Principi di Fisica 1

LA CINEMATICA

INTRODUZIONE ALLA CINEMATICA

Iniziamo il tutto con la cinematica. La cinematica è quella branca della fisica che si occupa di studiare il

movimento degli oggetti e successivamente di dedurre delle leggi orarie (ossia leggi che permettono di

calcolare la posizione di un oggetto nel tempo) che ne descrivano dunque il comportamento. Ogni oggetto

in fisica può essere considerato un punto materiale rendendo così trascurabile la forma dell’oggetto stesso.

Nella cinematica possiamo avere vari tipi di moto che potranno il quale potranno essere:

 MOTI UNIDIMENSIONALI. Per poter parlare di questi tipi di moto dobbiamo prima introdurre alcuni

concetti fondamentali sulle grandezze come la posizione, ossia prendendo come riferimento un asse

(nel nostro caso l’asse delle x) ed un’unità di misura verrà definita come il luogo esatto in cui si trova

il nostro punto materiale (vedi figura CIN.1). Dalla posizione si potrà calcolare lo spostamento che

viene definito come la differenza tra la posizione finale e la posizione iniziale riferendosi così ad una

sorta di Δx, in formula: ∆ ∶= −

Lo spostamento non dipenderà dal percorso ma solo dalla

posizione iniziale e finale e potrà essere positivo, negativo o

nullo (in base ai valori che può assumere). Entrambi i concetti

potranno essere misurati in metri. Successivamente dallo

spostamento si può ricavare la velocità definita come il

rapporto tra lo spostamento e il tempo, in formula:

∆

∶=

x ∆

La quale potrà essere anche riscritta come:

x1 x2 x3 −

∶= −

Figura CIN.1

E la sua unità di misura sarà . Ponendo tutto su un grafico

⁄

otterremo così una legge oraria nel quale si potrà dedurre che

la velocità rappresenterà la tangente tra il tempo e lo spostamento (vedi figura CIN.2), tale legge

però ci darà solamente una velocità media (v ) nel caso volessimo anche sapere la velocità

m

istantanea si farà ricorso alla formula: ∆

∶=

∆

∆→

Pertanto ottenendo una sorta di limite incrementale e quindi riscrivibile come:

∶=

Una grandezza che si può trovare utilizzando la velocità è l’accelerazione definita come la variazione

della velocità nel tempo, in formula esprimibile come:

∆

∶= ∆

E quindi scrivibile anche come: −

∶= −

Anch’essa può essere sia positiva, sia negativa, sia nulla x

(in base al valore che assume). Anche qui possiamo

calcolare un’accelerazione istantanea calcolabile con

la formula: ∆

∶= ∆

∆→

Che è possibile scrivere anche come:

∶= t

E la sua unità di misura è .

⁄

Figura CIN.2

 MOTI AD ACCELERAZIONE COSTANTE. A questa

categoria appartengono i moti rettilinei uniformi i

quali sono caratterizzati dal non avere una variazione di velocità e i moti uniformemente accelerati

i quali sono caratterizzati dall’avere un’accelerazione costante (un esempio è l’accelerazione di

gravità che assume sempre il valore di 9.81 ). Pertanto sapendo che:

⁄ 2

() −

= −

Potremo considerare che il tempo iniziale sia pari a 0 e quindi:

() −

=

Ottenendo dunque: + = ()

Tale formula sarà molto utile in quanto ci darà informazioni su come varierà la velocità del nostro

punto materiale nel caso in cui l’accelerazione sia uniforme. Pertanto sapendo che:

() =

E sostituendolo alla formula precedente si avrà:

() = −

(

→ = − )

() (

→∫ = ∫ − )

→ () = + +

(In quanto t ossia l’istante iniziale si suppone sia pari a

0

0). Tutte le grandezze viste finora sono tutte da

considerarsi grandezze vettoriali. Iniziamo ora ad

introdurre un vettore. Esso di indicherà con il simbolo G

→ mentre sulle grandezze da esso derivanti verrà

̅

inserito un trattino sulla parte superiore ( che in

questo caso sarà l’accelerazione), mentre il suo

| |.

