Appunti di Progettazione Assistita dal Calcolatore

Elementi Finiti

Gli elementi finiti sono un metodo numerico di risoluzione problemi al bordo EDP particolarmente usati nella meccanica dei solidi.

• Il continuo (infiniti gradi) viene discretizzato in un insieme ai elementi finiti ma connessi in punti precedentemente definiti, i nodi.
• Il problema differenziale del continuo è ridotto a un problema algebrico che si risolve sui vari intervalli formati dai nodi.
• Le quantità all'interno di ogni singolo elemento sono ricavate mediante opportune funzioni interpolanti i nodi.

Passi Del Metodo:

• Discretizzazione della struttura continua in elementi discreti e definizione delle incognite nei nodi.
• Interpolazione dei valori nodali all'interno di ogni singolo elemento tramite funzioni a polinomio.
• Assemblaggio degli elementi nella struttura intera ottenendo un sistema le cui incognite sono le funzioni nodali.
• Soluzione del sistema sulle incognite nodali, e interpolazione tramite funzioni ai polinomio negli altri punti.

Formulazione FE Monodimensionale

Supponiamo di avere il seguente problema al bordo:

-d/dx [α(x) d/dx ] + c(x) u = f(x)

• x ∈ [0, L]
• u(0) = u₀
• α(x) du/dx | x=L = Q₀

• Supponiamo che valga: f(x) = 0 (=> problema omogeneo)
• α(x) = x, c(x) = 1
• L = 1, u₀ = 1, Q₀ = 0

Cerchiamo una soluzione polinomiale: u_N = ∑_N c_i Φ_i(x) + φ(x)

In cui Φ rappresentano le funzioni ai polinomi mentre i c_i sono gli unknown sui sostemati nodali (incognite).

Posso porre x esempio, per N = 2

• Φ₀ = 1
• Φ₁(x) = x² - x
• Φ₂ = x³/3

Alcuna sostituzione della equazione differenziale produce la soluzione dove derivato = 0 per ogni x osserva un problema indeterminato (in cui non è possibile risolvere il problema a questa forma x dove incongruenzi) e in incognito.

Formulazione debole

Per risolvere il presente problema definiamo il residuo

R = [derivato_xu - f(x)]

Osserva il residuo una soluzione esatta dalla ED risolvono approssimata approssimativa

La soluzione esatta del problema è tale che:

R(x) = 0 ∀x

Alcuna deve valere anche che:

∫w(x)R(x)dx = 0

Infatti se R(x) = 0 allora è sostituita la forma integrale, soprattutto se compiuto la forma integrale è sostituita per ogni w(x) continuo vuoto compiuto, allora la forma integrale deve esser imposimato al excison di un numero finito di punti.

Le funzioni continuo w(x) sono detto funzioni posti

In questo modo siamo passato da una equaz differenziale (del problema detto forma forte) a una integrale il problema detti prossita problema

Il rischio della formulazione debole è quello di diminuire il grado di derivazione dell'ED in modo indecisivo spostando parte dei requisiti di derivabilità sui pesi w(x) nel nostro caso nel contempo funzione deve essere derivabile 2 volte (che implica derivata prima (quando dissa deformazioni interi, contorni)) formano una forma debole (dove osserv derivabile solo una volta). Cas compato in dandolo deformazioni (spian, discontinui).

Quindi per l'elemento e assembl<?>

per la linearità dell'integrale e scrivendo una simmetria

obsserve

(e incogniti)

e quindi

Scegliendo quindi una β bases w: ψ

3) Affinché siano riconoscibili stati a d.o.f. costantele funzioni di forma polinomiali devono essere polinomi completi almenonel 1° ordine

4) Per assicurare l'isotropia monometrica nel polinomio deveavere termini simmetrici in x e y (vedi triangolo di Pascal)

5) Poiché l'ordine di convergenza è o(hⁿ) ossiala più alta di polinomi completi massimi, allora si utilizzanonodi. Inoltre con il grado n,polinomio completo con il minimo numero di nodi.

Le funzioni di forma possono essere standard o gerarchiche

[Standard]: consentono il ricalcolo di tutto lo spostamento aessa collegato quando si innesco le mesh

[Gerarchiche]: non necessitano di ricalcolo completo quando si innesco lemesh

Rigido calcolo rigidezza:

La rigidezza del sistema discreto viene ricavata da quella del continuo medianto una equivalenza energerica tra discreto e continuo.

¹/₂ ∫ E^T dV = ¹/₂ u^T Ku

In continuo energia (sinistra quadrata)

Ma ∫ B^T E B u, E = E B u quindi: ∫ u^T B^T E B dV = u^T K u ⇒

quindi i conosciuti |K| sono:

• Il polinomio interpolatore (B)
• Il materiale (E)
• La geometria dell'elemento (V)

K = ∫ B^T E B dV

In cui gli spostamenti nodali possono essere portati fuori dall'integrale in quanto non dipendono dalla somiglia.

Il generico elemento |K| è la reazione che nasce nel nodo I per effetto di uno spostamento unitario nel nodo J.

Calcolo errore :

Il metodo discreto in procedura

Per calcolare |K| utilizzare funzioni di forma per gli spostamenti e gli integrali, ma causa una discontinuità in spostamenti e deformazioni.

Infatti le funzioni di forma sono di solito C₀ ai nodi, ossia solo continuo, ma non necessariamente derivabile (funzioni di forma di Lagrange)

Eliminazione Master-Slave

Con questo metodo i gradi di libertà sono separati in master e slave e gli slave vengono eliminati e non compaiono nelle equazioni.

Si considera il sistema di equazioni vincolari:

Il metodo ha i seguenti passi:

1. Vengono scritte le equazioni di vincolo per i GDL.
2. Per ognuna delle equazioni di vincolo è scelto un GDL slave, gli altri sono master.

U = TŨ

Dato quindi il sistema originario: KU = f si ha:

(TTKT)Ũ = (TTf)

Parigi vincolato: U = TŨ

Variante

Una variante del metodo consiste nella scrittura delle equazioni di vincolo in forma matriciale partizionata master-slave:

A_ssU_s + A_smU_m = 0

Da cui ricavo:

U_s = -A_ss^-1A_smU_m

DINAMICA LINEARE

Un problema dinamico lineare ha equazioni del tipo:

[M]_{x''} + [C]_{x'} + [K]_{x} = {f}

dove [M] è matrice di massa, [C] matrice di smorzamento [K] è matrice di rigidezza, e {f} forze esterne

• I problemi relativi a dinamica lineare sono:
  • Analisi modale
  • Risposta in frequenza

• Si parla di analisi modale quando si cercano i "modi propri" del sistema, ossia i modi di vibrare in assenza di forzamento esterno.
• Si parla di risposta in frequenza quando si vuole determinare la risposta del sistema soggetta a una forzante esterna armonica.

ANALISI MODALE

Dato un sistema dinamico ( non smorzato, più comune ) del tipo libero:

[M]_{x''} + [K]_{x} = 0

Cerco soluzioni in forma modo oscillano {x} = {X}_o e^iwt

Ottenego una equazione agli autovettori:

(-ω²[M] + [K]){X}_o = 0

Affinchè si abbiano soluzioni {X}_o ≠ 0 devono osservare

det(-ω²[M] +[K]) = 0

dove ω² sono gli autovalori associati a autovettore e detti modi propri

La matrice dei modi propri Ѱ diagonalizza [M] e [K]:

• Ѱ^T[M]Ѱ = [M]_d
• Ѱ^T[K]Ѱ = [K]_d

=> e risulta ω_j

identiciando anche costante di moltiplicativa