Principali teoremi, Algebra 1

Teorema

G gruppo, H, K < G t.c.:

1. H ∩ K ≀ G
2. H ∩ N_K = {e}
3. HK = G

AlloraH ≀ KG

La non attività e ovvia per iii)

Un nostro PF è comunque:

f(h, k)_Hk_Kfhk, h₂k₂fh = h₂k₂hk =

(fh, k) ∈ [] ⇒ f interni k =

1. k₁h₂ ∈ [K, h] = <e> ⇒ hk₁ =
2. k₁ ∈ E(s33)

Def

definiamo D_m il gruppo delle isocitretti dell piani che mandano in se

osservazione detto v₁, v₂

σ ∈ D_m ⇒ σ(v_i) = σ(v_i) = v¹ = G'(R) = <i>¹

1. v₁
2. v₂

p.sso fare al piu' 2m scatti arbitrari =>

|D_m| ≤ 2m

Sicuramente le rotazioni di un angolo i : 2π/m attorno al centro ∈ D_m

e anal-agumente le riflessioni attorno agli assi di simmetria = D_m

oss. i assi rugtti le rotazioni i -> anni di simmetria distinti. oss 2 assi non possono memmo coincidere con le potenze di piventi non conservano l'orientamento degli angoli. Poiché le rotazioni sono tra loro distinte |D_m| = 2m.

Se una simmetria (anche per cirul-c. R)

D_m = {e, σ, ... σ^m, σ^m, x i. per il limite dell'inverso si verifica

| (D_m) | = sr = + 1/1 simmetrie)

Def

Def

Dato G gruppo scriviamo Aut(G) = {f|G from G| f e' isomorfismo}

prop (Aut (C G)), o^o gruppo.

Def

G gruppo, j ∈ G definiamo il coniugio per q di : G --> G

f

∀y∈G, φ_g(g) =

g.y g-g ℮ φ Desuj{ϕ_g|<>AutG}

otur φ =

ψ_j(x) = g.x g-g = ψ_g,g•ψ_g (come auto-sforno)

ker ψ_x[x℮ G |x^-1g j x = g^-3}e{()|φ x^{-3 H_MG. U riceversa e' fallso}

Def

G gruppo, X insieme. Definiamo azione di G su X un omomorfismo

φ: G → S(X)

g ↦ φ_g (x) funzione

x ↦ g^{1 Matrice}(x) = g x

Osservazione:

Un’azione di G su X definisce una relazione di equivalenza

x^~y ↔∃ g ∈ G t.c. φ_g(x) = y

Definiamo orbita di x la classe di equivalenza di x rispetto a ~

orb(x) = {g x | g ∈ G}

St(x) = la stabilizzatore di x ; St(x) = {g ∈ G | g x = x}

Lemma: Esiste una corrispondenza biunivoca tra l’orbita di x e le classi laterali di St(x) in G

Prop: Ter(x) è il lato sin. di St(x) in G

G/St(x) |.

Prop: G finito |G| = |St(x)| |orb(x)| ∀ x ∈ X in particolare dunque |orb(x)| | [G : H] |

Osservazione: cal lemma.

Osservazione: φ(Hx) = Gx cor (1st) in classe di coniugio di x

φ_g:G→ S(G) osserviamo va verificata come omomorfismo ben definito e è difettiva.

St_H(f) ∪ G | H^g{h} N_G(H)

Def: φ_H:G| G } coniugati di H

Def: G gruppo definiamo gruppo derivato o di commutatori definito da elementi della forma a,b c. G è duale abeliano

G = {aba^-1b^-1|a,b ∈ G}.

Osservazioni: G/G^', G^' ⊂ N un abeliano

ii) G /N abeliano ⇒ G∩N

iv) H⊆G ⇒ H⊆G H⊆G

Def: definiamo un S_n: f: S → S biiezione con S = {1, ..., n}

O Una ciclo deb x ∈ {1, ..., n} uscì come un ciclo

Osservazioni: al samenwerken che i cicli non è unica

a,f ÷S unico s. cn determinato dai suoi effetti.

Prop: Permutazione con unico ciclico al ha un uno ciclo non banale e s. permutare può essere esatta. come prodotto di cilci disggnún.

Alla sctitture uno a meno di ordine dei cicli e delle scrittrg.

M= G rigth (trovanime le immagine attraverso il ciclo)

Osservazioni:

((aa...)) → (b...) = (a c..) (..)

a₁ a₂ = a₃ c₁ inverti due immagini diverse per uno stessolemento

Def: un 2-ciclo è nota trasposizione.

