Principali teoremi, Algebra 1

Teorema dei gruppi

Consideriamo i gruppi G, H, K < G.

• Hk < G
• H ∩ K = {e}
• HK = G

Idea

Sia H x K ------> G definito da (h, k) ------> h * k. La biiezione è ovvia per iii), dove f : H x K ------> f (H, k).

Definizione di f: f(h1, k1, h2, k2) = f(h1, h2, k1, k2) = h1h2k1k2 = (H, k1) f(k2).

Definizione del gruppo Dm

Definiamo Dm il gruppo delle isometrie del piano che mappano un n-agono regolare in sé stesso.

Osservazione

Detto n = {stessi} < permutazioni < E Dm ---> σ(U) = U' + σ(U) = V1, V2, ..., Vi: ---> P posso fare al più 2m scatti arbitrari ---> |Dm| ≤ 2m.

Sicuramente le rotazioni di un angolo ^2π/_n attorno al centro εDn e analogamente le riflessioni attorno agli assi di simmetria εsm. Il numero regolare ha tra ε mit ² m assi di simmetria distinti. Ogni asse non può nemmeno coincidere con le rotazioni in quanto non conservano necessariamente gli angoli.

Poiché le rotazioni sono tra loro distintive, |Dm| = 2m --> se sr = rs ---> Dn è un gruppo non abeliano ε Dm < sr >.

Definizione di aut(G)

Dato un gruppo G, definiamo aut(G) = {ψ | G ------> G/ψ = isomorfismo} centro(g)_{aut(G) = Z}.

Definizione del coniugio per g

Dato g gruppo ψ ε G, definiamo il coniugio per g: G ------> Gx ------> gⁱxg^-i.

ψ ε G φ ε Aut id(i) = id(g) φ(g)^-1 φ ε G d(g) φ i (x)^g = x ad aut(G) con au/omoríaker (φ) = {x | e G | x^-1 φg^-i φ(x) = φo(x) φ(x)} (iniettività) (suriettività) lug(G) = G/Z(CG).

Osservazione

Z(Z(CG)) non è ciclico a meno che Z(CG) non sia banale G ---> |lug(G)| = aut(CG) ψ|aut omomorfismo φ(ψ, θ) φ o φ _ψ = φ^g φ→ φ verifica Id(C) x^gl = φ (x) per il teorema o omeomorfismo G/Z(CG) ε lug(CG).

Conclusioni

lug(G) = {id} ⇔ G abeliano.

Osservazione

G gruppo HG HA HAZ G, φ(H) = H, ∀ φ ε lug(CG) H / E auto comunitario se è invariato per automorfismi, cioè se figura osservazione HG caratteristico ⇒ MHG. Viceversa è falso.

Teorema (di due sottogruppi in prodotto diretto)

G gruppo, H, K < G

• i) H ∩ K < G
• ii) H ∩ K = {e}
• iii) HK = G ⇒ G = H x K

Idea

H x K → G la particità è ovvia per iii) (h, k) → hk dimostro che φ  è  omomorfismo: f((h1, k1) (h2, k2)) = f(h1h2, k1k2) = h1h2k1k2 = (h1k1) (h2k2) = f(h1, k1) f(h, k2).

f iniettiva: ker f = {1, k | 1hk = e} = {h = e} f suriettiva: ∀ g ∈ G    g = h₀k₀ con  _{kh₀ = {e}.

Definizione del gruppo D_n

Definiamo D_n il gruppo delle isometrie del piano che mappano un x-ottogono regolare in sé stesso.

Osservazione

Detto nome(ux, vx)^'-1   uv = tu   σ ∈ D_n    σ(u) = ^'     σ (r) = ρ^r1 V₁,    V_i:V₁...q₁, (v_i, v₁, i)     → posso fare al più 2m queste alternative => |D_n| ≤ 2m.

Sicuramente le rotazioni di un angolo       1  rρπ    attorno al centro ∈ D_n    e analogamente le riflessioni attorno agli assi di simmetria ∈ D_n, ma ci sono m assi regolari e m - in assi di simmetria distinti. Poiché una somma non possono mai coincidere con le rotazioni in quanto non conservano l'orientamento degli angoli. Poiché le rotazioni sono tra loro distinte    |D_n| = 2m     sr =sr—> D_n è un gruppo non abeliano        ≡&OE;D_n è un gruppo non abeliano.

Coset e sottogruppi differenti

Definizione: Dato G gruppo definiamo aut(G) = {f | f: G → G | f è isomorfismo } prop (aut(G), o) gruppo.

Definizione del coniugio per g

Dato G gruppo, definiamo il coniugio per g     φ: G → G.

Proprietà

i) £ è ∈ aut(G).

ii) detra uguagl. { ◊ ◊ ◊ ∈ aut(G) ◊◊ : ◊◊◊² ∈ aut(G) μ idk ϕ: ϕ ∈ ◊ = ∀(αζηϕ) → φ(x) = x^g ∀ g ∈ G → φ ◊ ∈ aut(G) kef ◊   = knofka {x ∈ G | x^gx^◊xg; x^g₁x}{e} = {k ∈ G | x = gxsup{j} - ∈ e} associatività (identità) x² determinata ◊ = x = g^◊e} {x eκ} {eslgx{xg ◊◊_κκ → fg → q} Verifica