̅

modulo ossia la lunghezza verrà indicato con Per

riuscire a calcolare un vettore si potrà fare riferimento

alla regola del parallelogramma, ossia vengono CIN.3

proiettati i vettori che si vogliono calcolare in modo da

formare un parallelogramma, la diagonale che ne

risulterà ci darà la somma di entrambi i vettori (vedi figura CIN.3). quando parliamo di vettori

possiamo certamente dire che quest’ultimi possono essere sottoposti alle normali operazioni

matematiche, di fatto potremo avere la somma (nel quale si

y potrà utilizzare le diverse proprietà come quella commutativa

|̅| e associativa), così come si potrà effettuare una sottrazione tra

vettori. Un vettore potrà anche essere scritto in coordinate

(polari o cartesiane) mediante l’ausilio di un versore ovvero un

vettore il quale modulo sarà pari a 1 il quale serve per

̂

identificare i vettori e si indicherà con il simbolo (sempre se

θ x ̅̅̅

ci si riferisce all’accelerazione). Pertanto un vettore si potrà

|

|

̅

= rappresentare nella seguente forma:

| |

̅̅̅ ̂

=

|

|

̅

= O anche come: = +

√

|

|

̅ = +

(vedi figura CIN.4). Per calcolare invece l’angolo θ bisognerà

invece usare la formula:

=

=

Figura CIN.4 I VETTORI

I vettori sono componenti di uno spazio vettoriale il quale vengono identificati con una lettera e una

̅

linea sopra (es. ). Questi vettori possono essere dunque sommati dando origine alla somma

vettoriale che non sarà altro che la somma dei moduli di due o più vettori. A tal proposito si potrà

usare sia un metodo analitico come quello visto pocanzi sia un metodo strettamente grafico

rappresentato dalla regola del parallelogramma. Un’altra operazione che è possibile effettuare è il

prodotto vettoriale il quale sarà dato dalla formula:

̅|

|

|

̅

≔ ∙ ∙

|

Dove α rappresenterà l’angolo più piccolo formatosi. La

formula precedente può essere riscritta come:

≔ + + +

Sapendo che il è pari a 0 otterremo che:

≔ +

Un vettore potrà essere espresso anche nelle due o più

dimensioni non necessariamente su un sistema

unidimensionale ottenendo così che il modulo di un

̅

| |

generico vettore avrà delle coordinate in x e in y

che identificheranno la sua posizione rispetto

all’origine (vedi figura CIN.5). nel caso in cui volessimo Figura CIN.5

invece considerare lo spostamento che questo vettore

effettua sul piano ossia ΔR dato dalla differenza tra R e R . Sapendo dunque che questi due vettori

2 1

avranno delle coordinate potremo scrivere tale formula come:

| | | |

∆ = −

E dunque come: ( (

∆ = + )̂ − + )̂ = ∆̂ − ∆̂

Se vi sarà uno spostamento vi sarà anche una velocità che sarà data dalla formula:

−

Ciò perché deriverà da: ∆ ̂ − ∆ ̂

∆

= =

∆ ∆

E così anche un’accelerazione che sarà dato sempre dalla formula:

∆

=

∆

Da dove deriveranno tutte le opportune sostituzioni.

IL MOTO DI UN PROIETTILE

Un moto particolare della cinematica è il moto di un y

proiettile, un moto che si verifica ogni qualvolta si lanci

un oggetto con una certa angolazione dall’orizzonte e

ad una certa velocità iniziale v . Per poter studiare al

0

meglio questo moto lungo le due direzioni porremo le

condizioni che i due assi non si influenzino tra di loro e

pertanto che siano indipendenti (dovuto al fatto che si

tratta di due moti diversi) e che l’asse x rappreseti un

moto rettilineo uniforme (essendo sottoposto sempre

alla stessa accelerazione ossia quella di gravità) mentre α x

l’asse y rappresenterà un moto uniformemente

accelerato (in quanto non vi sono variazioni di velocità) Figura CIN.6

(vedi figura CIN.6). Sapendo ciò potremo dunque dire

che lungo l’asse x:

− = ∙ (C.1)

∆

=

In quanto essendo un moto rettilineo uniforme deriverà dalla formula mentre per l’asse y

∆

avremo invece:

− = − + (C.2)

Dove g sarà negativa perché rivolta verso il basso, pertanto seguendo il nostro sistema di riferimento

risulterà negativa. Se considerassimo x e y pari a 0 otterremo dalla C.1 e dalla C.2 che:

0 0

=

{ (C.3)

− + =

Essendo che per poter essere utilizzabile bisognerà usare un’equazione in una variabile

provvederemo ad eliminare la variabile t, ottenendo dunque dalla C.3:

=

{ (C.4)

− ( ) + ( ) = → = − ∙ + ∙

( )

Potremo quindi notare che l’equazione ottenuta sarà l’equazione di una parabola con concavità

negativa. Un altro concetto che bisogna sapere se si parla di moto di un proiettile è la gittata ossia

la distanza che raggiunge l’oggetto una volta che viene lanciato. Per poterla calcolare si dovrà

partire dalla formula ottenuta nel C.4 e porre y pari a 0, ottenendo così:

∙ + )=

(−

(

)

Ottenendo così due risultati, uno in cui x è uguale a 0 e uno in cui x sarà pari a:

− ∙ + =

( )

Potremo dunque notare due cose, la prima che la gittata massima si avrà quando l’angolazione di

lancio sarà di 45° mentre la seconda che tali leggi non varranno se il punto di lancio e il punto di

atterraggio non sono alla stessa altezza.