Teorema (di Cayley)

Ogni gruppo G si immerge in S(G), ossia ∃ φ om.

iniettivo G → _m S(_m) com m=|G|, in particolare, si ha che

G → _m S_m

φ: G → G₁

φ: g → G_i

g → g

G → G_j

σ ben definita x σ = φ _g= σ ∀ g ∈ G

σ iniettiva φ _x y φ(y) y = σy ⟹ g ≡ g ⟹ σx = y

e di suriettiva ∀ y ∈ G ∃_g φ _g y = y

φ è omoc. σ/mono. [...]

Teorema

(ab. struttura per gruppi abeliani finiti)

G abeliano finito ⟺ G = prodotto diretto di gruppi ciclici ossia

G = Z_m x... x Z_mZ_l questa scrittura è unica se si declinano

che m₁|m₂|m_l m₁

Teorema 1

G abeliano finito, |G| = p^a, [...]

x G ≃ G(p¹,...) x... x G(p^h), con

G_i: x ∈ G| aord = p^k per qualche k

dunque

|G| = m ⋅ m₁ con ⟺ (m, m₁) = 1

m G = G{M g| ∀ g ∈ G ⟺ G ⊳ G

m₁ G = {m₁ g| ∀ g ∈ G ⟺ G ⊳ G

G ≃ m G x m₁ G

Mostro che G = m G x m₁ G

(...) ≠ m ⋅ m₁...

x ∈ G

Anelli

Def (A, +, ·) è un anello se i) (A, +) g. abeliano ii) · è associativo iii) valgono le leggi distributive

Def A anello si dice commutativo se · è commutativo

Def A anello si dice con identità se ∃ 1_A 1⋄ nel neutro della ⋄ tc. ∀ a ∈ A, a · 1_a = a i. a

Def A anello con idet commutativo si dice campo se ∀ x ∈ A{0} x ∈ invertibile

Def A = 1_a e A1 = {a · è invertibile rispocc. a · a}

Osservazione (A, +) è un gruppo

Def x ∈ A si dice divisore del o se ∃ y ∈ A y ≠ 0 ¬xy = 0

x ∈ A si dice nilpotente se ∃ m ∈ ℕ tc. x^m = o

Def N := {x ∈ A | x nilpotente} D := {x ∈ A | x divide o}

N ⊆ D

Def A si dice dominio (o di integrità) se non ha divisori del o non banali (ossia se D = {o})

Osservazione A Dominio: ax = ay → a (x-y) = o ⇒ a=o v x=y

Prop A* ⋂ D = ∅

i) A finito → A = A* ⋃ D

ii) Imp → D = {a ∈ A* ⋒ D ⇒ ∃ b ∈ A tc. b · a = a^-1

∃ c ∈ A tc. a · c = o · c ≠ o

b · a = (b · a) c · 1 = c · c

(b · ac) b · o = o ⊃ Assurdo

iii) x ∉ D considero φ : A → A¹A

(l’omomdello di gruppi)

ovviamente ker {φ} = {o} ⇒ φ iniettivo si, perché |A| < +∞

(i suriettivo ⇒ ∃ x ∈ A t.c. φ(x) = x ⋄ ↓x -1 → x ⋄ è invertibile

Def Un sottoanello è un sottoinsiema non vuoto di A o anello t.c. è un anello coi le operazioni indotte

Def Σ ⊆ A si dice ideale dd A se (Γ, ⋄) ⊆ (A, +) e ∀, a ∈ A, ∀ x ∈ Σ axεΣ → ∈ A ⊂ Σ ⊆ A ⊂ Σ

Def Σ⊂ A ideale si dice ideale delce sinistro se (Γ, +) ⊂ (A, +), e a

Iàc ⊂ I ∀ a c ∈ A x. si dice ideale blateral se valgono entrambi

Def Ideale generato da un elemento

a ⋄ commutativo = (a) = (x | x ∈ a ⋄ x ∈ A)

dimestica se si verifica che (a) e un idealo ed è il più piccolo idealo di A che contiene a

Def S ⊆ A sottomemura (S) ?, ∑^s {x ∈ Elementi,⌣ i ∈ S, ai ⋄ i = ai ⋄ ai ε A}

Osservazione: S è un idealo di A ed è il più poecolo ydeale si A che contiene S

w) (S) ⊂ (T) ⇒ ∀ sε S sε (T)

im_i∑₀