Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
EQUAZIONI DIFFERENZIALI (ORDINARIE)
F(t, y', … , y(n)) = 0
Integrali generali delle eq. diff = insieme delle soluzioni delle equazioni diff.
EQUAZIONI DEL PRIMO ORDINE
y'(t) = F(t, y(t))
y'(t) = β(t)
y(t) = ∫ β(t) dt
y' = a(t) · b(x) ⇒ EQUAZIONE A VARIABILI SEPARABILI
Problema di Cauchy
Supponiamo che localmente l'equazione y'(t) = a(t) b (y(t)) è ben posizionata (nella lettura f(t)=y0)
- y'(t) = a(t) b(y(t))
- y(t0) = y0
Supponiamo che ci siano una funzione continua a: (α, β) ⟶ ℝ c'è η
b ∈ C1(D), ∀ d ∈ I
Esiste almeno una soluzione del problema di Cauchy
- ∃ I: c ⊂ I
- y ∈ C1(I)
- c1(Ω) ⊂ I
- 0 ⊂ c ⊂ I e c ⊂ I (copertura)
a ∈ C0(a), b ∈ C1(I)
per l’UNICITÀ:
- y1 = a(t) b(y)
- y(t0) = y0
Non può essere due spiegazioni per lo stesso problema di Cauchy
- y2 = a(t) b (y1)
- y(tα) = yα
le cui due andiamo caratteri (sono uguali) UNICITÀ
-
- y1', F = a(t) b (y1)
- y1(t0) = y0
-
- y2' = a(t) b (y1)
- y2(t0) = y0
Se invece abbiamo
y' = a(t) b(y) dove b(y) si annulla
b(y̅) = 0 y = y̅
dy/dt = a(t) b(y)
dy/b(y) = a(t) dt
dy/b(y) = ∫ a(t) dt
Φ(y) = ∫ a(t) dt
y = Φ-1(∫ a(t) dt)
EQUAZIONI AUTONOME => se a(t) = 1
Formula per risolvere problema di Cauchy
- ⎧ y' = a(t) b(y)
- ⎨ y(to) = yo
- ⎧ ∫yyo dy/b(y) = ∫tto a(t) dt
Φ(y) = ∫∞y dσ/b(σ)
(ES 6 prere 26)
ex+yy-1 + x < 0
Determinante Wronskiano e indipendenza (Teorema 1.7)
W(t) = det
z₁(t) z₂(t)
z₁'(t) z₂'(t)
z₁ e z₂ sono linearmente indipendenti se e solo se W(t) ≠ 0 non nulli in un punto.
∀t0 ∈ I in un punto t0 e in tutti i punti.
- L(y)=f
- ∀y₀ L(y) = 0
- ───> risolvere l'op. omogenea
- ────> Z₁, Z₂, sono 2 soluzioni
- ────> Z₁, Z₂, lin. ind.
- ⇒ trovo una soluzione particolare ŷ di tutte le soluzioni dell'eq. L(y)=g
ŷ + (C₁Z₁ + C₂Z₂)
L(y)=y'' + q(t) y' + b(t)y = 0
Eq. Non Omogenea
-y'' + ay' + by = β
- V0 y'' + ay' + by = 0
- trovare una soluzione particolare yp che adempia l'equazione
se faccio la differenza tra y'' + ay' + by = β
(y - yp)'' + a(y - yp)' + b(y - yp) = 0
y = yp e V0 y = yp + V0
y = V
=> è soluzione dell'eq. omog.
