Principi di Ingegneria Elettrica

PRINCIPI DI INGEGNERIA ELETTRICA

POLITECNICO DI MILANO - FACOLTA’ DI INGEGNERIA INDUSTRIALE

Teorema di Norton

Data una rete generica π (detta scatola nera) complicata e composta da generatori di

corrente, di tensione e resistenze e immaginiamo che io voglia calcolare I e V ai suoi

terminali A-B. Si può sostituire la scatola nera con un generatore di corrente che abbia

corrente pari alla corrente di cortocircuito (misurata tra A-B chiudendo il circuito con

n filo) ed in parallelo ad una resistenza pari alla resistenza equivalente interna calcolata

spegnendo tutti i generatori (g. di tensione = filo, g. di corrente = circuito aperto).

Applicazione:

1. Staccare l’elemento tra A-B

2. Chiudere il circuito tra A-B con un filo e misurare la corrente che vi scorre

(corrente di cortocircuito)

3. Spegnere i generatori della scatola nera e misurare la resistenza interna

4. Sostituire la scatola nera con un generatore di corrente pari alla corrente di

cortocircuito misurata prima in parallelo ad una resistenza pari alla resistenza

interna misurata prima

Formula di Millman (reti binodali)

Dato un circuito con generatori di corrente e tensione e resistenze tutti in parallelo tra i nodi B-C.

Applicazione:

 Si sostituiscono i generatori di tensione con generatori di corrente in parallelo alle resistenze a loro in

serie e tralasciando le resistenze in serie ai generatori di corrente (non variano la differenza di

potenziale)

 Si calcola la corrente del generatore equivalente come somma algebrica delle correnti dei generatori

rimasti

 Si calcola la resistenza equivalente

∑ ∑

+

=

1 1

∑ ∑

+

resistenze in serie ai generatori di tensione

tensioni dei generatori

correnti dei generatori di corrente

resistenze in parallelo da sole

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Passaggio da triangolo – stella viceversa

Triangolo → stella

=

+ +

=

+ +

=

+ +

Stella → triangolo + + + +

= =

+ +

=

Partitore di corrente

Per resistenze in serie

2 1

= ∙ = ∙

1 2

+ +

1 2 1 2

Partitore di tensione

Per resistenze in parallelo

= ∙

∑

=1

Il regime sinusoidale

I generatori sono sinusoidi isofrequenziali

(), () → () = cos( + )

Valore efficace = valore costante che dà nel periodo lo stesso comportamento energetico della grandezza

=

ondulatoria e variabile di periodo T. Per le sinusoidi √2

() = ∙ ∙ cos( + )

Da cui √2

Sinusoidi e numeri complessi

Per l’identità di Eulero, i numeri complessi sono in corrispondenza biunivoca con le sinusoidi, in quanto

(+)

() = ∙ ∙ cos( + ) = ℝe(√2 ∙ ∙ = ℝe(√2 ∙ ∙ ∙

) )

√2

∙

è detto fasore = numero complesso che nota la denota in modo univoco una sinusoide

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Passaggio di forme

Es. 20

̅ 2 2

√10

= 10 + 20 → () = + 20 ∙ ∙ cos ( + arctan ( ))

√2 10

Somma di sinusoidi ̅

)

() = ∙ ∙ cos( + = ℝe(√2 ∙ ∙ )

√2

̅

)

() = ∙ ∙ cos( + = ℝe(√2 ∙ ∙ )

√2

(̅ ̅

() + () = ℝe(√2 ∙ ∙ + ))

Derivazioni () ̅

= ℝe(√2 ∙ ∙ ∙ )

̅ ∙ è il fasore rappresentativo della derivata

Induttanza un’induttanza è un componente di circuito che ha il compito di sfasare corrente e

tensione di un angolo di anticipando la tensione.

2 ̅ ̅ ̅

=∙ → = ∙ ∙ ∙ = ∙ ∙

= ∙ è detta reattanza induttiva

Condensatore un condensatore è un componente di circuito che ha il compito di sfasare corrente e

tensione di un angolo di anticipando la corrente.

