Progettazione assistita dal calcolatore: teoria

Teoria di Progettazione Assistita dal Calcolatore

Elementi Finiti: Concetti Generali

Nel corso di avviano alle continuum abbiamo visto le equazioni costitutive (ad esempio la legge di Hooke), le equazioni di congruenza e le equazioni indefinite di equilibrio:

• Equazioni costitutive - Legame tensioni - deformazioni
• Equazioni di congruenza - Legame deformazioni - spostamenti
• Equazioni indefinite di equilibrio - Legame tensione - conci

Queste equazioni ci permettono in pratica di modellare un continuum

→ Questo si riesce a fare solo per alcune geometrie molto specifiche

Le equazioni riportate non possono essere applicate a campi di forma irregolare con i quali siamo abituati a che fare nel mondo reale.

→ Gli elementi finiti sono risultati a colmare il divario fra trattazione teorica e mondo reale

Metodo FE

Gli elementi finiti operano prendendo una geometria e suddividendola in piccole parti (elementi).

Dal punto di vista pratico le equazioni sono ora ricavate al sistema nel suo insieme, ma vengono applicate al elemento preso singolarmente.

→ Gli elementi finiti ci permettono di risolvere le equazioni in un modello completo.

Gli elementi finiti rappresentano la continuità del problema ma ogni elemento è costituito da modi in cui vengono immagazzinate le informazioni, ma non vengono atomizzati le equazioni.

→ Viene risolto: un sistema discreto, non un sistema continuo.

Post Process

Del software. Permette tutti i risultati relativi al trattamento dell'utente. Si basa molto nell'esperienza dell'utente.

• Sistema fisico
• Modello matematico
• Modello discreto
• Soluzione discreta

Ogni volta che compio un passaggio può succedere (commetto un errore). Una buona base teorica mi permette di commettere meno errori e guadagnare tempo.

Elementi Finiti: Sistema Fisico → Modello Matematico

Il modello per elementi finiti non è altro che prendere in considerazione il sistema fisico. La soluzione non rispecchia mai una risposta. Un'altra degli errori è il fatto di mantenere. Un'accurata analisi […]

La soluzione esatta si ottiene utilizzando le leggi della meccanica del continuo.

Si può determinare il carico (P) agente su una sezione distante x dall'estremità dell'asta.

P = A (L - X) • ρ • g

Quindi, la tensione agente nel generico punto è:

σ = P / A = (L - X) • ρ • g

Si ha un andamento lineare delle tensioni:

• X = 0 → L • ρ • g (valore massimo)
• X = L → σ = 0

Consideriamo adesso un confronto fra due modelli EF: il primo con 1 solo elemento e il secondo con 7 elementi:

• Il modello con un elemento non ha la capacità di considerare una tensione variabile all'interno dell'elemento.
• Ottengo una tensione costante su tutto l'elemento:
• σ_max = σ_min = 20553 MPa
• Ma all'interno mi scosta dai valori reali - nel punto in cui ho la tensione massima, il mio valore è uguale all'area globale del diagramma sia la stessa.
• Nel modello con 7 elementi ci avviciniamo alla realtà: σ_max = 5055 MPa, σ_min = 3350 MPa
• Quindi all'aumentare degli elementi, i valori estremi "arrivano" sempre di più ai veri valori reali (σ_max = 53906 MPa, σ_min = 0 MPa).

• Un GDL rappresenta la capacità elementare di descrivere un fenomeno

=> Un GDL:

• ANALISI STRUTTURALE: TRASLAZIONE O ROTAZIONE
• ANALISI MAGNETICA: COMPONENTE DEL CAMPO
• ANALISI TERMICA: TEMPERATURA

N.B. Nella realtà, in molti bozzetti non è GDL ma negli EF gli elementi possono avere cmq un num-max di GDL diverso da 6:

• ELEMENTI 3D: ogni elemento solido in genere vengono impostati i soli gdl di traslazione (a seconda del software si possono impostare anche i gdl rotazionali)
• ELEMENTI 2D: negli elementi piani, per non perdere info sulla rotazione, si hanno 6 gdl all’interno di ogni nodo.

