Appunti di Progettazione Assistita dal Calcolatore

Elementi finiti

Gli elementi finiti sono un metodo numerico di risoluzione di problemi al bordo per EDP particolarmente usati nello studio della meccanica dei solidi. Il continuo a infiniti GL viene discretizzato in un insieme di elementi finiti tra loro interconnessi in punti predefiniti detti nodi. Il problema differenziale del continuo è ridotto a un problema algebrico in cui le incognite sono le quantità nodali in nodi. Le quantità all'interno di ogni singolo elemento sono ricavate mediante opportune funzioni interpolanti nodali.

Passi del metodo

• Decomposizione della struttura continua in elementi discreti detti dominio dell'incognito nei nodi.
• Interpolazione delle variabili nodali all'interno di ogni singolo elemento mediante funzioni a polinomi.
• Assemblaggio degli elementi nella struttura intera ottenendo un sistema le cui incognite sono le funzioni nodali.
• Soluzione del sistema di sole incognite nodali, e interpolazione tramite funzione dei parametri negli altri punti.

Formulazione FE monodimensionale

Supponiamo di avere il seguente problema al bordo:

-d/dx[α(x)du/dx] + c(x)u = f(x) ⇒ (b + dv = 0)

Supponiamo che valga f(x):

f(x) = 0 ⇒ problema omogeneo.

α(x) = x, c(x) = x, L = 1, u₀ = 1, θ = 0.

Ricaviamo una soluzione polinomiale:

u_n = Σ_N c_iφ_i(x) + φ_h(x)

in cui φ_n rappresentano le funzioni di forma inoltre i c_i sono i GDL.

Dunque su spostamenti nodali (incognito) Posso porre per esempio, per N = 2:

φ_i = 1, φ₁(x) = x² - 2x, φ₂ = x³ - 3x.

Elementi finiti

Gli elementi finiti sono un metodo numerico di risoluzione di problemi al bordo per EDP particolarmente usati nella meccanica dei solidi. Il continuo a infiniti GDL viene discretizzato in un insieme di elementi finiti ma lato connessi in punti predefiniti detti nodi. Il problema differenziale del continuo è ridotto ad un problema algebrico risolto solo in quantità nodali detti nodi. Le quantità all'interno di ogni singolo elemento sono calcolate mediante opportune funzioni interpolanti nodali.

Passi del metodo

• Decomposizione della struttura continua in elementi discreti detti triangoli o rettangoli detti nodi.
• Interpolazione dei valori nodali all'interno di ogni singolo elemento tramite funzioni a forma nota.
• Assemblaggio degli elementi nella struttura intera ottenendo un sistema la cui incognite sono le funzioni nodali.
• Soluzione del sistema nelle incognita nodali, e interpolazione tramite funzione di forma negli altri punti.

Formulazione FE monodimensionale

Siano x e il seguente problema al bordo:

-d/dx[a(x)du/dx] + c(x)u = f(x)

b + dW = 1

Sia x ∈ [0, L]

u(0) = u₀

a(x)du/dx|_x=L = Q₀

Sia f(x) = 0 ⇒ problema omogeneo

a(x) = x, c(x) = x, L = 1, u₀ = 1, Q₀ = 0.

Cerchiamo una soluzione polinomiale:

U_n = ∑C_iΦ_i(x) + φ_i(x)

dove Φ_i, chiamano le funzioni di forma nodale C_i sono i GDL.

Per N = 2 possiamo porre:

Φ₀ = 1, Φ₁(x) = x² - 2x, Φ₂ = x³ - 3x

Quindi poniamo la soluzione deve essere =0 per ogni x ottenuto un problema sovradeterminato in cui non è possibile risolverlo il problema in questa forma (anche normale). Se non incognita:

Formulazione debole

Per risolvere il presente problema definisco il funzionale:

INKTQGa R = [dmvcmu - f(x)]dxd_p d_n C dvundcd_n 1 ncv v_pq

Cioè il Reòvia TCI la soluzione esatta della ED è una soluzione immiscibili.