Algebra e Geometria - Teoremi principali

Teorema di Binet

Definizione

A, B [matrici quadrate, con stesso ordine, e valori in K].
det (A · B) = det A · det B

Dimostrazione

• Altro teorema: Se A [M. quadrata, nxn] e E [M. elementare quadrata, nxn] allora det(A· E) = detA· detE

Dimostrazione Binet:

• Se detA e detB ≠ 0 allora: A = E ·.... · E₁ k––(per l’altro teorema)→ det(A·B) = det(E) · .... · det(E) · det(B)₁ k––(per l’altro teorema)→ det(A) = det(E) · .... · det(E)₁ k
  det(A · B) = det(A) · det(B)
• Se (detB o) detA = 0 allora:
  Dato che: ρ(A·B) ≤ min{ρ(A), ρ(B)}
  Se il detA = 0 allora ρ(A) non è massimo → ρ(A·B) non è massimo → det(A·B) = 0
  Quindi: det(A· B) = det(A)· det(B) → 0 = 0 · detB (sempre vera)

Teorema di Rouche-Capelli

Definizione

A e (A|b) [matrice incompleta e completa], rappresentano un sistema lineare che:

• 1) Se | nessuna soluzioni. n è il numero di incognite.
• 2) Se [sistema compatibile] una sola soluzione.
• 3) Se [sistema compatibile] infinite soluzioni.

Dimostrazione

Ax = b questa relazione richiede che:
b [vettore noto] sia l'immagine di x [vettore ignoto] ottenuta mediante un'applicazione lineare F: K → K associata ad A.
Si ha che: Ax = F(x)
Il sistema ammette soluzione solo se b fa parte dell'immagine di F quindi quando ρ(A) = ρ(A|b).

• Se x [soluzione di (A|b) | Ax = b] e v [è una soluzione di (A|0) | Av = 0] allora esiste: A(x + v) = Ax + Av = b + 0 = b
  Lo spazio delle soluzioni (ottenuto traslando il nucleo con il vettore x) è il sottospazio affine:
  Sol(A|b) = x + Sol(A|0)
  Quindi: dim(Sol(A|b)) = dim(Sol(A|0))
• Applichiamo il teorema della dimensione secondo cui: dim(Ker) = n - ρ(A)
  Ottenendo: dim(Sol(A|b)) = dim(Ker) = n - ρ(A)

Teorema di Grassmann

Definizione

Dato V [spazio vettoriale su K, dimensione finita] e W, U [sottospazi di V].
W + U = {w + u | w ∈ W, u ∈ U} [sottospazio somma di W e U]
W ∩ U [sottospazio intersezione] allora:

• dim(W + U) = dim(W) + dim(U) – dim(W ∩ U)
• Se W ∩ U = {0} allora U e W sono in somma diretta E:
  dim(W + U) = dim(W) + dim(U) ⊕
• Se V = U + W si indica con: V = U W [V si decompone in somma diretta di U e W].

Dimostrazione

B = {v₁, …, v_d} [base di W ∩ U] e d = dim(W ∩ U)