CAMBIAMENTO SISTEMA DI RIFERIMENTO

Spesso è utile definire le caratteristiche di un elemento in un sistema di riferimento diverso da quella utilizzato per le forze esterne o per i parametri della struttura assemblata.

PER ASSEMBLARE LA MATRICE DI RIGIDEZZA GLOBALE DEVO RIPORTARE TUTTE LE INFORMAZIONI IN UN UNICO SISTEMA DI RIFERIMENTO.

Consideriamo un elemento assile con 2 nodi:

• (x_L, y_L) è il sistema di riferimento locale.
• (X, Y) è il sistema di riferimento globale

Cerchiamo una matrice che moltiplicato ogni spostamento globale ci restituisca gli spostamenti locali (MATRICE DI TRASFERIMENTO T).

• SPOSTAMENTI a_L = T a_G (T: matrice di trasferimento da definire)
• CARICHI Il lavoro dei carichi è INDIPENDENTE DAL SISTEMA DI RIFERIMENTO. q^T a_G = q^T a_L q^T a_G = q^T T a_G

Post-moltiplico per a_G entrambi i membri ⇒ q^T = q^T T facciò il trasporto di entrambi i membri: (9^T T) = (9^T T)^T

CASO APPLICATIVO: ASSEMBLAGGIO MATRICE

Consideriamo una struttura reticolare composta da due aste.

I vettori del sistema globale, includono i GDL dei nodi A, B, C, e sono:

u = { {u_A} {u_B} {u_C} }₂

Per il nodo B non c’è perché coincide con spostamenti dovuto essendo sul stesso asse andremo scelti dal sistema 1 o 2.

I vettori dei carichi esterni sono:

F = { {F_A}_est {F_B}_est {F_C}_est }

N.B. I vettori {F3} e {a3} sono composti da vettori aventi due componenti (come piano 2D)

Devono notare:

• {lA}₁ = {lB}₂ — La continuita del sistema impone che gli spostamenti del nodo B appartenente sia al elemento 1 che 2 debano essere gli stessi.
• {F_est} + {F_B}₂ = {F_B}_est — Le forze applicate al nodo devono essere in equilibrio che nostro caso {F_B}_est = P_v.
• {f_B³} = {F_A}_est — Le forze esercitate su nodo V causan freeman devono essere uguali anne forze.
• {F_C⁴} = {F_C}_est Eserciate dal vincolo.

Il vettore dei carichi esterni è dato dallo somma del vettore dei carichi applicati dell’elemento 1 e 2.

{F_B} + {F_B}₂ com {F_B} = ({F_A} {F_B} {F_C})

• Espansione: {0}
• Espansione: { {F_B²} {F_C²} }

Applichiamo quanto visto a in corsi in cui si ha una struttura reticolare:

Consideriamo 2 aste identiche costituite da E, A, L e il carico P₁ come in figura. Si calcola:

• Spostamenti
• Tensioni nelle aste

Inoltre:

[K₁] = [K₂]

β₁ = 45° → l = m = √2/2 β₂ = 135° → l = -√2/2, m = √2/2

In precedenza avevamo trovato:

[K_g] = E A   L

[l²   lm   -l²   -lm] [-lm   m²   -lm   -m²] [-l²   -lm   l²   lm] [-lm   -m²   lm   m²]

Sostituendo l = m = √2/2 per l'elemento 1 e l = -√2/2, m = √2/2 per l'elemento 2:

[K_g]₁ = E A   2 L

[1   1   -1   -1] [1   1   -1   -1] [-1   -1   1   1] [-1   -1   1   1]

[K_g]₂ = E A   2 L

[1   -1   1   -1] [-1   1   -1   1] [1   -1   1   -1] [-1   1   -1   1]

Espandendo e assemblando:

E A     2 L

[1   1   0   0] [0   2   0   0] [1   1   1   -1] [-1   -1   1   1]

| U_A |   | F_AX | | V_A |   | F_AY | | U_B | = | F_BX | | V_B |   | F_BY | | U_C |   | F_LX | | V_C |   | F_CY |