2 ̅ ̅

=∙ → = ∙ ∙ ∙

1 1

̅ ̅ ̅ ̅

= ∙ = − ∙ ∙ = − ∙ ∙

∙∙ ∙

1

= è detta reattanza capacitiva

∙

L’impedenza

L’impedenza è il generico impedimento che incontra la corrente nel suo flusso attraverso il circuito. Essa è un

numero complesso che può avere solo parte reale (resistenze che non sfasano corrente e tensione), solo parte

immaginaria (che sfasano corrente e tensione di un angolo di ), composta da parte reale e immaginaria in

2 ̅

caso di serie/paralleli di resistenze, condensatori e induttori. Si indica con la lettera

̅

∙

̅ |̅| ( − )

= = ∙ = = ∙

̅

∙

L’impedenza è dunque lo sfasamento della tensione rispetto alla corrente (differenza delle fasi).

Impedenze in serie ̅̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅

= + + ⋯ +

1 2

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Impedenze in parallelo

1

̅ =

Ammettenza ̅ 1 1 1 1

= + + ⋯+

̅̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅

1 2

Potenza in regime sinusoidale

() = ∙ ∙ cos()

√2

() = ∙ ∙ cos( + )

√2

() = () ∙ () = ∙ ∙ cos() ∙ ∙ ∙ cos( + ) = 2 ∙ ∙ ∙ cos() ∙ cos( + )

√2 √2

Applicando la formula di Werner si ottiene:

1 1

() = 2 ∙ ∙ ∙ ∙ cos(2 + ) + ∙ cos( − − )] =

[ 2 2

[cos(2

= ∙ ∙ + ) + cos()] =

= ∙ ∙ cos + ∙ ∙ cos(2 + ) = −

() è la potenza istantanea ed è a valor medio non nullo in quanto è

una sinusoide traslata verso l’alto di una quantità positiva.

Potenza attiva

1 () = ∙

Calcolando si ottiene il valor medio della potenza istantanea che è detta potenza attiva

∫

0

∙ cos . cos è detto fattore di potenza.

Potenza apparente = ∙ []

La massima oscillazione della potenza intorno al suo valore medio è detta potenza apparente

Potenza reattiva

= ∙ ∙ sin [] è la potenza reattiva, cioè legata agli elementi reattivi (condensatori e induttori)

del circuito.

Potenza complessa ̅ )

̅ − ( −

= ∙ = ∙ ∙ ∙ = ∙ ∙

̅ = ∙ ∙ cos + ∙ ∙ ∙ sin = +

Cioè la potenza complessa è la somma dei contributi di potenza attiva e reattiva.

Resistenze = 0

Per le resistenze si ha poiché non sfasano corrente e tensione e quindi:

2

̅ ̅ ̅ 2

= ∙ = ∙ ∙ = ∙ =

= 0

Essendo si ha che le resistenze consumano solo potenza

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Reattanza induttiva

= − =

Per le reattanze induttive si ha che cioè:

2 2

̅ ̅ ̅ 2

= ∙ = ∙ ∙ ∙ = ∙ ∙ =

Cioè solo un contributo complesso di potenza cioè solo potenza reattiva.

Reattanza capacitiva

= − = −

Per le reattanze capacitive si ha che cioè:

2 2

̅ ̅ ̅ 2

= ∙ = − ∙ ∙ ∙ = − ∙ ∙ =

Anche in questo caso si ha un contributo solo di potenza complessa reattiva.

Il metodo di Boucherot

Il metodo di Boucherot è un metodo che si presta alla risoluzione di reti in regime alternato sinusoidale disposte

“a scala” cioè con un ingresso di corrente e gli elementi passivi disposti in serie o parallelo senza l’utilizzo di

numeri complessi. Il metodo si basa sul suddividere la rete in sezioni all’incontro di ogni discontinuità

(elemento in parallelo ad esempio). Partendo dalla sezione più lontana dall’ingresso si fa un bilancio di potenze

per ogni sezione. La potenza attiva, reattiva o apparente entrante nella sezione è uguale a quella dissipata

dalla sezione stessa più quella diretta verso le sezioni più a valle. Ricordando le formule più ricorrenti:

2 2

2 2 2 2

√

= ∙ = =∙ = ∙ = =∙ ( ) = + =

Circuiti magnetici

Importante nella risoluzione dei circuiti magnetici è l’analogia con i circui