Principali teoremi, Analisi 1

Assioma di Dedekind

A, B ⊂ ℝ t.c. A &union; B = ℝ A &inter; B = ∅a ≤ b ∀ a ε A b ε B⟶ ∃ L ε ℝ t.c. a ≤ L ≤ b ∀ a ε A

Def.

A ⊂ ℝ limitato superiormente ⟶ ∃ c t.c. a ≤ c ∀ a ε A c è un maggiorante di A limitato inferiormente estremo superiore di A

Def.

Sa A ⊂ ℝ limitato superiormente estremo superiore di infestremo inferiore di A e, ∀ ε > 0 ∃ a_o ε A t.c. a_o > L - εestremo inferiore

Teorema:

Se A ⊂ ℝ limitato superiormentelim come detto con conseguenze da Dedekind∃ estremo superione inferiore

Teorema:

∀ ∃ left ∃ m ε ℕ t.c. 1/ 2^m < Lse non fosse vero ⟶ assurdo sp va bene A = {1/m mε ℕ} t.c. m ≥1 m ε ℝ

(1) Se ora L = infL_m, ε > 0. L+ Lε ε A ⟶ ∃ m ε ℕ t.c. 2L> 1/m, L non è A. Assurdo.

Def.

U si dice aperto se ∀ x ε U ∃ x t.c. Bproprietà:(i) ∅ ε ℝ sono aperti;(ii) se {U_i}_j e ci sono aperti 

Def.

A ⊂ ℝ è chiuso se ℝ \ A è apertoproprietà: se {A_i} non chiusi 

Def.

A si dice puntoun chiuso ⟶ A_i (1)A_n è chiuso.

Def.

∅ &profin; ∀ X ε A t.b. fronteira di A ⟶ ∃ x t.c.B_x(0)ε AproprietàA^- chiusura di A ⟶ A = A ∪ ∃ movviamente è ovvio supponiamo che

(i) non fosse vero ⟶ ∃ A_o t.c. F ∀ x = B(x ⟶ ∃ F ∀ x ={F}

Def.

a ε &exists; A detto punto di chiusura ⟶ ∀

Def.

aε ∃ A detto punto di accumulazione

Assiome di Dedekind

A, B ⊆ ℝ t.c. A ∪ B = ℝA ∩ B = ∅a ∈ A⃗b ∈ B => ∃ L ∈ ℝ t.c. a ≤ L ≤ b ∀ a ∈ A b ∈ Bc' ∈ un maggiorante di A

Def.

A ⊂ ℝ limitato inferiormente ↔ ∃ c t.c. a ≥ c ∀ a ∈ ASi A ⊂ ℝ limitato superiormente ↔ L = sup A e detto estremo superiore di A e L’ = ∧{ a ∈ A t.c. a ≥ o Lestremo inferiore

Teorema:

Se A ⊆ ℝ limitato superiormente → ∃ estremo superioredim come diretta conseguenza edo Dedekind

Teorema:

∀ ε > 0 ∃ m ∈ N t.c. 1/_m < εdim se non fosse vero => 1/_m > ε ∀ m → ∃ ε o t.c. ∀ m M < 1/_m : ε o.sia ora A = [½, 1) t.c. M _{n ∈ N} > ε o → ε^{n ∈ N}(1)Se ora L = inf A↔ ∃ ε o t.c. m ∈ N t.c.Z(> L) ⇔ 1 2^m < Z < 1/2_m L non E inf A, Assurdo.

Def.

U si dici aperto se ∀ x_o ∈ U ∃ ε_o t.c. B(x, ε) ∈ U

proprietà:

1. ∅ ε i R sono aperti
2. se {U_i} i son aperti → ∪ {U_i} ω è aperto
3. se U₁, U₂ sono aperti → U, ∩ U₂ è apero

Def:

A ⊂ ℝ e chiuso se ℝ a è aperto

proprietà:

1. ∅ ε i R sono chiusi
2. se {A_i} nono chiusi : ∪ {A_i} ω è chiuso

In A_j sono chiusi : ∩{A_i} i è chiuso se, ω A_i sono chiusi in A U A₂ è chiuso.

Def:

⊄ ℒ ↑ R xe^∑ dice punto infinito → ∃ ε ∈ o t.c. B(ok, ε ⊂ Ac.b ∈ B(x, ε)

Def:

F = Â ⊆ i R, x ∉ Ô Â ↔ ∃ o A⬅frontiera di A ↔ ^⊕ ε ne B(x, ε)<a,b ∈ B(x,ε)

proprietà

 – chiuso di A ⊃  =  ⊗ Â

dim: un contenimento η οvio, mostrarò l' altro.na a a ∈ Â ƒ ω. na a ∉ Â A

affariamo che ₣ ƒF ⊇ Â ε o η (1) non fosse vero → Ƒ così coo A ɛ F

= a ε η fofo.

=> ∃ ο ℒ ^¹