LA DINAMICA

INTRODUZIONE ALLA DINAMICA

Iniziamo ad introdurre la dinamica. Per dinamica in fisica si intende il ramo della fisica che studia il

moto dei corpi a partire dalle cause che lo determinano o che lo modificano. Essa si basa sulle 3 leggi

di Newton il quale sono sempre valevoli a patto che ci si trovi in un sistema di riferimento inerziale

e che la velocità del corpo sia infinitesimamente più piccola di quella della luce. Inizialmente si

pensava che per mettere in movimento un oggetto quest’ultimo dovesse essere sottoposto ad una

forza. Ciò fu vero fino a che Newton introdusse la sua prima legge della dinamica (o prima legge di

Newton) che ci dice: “Su un sistema in cui la risultante è 0 (quindi un sistema in cui non agiscano

forze) se un corpo si muove di moto rettilineo uniforme quest’ultimo conserverà il suo moto

all’infinito”. Detto ciò avremo quindi che la forza (ossia un’entità in grado di tirare, spingere o

̅ = ,

modificare la velocità di un oggetto) sarà potremo notare che la velocità otterremo due casi,

uno in cui la velocità sarà pari a 0 (e quindi nulla) e una in cui la velocità sarà costante che non

potremo verificare in quanto saranno impercettibili i due casi e quindi non dimostrabili appunto

perché varranno in entrambi i casi la stessa legge. Un concetto fondamentale in questa legge è

proprio il sistema di riferimento che dovrà, come detto in precedenza, essere inerziale. Si dirà quindi

inerziale un sistema di riferimento in cui la risultante delle forze è nulla. Se per esempio prendessimo

il pianeta terra così come lo conosciamo in un sistema in 3 assi cartesiani noteremmo che questo non

sarebbe un S.R. inerziale mentre al contrario lo sarebbe se prendessimo un sistema in 2 assi

cartesiani, ciò è dovuto alla presenza di forze fittizie. Passiamo ora al secondo principio della

dinamica. Da questo principio possiamo notare la forza è proporzionale all’accelerazione, ossia

maggiore sarà la forza maggiore sarà l’accelerazione. Potremo così scrivere questo principio in

formula nel seguente modo:

̅ ̅

= ∙ (D.1)

Dove m rappresenterà la massa inerziale che ne rappresenta il coefficiente di proporzionalità il quale

i

è una proprietà intrinseca degli oggetti a non muoversi, e che dovrà distinguersi invece dalla massa

gravitazionale che invece è la proprietà intrinseca dei corpi ad attrarre a sé altri corpi. Il rapporto tra

la massa inerziale e quella gravitazionale sarà di circa 1. La formula D.1 sarà un’equazione di tipo

vettoriale al quale equivarranno 3 equazioni di tipo scalare (ossia una per la componente x, una per

la componente y e una per la componente z). Inoltre dalla seconda legge possiamo ricavarci la prima

in quanto se:

̅ ̅ ̅

= = =

L’unità di misura della forza è il Newton (N) che corrisponde a . Il terzo e ultimo principio

∙ ⁄

invece dice che “Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale direzione e modulo ma di verso

opposto” ma tale legge sarà approfondita più avanti per il momento ci basti sapere la definizione.

I TIPI DI FORZE

Nella dinamica si possono avere tanti tipi di forze, vediamo le principali.

o FORZA PESO. La forza peso è la forza a cui tutti i corpi in prossimità della crosta terrestre

sono sottoposti. Essa prendendo come riferimento il secondo principio della dinamica e

quindi la D.1 la potremo scrivere come:

̅̅̅̅

= ∙

Pertanto essendo g l’accelerazione di gravità e risultando quest’ultima costante (9.81 )

⁄

avremo che questo tipo di forza dipenderà solamente dalla massa che il corpo avrà, ciò sarà

dovuto a due fattori. Il primo al fatto che la terra girerà sempre su stessa e il secondo al fatto

che la terra non è perfettamente s