Prima parte del corso di Analisi 2

SERIE

Serie: Sia una successione _n ∈ ℝ, definiamo ∀ n ∈ ℕ la successione (S_n)n ∈ ℝ

S_n = ∑ a_k = a₀ + a₁ + ... + a_n serie n-esima o somma parziale;

e chiamiamo la coppia ( (a_n), (S_n)n ) serie di termine generico a_n

e lo indico con il simbolo ∑ a_n oppure ∑ a_n

Chiamiamo S = ∑ a_n = lim S_n se S_n → +∞ allora la serie si diverge

convergente, se S → a ó

Serie geometrica:

∑ x^k = 0 x = 0 allora la serie converge a 0

= 1 + x + x² + ... k = 0

x≠1

|x| < 1 S_n = 1 - x^k+1/ 1 - x lim 1 - x^k+1/ 1 - x = 1/1 - x converge

x < 1 S_n = 1 - 1/x^k+1/ 1 - 1/x lim 1 - x^k+1 = x / 1 - x

S_2k = 1 - x^2k/ 1 - x lim 1 - x^k+1/ 1 - x = x

S_2k+1 = 1 - x^2k+2/ 1 - x

Serie resto:

Sia ∑ a_n definiamo k un certo k ∈ ℕ {n} + 1

insieme a tutti i termini fino a n lo Lo serie iniziale e lo serie reso hanno lo stesso carattere

S_n = ∑ a_k + ∑ a_n = S_n + S_n

TEOREMA (condizione necessaria per la convergenza)

Sia ∑ a_n uno serie o termina generico, se esso converge allora lim a_n = 0

Dati della ipotesi converg lim S_n = S

a_{n = ∑ an = ∑ an = Sn - Sn+1}

Serie armonica:

∑ 1/k = 1/p

S_n = 1+ 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + 1/n_-1

SERIE

Serie: Sia una successione \( (a_n)_n \subseteq \mathbb{R} \), definiamo \(\forall n \in \mathbb{N}\) la successione \((S_n)_n \in \mathbb{R}\)

\( S_n = \sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + ... + a_n \)

serie n-esima o somma parziale;

e chiamiamo la coppia \(( (a_n)_n , (S_n)_n )\) serie di termine generico \(a_n\)

e la indiciamo con il simbolo

\(\sum_{k=0}^{\infty} a_k\) oppure \(\sum a_n\)

Chiamiamo \( S = \sum_{k=0}^{\infty} a_n = \lim S_n \)

se \( S < +\infty \) allora la serie si dice convergente, se \( S = \pm \infty \) allora la serie si dice divergente

Serie geometrica:

\(\sum_{k=0}^{\infty} x^k\)

se \( x = 0 \) allora la serie converge a 0

se \( x = \frac{1}{2} \) allora

\( S_1 = 1 , S_2 = 1 + \frac{1}{2}, S_3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}, S_{n+1} = 1 + \ldots + \frac{1}{2^{n}} = 2 \)

\( \lim_{n \to \infty} S_n = 2 \)

se \( x = 1 \) allora \( S_n = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n = n+1 \)

quindi la serie è indeterminata

\( x = -1 \)

\(\left.\right|\)\( x\left. \right|\) < 1 \) allora \( S_n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \)

\(\lim S_n = \frac{1}{1-x} \quad \text{converge}\)

\( x = 1 \)

\( S_n = 1 + 1 + \cdots + 1 = n+1\)

\( x > 1 \)

\( S_n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \)

\( \lim_{n \to \infty} x^n = +\infty \)

\( x < 1 \)

\( S_{2k} = 1 - x^{2k} \frac{1-x^{n+1}}{1-x^2} \)

\( \lim S_n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x^2} \)

\( \lim_{x \to \infty} 1 - x^{2k}x^n = \infty \)

\( S_{2k+1} = 1 - x^{2k+1} \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \)

\( \lim_{x \to \infty} 1 - 2x^{k+1} = -\infty \)

Serie resto:

Sia \(\sum a_n\), definiamo con un certo \( h_0 \in \mathbb{N}\) una serie resto

togliendo tutti i termini fino a \( h_0 \). Le serie iniziale e la serie resto hanno lo stesso carattere

\( S_n = \sum_{k=0}^{n} a_n\) = \(\sum_{k=0}^{h_0} a_n + \sum_{k=h_0+1}^{n} a_n = S_{h_0} + \tilde{S}_n \)

Teorema (condizione necessaria per la convergenza)

Sia \(\sum a_n\) una serie a termine generico, se essa converge allora \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0 \)

Dim dalle ipotesi converge \(\lim S_n = S \)

\( a_k = \frac{a_k}{k=0}^{n} a_n\), \(\sum_{k=0}^{n} a_k = S_n = S_{n+1}\)

\( \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = \lim ( S_n - S_{n+1} ) = S - S = 0 \)

Serie armonica:

\(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\)

\( S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} \)

S₁ = 1

S₂ = 1 + 1

S₄ = 1 + ¹⁄₂ + ¹⁄₃ + ¹⁄₄ ≥ ³⁄₂ + ¹⁄₄ = 1 + ¹⁄₄

S₈ = S₄ + ¹⁄₅ + ¹⁄₆ + ¹⁄₇ + ¹⁄₈ ≥ 1 + ¹⁄₂ + ¹⁄₂ = 2

S₉ = S₈ + ¹⁄₉ + ¹⁄₁₀ + ¹⁄₁₁ + ¹⁄₁₂ ≥ 1 + 1 + ¹⁄₂

S_2k ⇒ 4 + 1 = 4

lim_k S_2k = +∞ diverge

Criterio del confronto

Sia Σ a_n ≤ b_n a termini n