Algebra e Geometria - Teoremi principali

TEOREMI

Teorema di Binet:

Definizione:

A, B [matrici quadrate, con stesso ordine, e valori in K].

det (A · B) = det A · det B

Dimostrazione:

Altro teorema:

Se A [M. quadrata, nxn] e E [M. elementare quadrata, nxn] Allora det(A· E) = detA· detE

Dimostrazione Binet:

• Se detA e detB ≠ 0 Allora: A = E ·.... · E

1 k

––(per l’Altro teorema)→ det(A·B) = det(E ) · .... · det(E ) · det(B)

1 k

––(per l’Altro teorema)→ det(A) = det(E ) · .... · det(E )

1 k

det(A · B) = det(A) · det(B)

• Se (detB o) detA = 0 Allora:

Dato che: ρ(A·B) ≤ min{ρ(A), ρ(B)}

Se il detA = 0 Allora ρ(A) non è massimo → ρ(A·B) non è massimo → det(A·B) = 0

Quindi: det(A· B) = det(A)· det(B) → 0 = 0 · detB (sempre vera)

Teorema di Rouche-Capelli:

Definizione:

A e (A|b) [matrice incompleta e completa], rappresentano un sistema lineare che:

!(!|!) > ! !

1) Se | nessuna soluzioni.

n è il numero di incognite.

!(!|!) = !(!) = !!!|

2) Se [sistema compatibile] una sola soluzione. !!! !

!(!|!) = !(!) < !!!| !!∞ !!

3) Se [sistema compatibile] infinite soluzioni .

Dimostrazione:

Ax = b questa relazione richiede che:

b [vettore noto] sia l'immagine di x [vettore ignoto] ottenuta mediante

n m

F : K → K [applicazione lineare] associata ad A.

Si ha che: Ax = F(x)

Il sistema ammette soluzione solo se b fa parte dell'immagine di F quindi quando ρ(A) = ρ(A|b).

• Se x [soluzione di (A|b) | Ax = b] E v [è una soluzione di (A|0) | Av = 0] Allora

∃ 0 0

A(x + v) = Ax + Av = b + 0 = b

0 0

Lo spazio delle soluzioni (ottenuto traslando il nucleo con il vettore x ) è il sottospazio affine:

0

Sol(A|b) = x + Sol(A|0)

0

Quindi: dim ( Sol(A|b) ) = dim( Sol(A|0) )

• Applichiamo il teorema della dimensione secondo cui: dim( Ker ) = n - ρ(A)

Ottenendo: dim( Sol(A|b) ) = dim( Ker ) = n - ρ(A)

Teorema di Grassmann:

Definizione:

Dato V [spazio vettoriale su K , dimensione finita] e W,U [sottospazi di V].

W + U = {w + u | w W, u U} [sottospazio somma di W e U]

∈ ∈

W ∩ U [sottospazio intersezione] Allora:

dim(W + U) = dim(W) + dim(U) – dim(W ∩ U)

Se W ∩ U = {0} Allora U e W sono in somma diretta E:

dim(W + U) = dim(W) + dim(U) ⊕

Se V = U + W si indica con: V = U W [V si decompone in somma diretta di U e W].

Dimostrazione:

B = {v , … , v } [base di W ∩ U] e d = dim(W ∩ U)

1 d

B = {v , … , v , u , … , u } [base di U] e s = dim(U)

U 1 d 1 s-d

B = {v , … , v , w , … , w } [base di W] e t = dim(W)

W 1 d 1 t-d

∪ ∪

B B B [sistema di generatori di U + W] che dobbiamo dimostrare essere lin. Indipendenti.

U W

• Supponiamo l’esistenza di una combinazione lineare nulla:

v = λ v + … + λ v u = µ u + … + µ u w = τ w + … + τ w

1 1 d d 1 1 s-d s-d 1 1 t-d t-d

v + u + w = 0 v = 0 , v + u = 0 , v + w = 0 u + w = 0 sono combinazioni lineari banali.

• Usando le notazioni iniziali:

dim(W + U) = d + (s – d) + (t – d) = s + t – d = dim(U) + dim(W) - dim(W ∩ U)

Teorema di Lagrange

Definizione:

Dato G [gruppo] e H [sottogruppo] Allora:

|G| è divisibile per |H|

Dimostrazione:

Dato che: ∈ ∈

• aH = { ah | h H , a G } [insieme delle classi laterali (sinistre) di H in G]

• |G| [ordine di G (G è unione o “somma” delle classi laterali)].

• |G : H| [numero delle classi laterali - indice di H in G]

• H aH è biezione a G , h H quindi le classi laterali non hanno elementi in comune.

∀ ∈ ∈

Se G è finito, le classi laterali hanno stesso ordine = |H|

Allora: |G| = |H| · |G:H|

|G| è divisibile per |H| e da come risultato |G:H| (che è intero).

Teorema del completamento

Definizione:

Dato V [spazio vettoriale su K , di dimensione n] e

v , … , v [vettori linearmente indipendenti in V] Allora:

1 k

k ≤ n

1) Se k = n Allora v , … , v è una base.

1 k

2) Se k < n Allora n-k [vettori] v , … , v (in genere, vettori di una base canonica) t.c.

∃ k+1 n

l'insieme ordinato v , … , v , v , … , v è una base.

1 k k+1 n

Dimostrazione (procedimento):

Sia v , … , v [sottoinsieme di V , composto da vettori linearmente indipendenti].

1 k

w , … , w [base (generalmente, canonica) aggiunta al sottoinsieme di V precedente].

1 n

Si ottiene S = (v , … , v , w , … , w ) [insieme ordinato]

1 k 1 n

S genera tutto lo spazio V.

• Si applica l'algoritmo di estrazione di una base che elimina, partendo da sinistra, quei vettori che

sono dipendenti dai vettori precedenti.

I primi k vettori sono indipendenti, l'algoritmo eliminerà soltanto alcuni dei vettori w , ottenendo

i

una base contenente v , … , v (ed eventualmente qualche vettore w ).

1 k i

Teorema Spettrale

Definizione: ∃

t t diag(λ , … , λ )

A = A [matrice reale simmetrica] ↔ Q ortogonale | Q AQ = D = ! !

A è simmetrica, quindi, valgono le seguenti proprietà:

!λ , … , λ

1) Gli autovalori di A sono reali.

! !

2) Autovettori [relativi ad autovalori distinti] sono ortogonali.

! !

∃B !base!di!!R

3) A è ortogonalmente diagonalizzabile → formata da autovettori di A.

Spettro: è l’insieme degli autovalori.

Dimostrazione 1): -1

Ip: Sia Q una matrice ortogonale | Q AQ = D

t

Ts: A è simmetrica [ A = A ] t -1

1) Q è ortogonale [ovvero Q = Q ]:

-1 -1 -1 -1 -1

Q AQ = D → QQ AQQ = QDQ → A = QDQ

t

2) D è diagonale [ovvero D = D ]:

-1 t t -1 t -1 t -1 t -1

Q A Q = D → QQ A QQ = QD Q → A = QDQ

-1 t

1,2) QDQ = A = A