Prima parte del corso di Analisi 2

Serie

Sia una successione (a_n)_n ⊂ ℝ, definiamo ∀ n ∈ ᴺ la successione (S_n)_n ⊂ ℝ

S_n: ∑ a_n = a₀ + a₁ + ... + a_n serie n-esimo o somme parziali

e chiamiamo la coppia: ((a_n)_n, (S_n)_n) serie di termine generico a_n

e lo indico con il simbolo ∑ a_n oppure ∑ u_n

Chiamiamo S = ∑ a_n = lim S_n se S_n ↝ ∞ allora lo serie si diva

convergente, se S ↝ + ∞ allora lo serie si diva divergente

Serie geometrica:

∑ x^k

• x = 0 allora lo serie convergente → 0
• se x = 1 allora 1 + 1 + ... = S_n ↝ + ∞ lim = + ∞
• se x = -1 allora 1, 1, 1, ... = S_n ↝ + ∞ lim = + ∞ quind lo serie è indeterminata
• λ = 1 S_n: 1 + x + x^2 + ... + xⁿ = (xⁿ⁺¹-1) / (1-x)
• |x| < 1 S_n: (xⁿ⁺¹-1) / (1-x) lim (xⁿ⁺¹-1) / (1-x) = 1 / (1-x) converge
• x > 1 S_n: 1-xⁿ⁺¹ / 1-x ↝ + ∞
• x < -1 1-xⁿ⁺² / 1-x ↝ + ∞

Serie resto:

Sia ∑ a_n definiamo d con certo u_n M ∈ N/u_n M per lo serie resto

troghando il toti termini fino a lo M lo serie inizide e lo storie resto

hanno lo stesso carattere

S_n: ∑(k=0)^M a_n = ∑(k=0)^M+1 a_n + S_n

Teorema (condizione necessaria per lo convergenza)

Sia ∑ a_n una serie a termine generico, se esso converge allora lim u_n = 0

dim dalle ipotesi conveg lim S_n = S

a_n = S_n - S_n+1

a_n = S_n + ∑(k=0)^M a_n = 3 + S_n

⇒ lim a_n = lim S_n - S_n-1 = S - S = 0

Serie armonica:

∑(k=1)ⁿ⁺⁴ 1/k = S_n + 1/4 + 1/3 + ... + 1/n + 1/n+4

S₁ = 1

S₂ = 1 + ¹⁄₄

S₄ = 1 + ¹⁄₄ = ³⁄₄ + ³⁄₄ = ¹⁄₂ + ¹⁄₂ = 1 + 2 . ¹⁄₂

S₈ = S₄ + ¹⁄₄ + ¹⁄₄ + ¹⁄₄ + ¹⁄₄ + ¹⁄₄ + ¹⁄₄ = ¹⁄₂ + ¹⁄₂ + ¹⁄₂ + ¹⁄₂ = 1 + 3 + ¹⁄₂

S_2k = A + k . ¹⁄₂ → lim S_2k = +∞ diverge

Criterio del confronto

Sia Σ a_n e Σ b_n a termini non negativi, sia ∀n &egr; IN a_n≤b_n

Allora:

• se Σ b_n + ∞ → Σ a_n + ∞
• se Σ a_n + ∞ → Σ b_n + ∞

Dim

Supponiamo Σ b_n < +∞

chiamiamo (S_n) la successione delle somme parziali di Σ a_n e (t_n) di Σ b_n

Se a_n ≤ b_n → S_n ≤ t_n ∀n per induzione

p(0) → a₀ ≤ b₀ S₁

p(k) → p(k+1) A_n+1 ≤ b_n+1 → A_n + a₀ ≤ b₀)

quindi se Σ b_n converge, quindi per il teorema del confronto di AMY lim S_n < +∞

Supponiamo Σ a_n = +∞

→ lim S_n + ∞ → lim t_n + ∞ Σ b_n diverge

Serie di Mengoli:

Σ_k=1⊃∞ ¹⁄_k(k+1) = 1

¹⁄_k(m+1)

Σ n ( 1 - ¹⁄_k ) + ( ¹⁄_k n+¹⁄_k) = 1 - ¹⁄_u

→ lim S_n = 1 converge

Serie armonica generalizzata:

Σ_n=1⊃∞ ¹⁄_n^u

• u < 0 non è verificato ¹⁄_n^u = 0 → diverge
• u &egr; (0,1] ¹⁄_n^u → diverge
• u = 2 forall (n+1)² equivalent (n)(n+1) → converge
• u > 2 1