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Traccia di Dedekind
A, B &element; ℝ t.c. A ∪ B = ℝ
A ∩ B = ∅
x ∈ A ⇒ ∃ a ∈ A t.c. a ≤ x, ∀ b ∈ B
y ∈ B ⇒ a ≤ y
Def
A ′ limitato inferiormente se ∃ c t.c. c ≤ a ∀ a ∈ A
c è un maggiorante di A
Def
A ′ limitato superiormente
Teorema
Se A ′ limitato inferiormente ∃ estremo inferiore
Teorema
∀ ε > 0 ∃ m ∈ ℕ t.c. 1/m < ε
Se L ′ inf A ⇒ ∃ ε > 0
L + ε ∈ A, 1/2n — L non ′ inf A
Def
U si dice aperto se ∀ x ∈ U ∃ ε t.c. B(x, ε ) ⊂ U
Def
A ′ chiuso se ℝ \ A ′ aperto
x ∈ &overline;A ⇔ ∀ ε > 0 t.c. ( B(x, ε ) ∩ A ≠ ∅ )
Def
∃ c ∈ A e ∃ b ∈ ∂A
Proprietà
A ′ chiuso sse &overline;A ∪ ∂A ⊃ &overline;A ∩ A
Teorema:
In A ⊂ R chiuso e limitato ⇒ ∃ a punto di chiusura
Dim:
chiuso e limitato ⇒ ∃ [a,b] ⊃ A no che F∩[a,b] ≠ ∅
- - considera il punto a1
- 2. [a,b]∩F ≠ ∅ ⇒ ∃ [a1,b1] ≠ ∅
- - considera a1, a2, b2, b3, v a2: a1b1=at e t ini co
- - così F≠a1⊃ at quindi non si itera
Teorema:
F chiuso e limitato 1 punto di chiusura
F≠∅ e F punto di chiusura.
Teorema di Bolzano-Weierstrass
A chiuso, infinito e limitato: ∃ punto di accumulazione
Prop:
sup(A+B)=supA+supB
Dim:
∀ε>0 supA-ε/Z non sono più maggioranti ⇒ ∃agb.t.c.
- supB-ε/Z
- a≥supA-ε/Z=>a+b≥supA+supB-ε
- b≥supB-ε/Z
Prop:
sup A=-inf (-A)
Prop:
sup(A)-inf(B)=sup(A-B)
Def:
limn→∞an=a⟺∀ε>0∃B(a,ε),∃N.t.c.∀n>Nan∈B(a,ε)
Teorema (unicità del limite)
Dim:
nuso a, b=lim an a≠b
- => ∃ N, t.c.∀ε>0 uniform M>N, non βB(a,ε)
- 3. N, t.c. ∀ε>0 uniform M>N non βB(a,ε)
- sequiscio proportionate N n &Eps; valgono entrambe le relazioni ⇓ a-ε0 mix che|an-a| 0.
Prop:
an monotona personnelle fani limitato superiore
=> sup an=lim
Prop:
lim an=a
lim an=b
lim an
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