Progettazione assistita dal calcolatore: teoria

Teoria di progettazione assistita dal calcolatore: elementi finiti

Concetti generali

Nel corso di avvio al continuum abbiamo visto le equazioni costitutive (ad esempio la legge di Hooke), le equazioni di congruenza e le equazioni indefinite di equilibrio:

• Equazioni costitutive - Legame tensioni-deformazioni
• Equazioni di congruenza - Legame deformazioni-spostamenti
• Equazioni indefinite di equilibrio - Legame tensione-conci

Queste equazioni ci permettono in pratica di modellare un continuum → Questo si riesce a fare solo per alcune geometrie molto specifiche. Le equazioni riportate non possono essere applicate a campi di forma irregolare con i quali siamo abituati a confrontarci nel mondo reale. → Gli elementi finiti sono risultati a colmare il divario fra trattazione teorica e mondo reale.

Metodo FE

Gli elementi finiti operano prendendo una geometria e suddividendola in piccole parti (elementi). Dal punto di vista pratico le equazioni sono ora ricavate al sistema nel suo insieme, ma vengono applicate all'elemento preso singolarmente. → Gli elementi finiti ci permettono di risolvere le equazioni in un modello completo. Gli elementi finiti rappresentano la continuità del problema ma ogni elemento è costituito da modi in cui vengono immagazzinate le informazioni, ma non vengono atomizzate le equazioni. → Viene risolto: un sistema discreto, non un sistema continuo.

Post process

Del software. Permette tutti i risultati relativi al trattamento dell'utente. Si basa molto nell'esperienza dell'utente.

• Sistema fisico
• Modello matematico
• Modello discreto
• Soluzione discreta

Ogni volta che compio un passaggio può succedere che commetto un errore. Una buona base teorica mi permette di commettere meno errori e guadagnare tempo.

Elementi finiti: sistema fisico → modello matematico

Il modello per elementi finiti non è altro che prendere in considerazione il sistema fisico. La soluzione non rispecchia mai una risposta. Un'altra delle cause di errore è il fatto di mantenere una soluzione esatta che si ottiene utilizzando le leggi della meccanica del continuo. Si può determinare il carico (P) agente su una sezione distante x dall'estremità dell'asta.

P = A (L - X) • ρ • g

Quindi, la tensione agente nel generico punto è:

σ = P / A = (L - X) • ρ • g

Si ha un andamento lineare delle tensioni:

• X = 0 → L • ρ • g (valore massimo)
• X = L → σ = 0

Confronto tra modelli EF

Consideriamo adesso un confronto fra due modelli EF: il primo con 1 solo elemento e il secondo con 7 elementi. Il modello con un elemento non ha la capacità di considerare una tensione variabile all'interno dell'elemento. Ottengo una tensione costante su tutto l'elemento:

σ_max = σ_min = 20553 MPa

Ma all'interno mi scosta dai valori reali - nel punto in cui ho la tensione massima, il mio valore è uguale all'area globale del diagramma sia la stessa. Nel modello con 7 elementi ci avviciniamo alla realtà:

σ_max = 5055 MPa, σ_min = 3350 MPa

Quindi all'aumentare degli elementi, i valori estremi "arrivano" sempre di più ai veri valori reali (σ_max = 53906 MPa, σ_min = 0 MPa).

Grado di libertà (GDL)

• Un GDL rappresenta la capacità elementare di descrivere un fenomeno:

• Analisi strutturale: traslazione o rotazione
• Analisi magnetica: componente del campo
• Analisi termica: temperatura

N.B. Nella realtà, in molti bozzetti non è GDL ma negli EF gli elementi possono avere comunque un numero massimo di GDL diverso da 6:

• Elementi 3D: ogni elemento solido in genere vengono impostati i soli GDL di traslazione (a seconda del software si possono impostare anche i GDL rotazionali)
• Elementi 2D: negli elementi piani, per non perdere info sulla rotazione, si hanno 6 GDL all'interno di ogni nodo.

Cambiamento sistema di riferimento

Spesso è utile definire le caratteristiche di un elemento in un sistema di riferimento diverso da quello utilizzato per le forze esterne o per i parametri della struttura assemblata. Per assemblare la matrice di rigidezza globale devo riportare tutte le informazioni in un unico sistema di riferimento.

Consideriamo un elemento assile con 2 nodi: (x_L, y_L) è il sistema di riferimento locale e (X, Y) è il sistema di riferimento globale.

Cerchiamo una matrice che moltiplicato ogni spostamento globale ci restituisca gli spostamenti locali (matrice di trasferimento T).

• Spostamenti: a_L = T a_G (T: matrice di trasferimento da definire)
• Carichi: Il lavoro dei carichi è indipendente dal sistema di riferimento.

q^T a_G = q^T a_L

q^T a_G = q^T T a_G

Post-moltiplico per a_G entrambi i membri ⇒ q^T = q^T T

Faccio il trasporto di entrambi i membri: (9^T T) = (9^T T)^T

Caso applicativo: assemblaggio matrice

Consideriamo una struttura reticolare composta da due aste. I vettori del sistema globale, includono i GDL dei nodi A, B, C, e sono:

u = { {u_A} {u_B} {u_C} }₂

Per il nodo B non c'è perché coincide con spostamenti dovuto essendo sullo stesso asse e andremo scelti dal sistema 1 o 2.

I vettori dei carichi esterni sono:

F = { {F_A}_est {F_B}_est {F_C}_est }

N.B. I vettori {F3} e {a3} sono composti da vettori aventi due componenti (come piano 2D). Devono notare:

• {lA}₁ = {lB}₂ — La continuità del sistema impone che gli spostamenti del nodo B appartenente sia all'elemento 1 che 2 debbano essere gli stessi.
• {F_est} + {F_B}₂ = {F_B}_est — Le forze applicate al nodo devono essere in equilibrio, nel nostro caso {F_B}_est = P_v.
• {f_B³} = {F_A}_est — Le forze esercitate su nodo V devono essere uguali alle forze.
• {F_C⁴} = {F_C}_est — Eserciate dal vincolo.

Il vettore dei carichi esterni è dato dalla somma del vettore dei carichi applicati dell'elemento 1 e 2.

{F_B} + {F_B}₂ con {F_B} = ({F_A} {F_B} {F_C})

Espansione: {0}

Espansione: { {F_B²} {F_C²} }

Calcolo di spostamenti e tensioni

Applichiamo quanto visto in corsi in cui si ha una struttura reticolare: Consideriamo 2 aste identiche costituite da E, A, L e il carico P₁ come in figura. Si calcola:

• Spostamenti
• Tensioni nelle aste

Inoltre:

[K₁] = [K₂]

β₁ = 45° → l = m = √2/2

β₂ = 135° → l = -√2/2, m = √2/2

In precedenza avevamo trovato:

[K_g] = E A   L

• [l²   lm   -l²   -lm]
• [-lm   m²   -lm   -m²]
• [-l²   -lm   l²   lm]
• [-lm   -m²   lm   m²]

Sostituendo l = m = √2/2 per l'elemento 1 e l = -√2/2, m = √2/2 per l'elemento 2:

[K_g]₁ = E A   2 L

• [1   1   -1   -1]
• [1   1   -1   -1]
• [-1   -1   1   1]
• [-1   -1   1   1]

[K_g]₂ = E A   2 L

• [1   -1   1   -1]
• [-1   1   -1   1]
• [1   -1   1   -1]
• [-1   1   -1   1]

Espandendo e assemblando:

E A   2 L

• [1   1   0   0]
• [0   2   0   0]
• [1   1   1   -1]
• [-1   -1   1   1]