento viene sviluppato in una forma ideale, ad esempio se consideriamo un elemento triangolare, un elemento quadrangolare ed un elemento esaedrico le loro forme ideali saranno un quadrato, un triangolo equilatero (e quindi anche equiangolo) e un cubo. Nella figura sottostante abbiamo una formulazione di elementi più complessa da quella che abbiamo di solito: sono elementi del terzo ordine perciò il polinomio interpolante è cubico. La definizione ideale degli elementi (sinistra) esiste sempre in un sistema di riferimento.

localesolidale con l'elemento: l'elemento è descritto matematicamente in un sistema di coordinate locali curvilinee in cui questo ha la sua forma ideale. Nella realtà quando creiamo la mesh prendiamo l'elemento ideale e lo proiettiamo nel sistema di riferimento cartesiano ottenendo la situazione di destra, cioè la forma ideale dell'elemento dopo questa operazione di proiezione è deformata. L'elemento viene posizionato facendo riferimento ai suoi nodi, i quali descrivono la geometria dell'elemento: i nodi vengono posizionati in modo da coprire al meglio la geometria che si vuole analizzare. Questo procedimento è detto mappatura della mesh. Al meshatore non interessa il legame che c'è tra l'elemento nel sistema di riferimento locale (in cui la sua forma è ideale) e l'elemento nel sistema di riferimento cartesiano globale, quindi mappa la geometria in questo modo: se sa che l'elemento che

(gli elementi in forma ideale si possono usare solo in geometrie talmente semplici che a volte non giustificano l'uso degli elementi finiti). Quello che ci interessa è riuscire a stabilire una connessione matematica tra le coordinate locali e le coordinate globali (cartesiane, o sferiche, o cilindriche...). Vedremo che è necessario conoscere le leggi per una conversione corretta tra i sistemi di riferimento locale e globale per poter effettuare i calcoli che ci porteranno a definire le quantità che costituiscono il modello. Se la distorsione dell'elemento è eccessiva possiamo non essere in grado di passare da un sistema di riferimento all'altro o potremmo essere in grado di farlo ma introducendo una quantità significativa di errore.

Le coordinate locali che sono indicate con ξ ed η sono coordinate che si deformano insieme all'elemento. Sono coordinate curvilinee perché se un elemento ha un polinomio interpolante del secondo grado, allora le coordinate locali ξ ed η sono coordinate curvilinee.

ordine o superiore i suoi lati non saranno più rettilinei e il suo spazio sarà non lineare. Peruna corretta mappatura è necessaria una corrispondenza biunivoca tra i sistemi di coordinate, einoltre non si deve avere unicità dovuta ad una distorsione eccessiva.

Di seguito abbiamo un esempio di come si utilizzano le coordinate naturali e come vengonodefinite.

Le coordinate naturali per un elemento quadrangolare vengono definite nel baricentrodell’elemento e vediamo che i due lati vengono definiti in corrispondenza di certi valori di questecoordinate, in questo caso in corrispondenza di +1 e -1 per entrambe le coordinate quindil’elemento quadrangolare nel sistema di riferimento delle coordinate naturali è un quadrato dilato 2. Le coordinate vengono definite con le formule in figura, cioè sono adimensionalizzaterispetto alla dimensione dei lati del rettangolo. Utilizzando le coordinate naturali si definiscono lefunzioni di forma.

L'elemento visto adesso fa parte della classe degli elementi serendipity, di cui ne sono riportati un po' di seguito. Questi elementi hanno un numero minimo di nodi per poter ottenere un polinomio completo di un grado specificato; fino al terzo grado non hanno nodi interni. L'espressione delle funzioni di forma per l'elemento lineare quadrangolare visto è il seguente e vale per ogni nodo perché si definisce ξ in quel modo:

0

Per quanto abbiamo detto finora dobbiamo garantire il passaggio dal sistema di riferimento locale a quello globale e questo è legato alla distorsione dell'elemento. Dal punto di vista del software dietro a questo passaggio c'è quindi il check element che è bene fare prima di lanciare un'analisi. Abbiamo per ora sempre detto che la matrice di rigidezza si integra in dV su tutto il volume V, quindi si è dato per scontato di conoscere il volume dell'elemento, ma nella realtà dei

l’elemento e sono moltiplicate per N ’, N ’,1 2 n 1 2..., N ’ che sono simili alle funzioni di forma, quindi devono essere 1 nel nodo di definizione e 0 inntutti gli altri, e in ogni punto dell’elemento la loro somma deve essere 1, ma possono essere anchedefinite in un modo diverso rispetto alle funzioni di forma. Potremmo avere infatti delle funzioni diforma lineari all’interno dell’elemento ma potremmo avere delle N ’ cubiche. Questo fa sì che la xidi un generico punto è uguale al vettore delle pseudo-funzioni di forma per il vettore delle ascissenodali; lo stesso vale anche per y e z. x, y, z sono note perché sono le coordinate nodali che hacreato il meshatore e le N ’ sono le pseudo-funzioni di forma le quali come le funzioni di formaisaranno definite nel sistema di riferimento locale, perciò N’ = N’(ξ, η, ζ) in un sistema diriferimento locale tridimensionale. Quindi le

Le coordinate globali di un generico punto sono date dal prodotto delle coordinate nodali globali, che sono note come già detto, e delle pseudo-funzioni di forma, che sono funzioni di ξ, η, ζ. Perciò le coordinate di un generico punto dell'elemento nel sistema di riferimento globale sono funzioni di ξ, η, ζ e dunque abbiamo trovato una relazione tra il sistema di riferimento locale e quello globale tramite le pseudo-funzioni di forma.

Elementi iso/sub/super-parametrici: In generale, se consideriamo un elemento, si usano dei cerchi per definire i nodi (utili alla definizione della geometria) e i quadrati per le incognite. A seconda del numero di quadrati e cerchi si identificano tre diverse tipologie:

1. Elementi iso-parametrici (a) in cui il numero dei quadrati è uguale al numero dei cerchi, perciò gli stessi nodi approssimano la geometria e la soluzione. In questo caso, le pseudo-funzioni di forma N' sono proprio le funzioni di forma.

perché il grado delle funzioni di forma dipende dal numero di nodi, quindi in questo caso se abbiamo un'interpolazione quadratica delle incognite abbiamo un'interpolazione quadratica anche della geometria e quindi i lati del quadrilatero saranno degli archi di parabola;

2. elementi super-parametrici (b) in cui i nodi che approssimano la geometria sono di più di quelli che approssimano la soluzione. In figura abbiamo quattro nodi per quanto riguarda le incognite, quindi dal punto di vista delle incognite l'interpolazione è lineare, ma se guardiamo la forma è uguale all'elemento del caso iso-parametrico (a) perché utilizziamo più nodi per la descrizione della geometria (otto in totale). Perciò in questo modo definiamo la geometria in modo quadratico ma interpoliamo i risultati in modo lineare. Una descrizione quadratica della geometria del modello è critica quando abbiamo raggi di curvatura piccoli, perciò magari

calcolare questi integrali. La generica funzione G può essere legata in un caso alla derivata delle funzioni f e h: