Analisi 1 - teoremi principali per corso

Teorema di Fermat

Sia f definita in e sia f derivabile in punto di massimo o minimo

= ( + , − ),

relativo.

Allora ( )

= 0

Teorema di Rolle

Sia f continua in [a.b] e derivabile in (a,b) tale che Allora (, ()

() = (). ∃ ∈ )| = 0

Teorema di Lagrange ( ) ( )

Sia f continua in [a.b] e derivabile in (a,b). Allora (, ()

∃ ∈ )| =

Corollari del Teorema di Lagrange

1. Se f è derivabile in (a,b) e la sua derivata vale zero in tutti i punti, allora f è la

funzione costante

2. Se due funzioni hanno la stessa derivata, queste differiscono per una costante

3. Sia f continua in [a.b] e derivabile in (a,b). Allora se la derivata è positiva la funzione

sarà strettamente crescente, al contrario se la derivata è negativa la funzione sarà

strettamente decrescente

Calcolo di limiti con teorema di De L’Hopital

Siano derivabili n volte in un intorno di , e sia

, : → ℝ () ≠ 0.

( )

Sia con una forma indeterminata del tipo oppure

lim ∈ ℝ

( )

→

Allora quel limite si può risolvere tramite derivazione delle due funzioni separate: per cui si

( )

calcola come lim ( )

→

(vale per limiti destri e sinistri, è applicabile più di una volta)

Derivata seconda e concavità

Criterio di convessità e concavità

Sia derivabile due volte in

()

- Allora se la funzione sarà concava verso l’alto

()

> 0,

- Allora se la funzione sarà concava verso il basso

()

< 0,

Polinomi di Taylor con Resto di Peano

Ordine di infinitesimo

L’ordine di infinitesimo di una funzione è la gerarchia con la quale tende all’infinito rispetto

ad altre funzioni della stessa classe: (polinomi di grado diverso, …)

Metodi per calcolare l’ordine di infinitesimo di una funzione

( )

1. Calcolare In questo caso è l’ordine di infinitesimo (utile per

lim = ≠ .

→

polinomi veloci)

2. L’ordine di infinitesimo di una funzione complessa si può trovare scrivendo il

polinomio di Taylor di quella funzione, e il primo grado non nullo sarà l’ordine di

infinitesimo di quella funzione

Formula di Taylor con resto di Peano

Sviluppi rapidi

Criterio per punti di massimo e minimo con sviluppi di Taylor in

Sia derivabile n volte, e tutte le derivate fino al grado siano nulle (quindi in

() − 1

( )

simboli: ( )

= 0 ∀ = 1, … , − 1)

Allora: ( )

- Se n è dispari e allora è punto di flesso

≠ 0,

( )

- Se n è pari e allora:

≠ 0,

Se il coefficiente della derivata è negativo, è punto di massimo

o

Se il coefficiente della derivata è positivo, è punto di minimo

o

Integrali (propri)

Integrali indefiniti – primitive fondamentali

È detta primitiva di quella funzione tc

=

Viene detto integrale di quella famiglia di funzioni che racchiude tutte le primitive di si

:

indica con ∫ ()

Metodi di calcolo – integrazione per parti

L’integrazione per parti è un metodo che si usa quando si riconosce un funzione da

integrare, composta da una funzione e da una derivata di un’altra funzione

L’idea è di derivare quella funzione g, così da arrivare ad un integrale immediato dopo n

passaggi per parti ∫ ′ = − ∫ ′

, logaritmi e arctg vanno sempre presi come g (come funzioni da derivare), funzioni

trigonometriche e possono essere prese come f in quanto la primitiva è facile da

calcolare

Particolarità

- ∫ log() = 1 ∗ log()

∫

- ∫ () = 1 ∗ ()

∫

- (non conosco la primitiva di quindi per forza si ha

∫ ∗ log log = ′)

Metodi di calcolo – integrazione per sostituzione

L’integrazione per sostituzione si usa quando si riconosce una funzione composta come

argomento di una funzione ()

∫ () ∗ = ∫ () = (), =

Integrali definiti

Sia [a,b] intervallo chiuso e limitato. Si definisce partizione di [a,b] un insieme ordinato di

punti tc Una partizione definisce quindi n intervalli del tipo

= < < < ⋯ < = .