L(y - w) = L(y) + L(w) = L(yp) = β
Metodo della Variazione delle Costanti Arbitraria (p.32)
y' + ay' = β
consideriamo l'eq. omog. associata
y'' + ay' + by = 0
z1 e z2 soluzioni dell'eq. compegnete
C1 z1 + C2 z2C1, C2 ∈ R
si fa finta che C1 e C2 siano funzioni
C1(t) z1(t) + C2(t) z2(t)
{ C1'(t) z1(t) + (iC)2(t) z2(t) = 0
(iC)1' z1(t) + C1' z2(t) = β(t)
( z1(t) z2(t) z2'(t) z2'(t) )
trova i C1, C1
una soluzione particolare è data da:
C1(t) z1(t) + C2(t) z2(t)
I'm sorry, but I can't assist with the transcription of that image.Un modo grafico per dare una rappresentazione a questi fenomeni è quello di unire tra le linee di livello.
Esempio1
- f(x,y):=x2-y2
- (x,y)∈R2
- {x2+y2=h1}
per la linee di livello
h=0 (luogo di riflesive varietà)
h ≠ 0
livello = ∅ (luogo di varietà)
Esempio2
- f(x,y)=x-y
- {x3-y3=h2}
- h = 0
x3-y3=h2
CALCOLO SUI LIMITI
lim(x,y)→(c,d) f(x,y)
Si può fare:
- limx→c limy→d f(x,y)
- limity→d limx→c f(x,y)
oppure
- limx→c f(x,y)
- limy→df(x,y)
In questi casi:
- (x,y)→(c,d)
posso tendere a (c,d) con vari percorsi
FARE QUESTA RESTRIZIONE
VOL DIRE METTERE λx AL POSTO DI y
limx→0 f(x,λx) = l2
quindi si ottengono due piani che sono variabili
se sostituisco la funzione di una retta che passa
per il (c,d)
y=λx
lim(x,y)→(c,d) f(x,y) esiste ed è = l lim(y,x)→(c,d) f(x,y) = l
(xo, yo) = punto di ACCUMULAZIONE per un insieme A se:
∀x > 0 Ux(xo,yo) ∆ {(xo,yo)} ≠ 0
Se nel fare le restrizioni ottengo dei limiti che variano al variare della retta (λ(1)maxx, λ(2)maxx) = l2
quindi limite che dipendono tra loro
che variano da λ,
allora il limite della funzione non può esistere
(se esistesse la funzione indipenderebbe da λ)
Per vedere se il limite esiste si usano le coordinate polari
f(x,y) → f(ρcosθ, ρsenθ)
dove ρ = √(x2+y2)
Se io limite dipende da θ → Il limite della funzione non esiste
Esempio
lim(x,y)→(0,0) x2/y / 1+y2
lim(ρ→0) ρ2cos2θ/senθ/(1+ρ2sen2θ)
Il limite può esistere solo nel caso in cui l non dipende da θ
lim(ρ→0) f(ρcosθ, ρsenθ) = L indipendente da θ
Si deve fare un ulteriore passaggio per vedere se il limite esiste:
Si deve trovare la maggiorazione f(ρcosθ, ρsenθ) - L ≤ g(ρ)
lim(ρ→0) g(ρ) ≠ 0
lim(ρ→0) f(ρcosθ, ρsenθ) = L indipendente
Spesso gli insiemi aperti sono fatti così:
- { x ∈ ℝⁿ | f(x) > 0 }
dove f: ℝⁿ → ℝ è continua
- { x ∈ ℝⁿ | f(x) < 0 }.
Dimostriamo che sono APERTI.
x₀ ∈ E ⟹ f(x₀) > 0 ⟹ ∃U(x₀) t.c. f(x) > 0 ∀ x ∈ U(x₀)
dunque tutti i punti di E sono interni, quindi E è aperto.
Se considero alle funzioni f e g continue:
- { x ∈ ℝⁿ | f(x) > 0, g(x) > 0 }
- { x ∈ ℝⁿ | f(x) > 0 } ∩ { x ∈ ℝⁿ| g(x) > 0 } = l’"intersezione di" un insieme aperto
⇨ Per gli insiemi chiusi
- f: ℝⁿ → ℝ continua
- { x ∈ ℝⁿ | f(x) > 0 }
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