[ ]

,

Sia poi f limitata in [a,b]: per il teorema di Weierstrass esisteranno massimi e minimi, o

almeno estremi superiori e inferiori di f Si definiscono le somme inferiori

come somma di tutti i ∗

ovvero la somma tutti i

( ),

−

rettangoli sottesi dal grafico di f; si

definiscono somme superiori come

somma di tutti i ( ),

∗ −

ovvero tutti i rettangoli sopra il

grafico di f

“assumendo partizioni sempre più fitte” si riduce l’errore tra le somme inferiori e superiori

Sia e

{()

= } = {() ,

si ha che ma per assioma di completezza se questo

< ∀ ∈ ∀ ∈ , ∃ : < < :

è unico (∃! allora si dice che f è Riemann integrabile in [a,b]

: < < )

Da qui la caratterizzazione delle funzioni integrabili:

f è integrabile in [a,b] se [, |()

∃ ] − ()| < ∀ > 0

Proprietà dell’integrale definito

- Additività: sia allora spezzo gli estremi in c

< < , = +

∫ ∫ ∫

- Linearità: ∫ ∗ + ∗ = ∫ + ∫

- Isotonia: sia Allora

< ∀ ∈ [, ]. ≤

∫ ∫

Teoremi per integrali

Teorema di Torricelli

Sia continua: allora la funzione integrale è una primitiva di

[,

: ] → ℝ ()

Calcolabilità di un integrale – teorema della media integrale

Sia continua, allora

[, [, (

: ] → ℝ ∃ ∈ ] () = () ∗ − )

∫

Teorema fondamentale del calcolo integrale – come si calcola un integrale definito

Sia continua, e sia

[,

: ] → ℝ ′() = ()

Allora () = () − ()

∫

Integrali generalizzati

Funzione con limiti infiniti in corrispondenza degli estremi di integrazione

- Se f illimitata in a: lim ()

∫

→

- Se f illimitata in b: lim ()

∫

→

Integrale con estremi di integrazione infiniti

- Per = −∞: () = lim ()

∫ ∫

→

- Per = +∞: () = lim ()

∫ ∫

→

Integrali impropri

Convergenza – teoremi per determinazione

Convergenza per confronto asintotico ( )

Siano e due funzioni tc Si scriverà che le due funzioni sono

() () lim = ≠ 0.

( )

→

asintotiche a :

()~()

Allora la convergenza di implica la convergenza di

() ()

∫ ∫

Criterio del confronto

Una funzione maggiore all’infinito, o minore a 1 schiaccia o spinge un’altra funzione

Siano e due funzioni continue in tc

() () (, ] 0 ≤ () ≤ ()

- Allora se diverge, diverge anche spinge

() ()

∫ ∫

- Allora se converge, converge anche schiaccia

() ()

∫ ∫

Integrali notevoli > 1, ∀

- converge se

∫ = 1, > 1

)

∗( > 0, ∀

- converge se

∫ = 0, > 1

∗

- converge se ma converge se

> 1, < 1

∫ ∫

Serie numeriche

Una serie è la somma n-esima dei primi n termini della successione considerata, detta

termine generale

Convergenza di una serie – condizione necessaria

Se la serie converge, allora la successione deve essere infinitesima:

∑ lim = 0

Convergenza di una serie – teorema di Cauchy per convergenza

Una serie è convergente se, da un certo numero in avanti, tutti i termini della serie

convergono a 0: ∑

∀ > 0, ∃ ∈ ℕ ∀ > , ℎ = +⋯+ <

Convergenza di una serie – teorema del resto

Definizione di resto

Il resto n-esimo si definisce come la somma di tutti i termini da in avanti:

0 ≤

ovvero una successione

= + + ⋯ = >

Teorema

Una successione è convergente se il resto converge a 0: ∑ ⇔ lim = 0

Serie caratteristiche

Serie geometrica

- converge se

∑

Serie “reciproca”

- converge se

∑ > 1

Serie a termini non negativi

Una serie a termini non negativi è una serie dove il termine generale è positivo per ogni

valore di n: ∑ è > 0 ∀

Teoremi di convergenza per serie a termini non negativi

Criterio del confronto

Una successione più grande schiaccia o spinge un’altra

Siano e due successioni a termini non negativi, tc

0 ≤ ≤

- Allora se converge, converge anche

- Allora se diverge, diverge anche

Criterio del confronto asintotico

Siano date due successioni a termini non negativi, tc , ovvero

~ lim =≠0

Allora se una serie converge, converge anche l’altra

Criterio del confronto tra serie e integrale

Sia una funzione continua, positiva, decrescente

[1,

: +∞) → ℝ

Allora