Prima parte appunti Analisi 1

Il concetto di insieme è primitivo

A, B, C, ... insiemia, b, c, x, y, ... elementix ∈ A → "x appartiene ad A"x ∉ A → "x non appartiene ad A"

Esempio

ℕ insieme degli interi naturaliℕ = {0, 1, 2, 3, ...}1 ∈ A ; -2 ∉ A

Simboli:

• ∀ - "per ogni"
• ∃ - "esiste"
• ∄ - "non esiste"
• ∃! - "esiste uno ed uno solo"
• => - "implica"
• <=> - "se e solo se"

Inclusione tra insiemi:

A, B insiemiA ⊂ B ⟺ ∀ x ∈ A ; x ∈ BA = B ⟺ A ⊂ B e B ⊂ AA ⊂ B ⟺ A ⊂ B e A ≠ B esiste almeno 1 elemento di B che ∉ A∅ insieme vuoto∅ ⊂ A ; A è un insieme qualunque

Esempio:

A = {2, 3, 5, 7}

A ⊄ ℕ; A ∩ ℕ ≠ ∅ perché 9 ∈ A

1 ∈ A ∩ ℕ

Unione tra insiemi:

U insieme universo

A, B ⊆ U

A ∪ B ::= {x ∈ U : x ∈ A o x ∈ B}

Unione di A e B

A ⊆ A ∪ B, B ⊆ A ∪ B

Esempio:

A = {2, 9,17, 24} ⊆ ℕ

B = {3, 5, 17, 18}

A ∪ B = {2, 3, 5, 9, 17, 18, 24}

Intersezione tra insiemi:

A, B ⊆ U

A ∩ B ::= {x ∈ U : x ∈ A e x ∈ B}

A ∩ B ⊆ A

A ∩ B ⊆ B

Se A ∩ B = ∅ si dice che A e B sono disgiunti.

Esempio:

A = {2,3, 7}

B = {1,3}

A ∩ B ={3} ; ∈ 5, 6,9;

B ∩ C = ∅

Insieme differenza:

A, B ⊆ U

B \ A ::= {x ∈ B : x ∉ A}

Terna ordinata:

A₁, A₂, A₃ insiemi

(a₁, a₂, a₃) a₁ ∈ A₁, a₂ ∈ A₂, a₃ ∈ A₃

Prodotto cartesiano di A₁, A₂, A₃

A₁ × A₂ × A₃ = {(a₁, a₂, a₃): a₁ ∈ A₁, a₂ ∈ A₂, a₃ ∈ A₃}

In generale non vale la prop. commutativa.

A × A × A = A³

Prodotto cartesiano di un numero finito di insiemi:

Sia m ∈ ℕ, m ≥ 2 e siano

A₁, A₂, ..., A_m m insiemi

m = 2 ⇨ A₁, A₂, A₁ × A₂

m = 3 ⇨ A₁, A₂, A₃, A₁ × (A₂ × A₃) = (A₁ × A₂) × A₃

n-pla ordinata:

(a₁, a₂, ..., a_m) a₁ ∈ A₁, a₂ ∈ A₂, ..., a_m ∈ A_m

q_i ∈ A_i, i = 1, 2, ..., m

A₁ × A₂ × ... × A_m × A_m := {(a₁, a₂, ..., a_m): a_i ∈ A_i, i = 1, 2, ..., m}

Oss: In generale non vale la prop. commutativa.

2. Se A₁ = A₂ = ... = A_m = A allora:

A^m := A × A × A × ... × A m ∈ ℕ, m ≥ 2

Esempio:

ℤ := {0, ±1, ±2, ..., ±3}

sintoni{¹}

-3 -2 -1 0 1 2 3

ℕ ⊂ ℤ, ℕ ≠ ℤ vorche -1 ∉ ℕ

p²/q² = 2, p² = 2q² -> p² e pari -> p e pari

p = 2m in (1), k m² = 2q², q² = 2m²

q² e pari -> q e pari assurdo!

oss: p² non -> p e pari

Se p fosse dispari, p = 2m + 1; p² = 4m² + 4m + 1 e dispari

Insieme Limitato:

∅ ≠ A ⊂ ℝ

Def: Si dice che A è limitato se A è limitato inf. e sup.

Es: [0,1] è limitato

Es1: [0,+∞) non è limitato

Massimo di un Insieme:

Si dice che x₀ ∈ ℝ è il più grande elemento di A se:

1. x₀ ∈ A,
2. ∀x ∈ A, x ≤ x₀.

Lemma:

Se x₀ è il più grande elemento di A, allora esso è necessariamente unico.

Dim: Siano x₁ e x₂ più grande elemento di A:

x₂ ≤ x₁ e x₁ ≤ x₂ → x₁ = x₂

Notazione:

max A: denota il più grande elemento di A

Es: A = [0,1], max A = 1

Es2: A = [0,1), ∄ max A poiché:

1. Per assurdo sia x₀ = max A
2. x₀ ∈ [0,1), x₀ < 1
3. ∀x ∈ [0,1), ∃ y ∈ [0,1) : x₀ < x₀

Per la proprietà di densità: ∃ x ∈ ℝ, x₀ < x < 1

Minimo di un Insieme:

Def: Si dice che x₀ è il più piccolo elemento di A se:

sup A = max A + 1

A è limitato inf., poiché ∀m ≥ 1: 1/m > 0 di conseguente inf A ≥ 0

Proviamo che inf A = 0; infatti:

dobbiamo provare: ∀ε > 0, ∃m ∈ ℕ: 1/m <= ε

1/m <= ε → 1/ε <= m

1/ε > 0, ε m

Per la proprietà di Archimede: ∃m ∈ ℕ: m > 1/ε

inf A = 0, 0 ∉ A ⇒ ∃ λ min A

Esercizio: ℕ ⊂ ℝ non è limitato superior.

∀ x > 0, ∃ m ∈ ℕ t.c. m > x

è vero per la prop. Archimedea

sup ℕ = +∞

Teorema di Esistenza della Radice n-esima:

∀n ∈ ℕ, n ≥ 1 ∀b ≥ 0, ∃! x ≥ 0: xⁿ = b x = ^n√b

Cenno di dim:

A = { x ∈ [0, +∞); xⁿ <= b} ≠ ∅, 0 ∈ A

Si dimostra:

1. A è limitato superior.;
2. ∃ sup A ∈ ℝ
3. (sup A)ⁿ = b

Oss.: 1. Unicità segue da:

∀ m ∈ ℕ, m ≥ 2, 0 ≤ x₁ ≤ x₂, x₁^m ≤ x₂^m

2. Se m è pari, x^m > 0

1 - x² ≥ 0

1 - x² ≤ |x-2|² con r₂ ≥ 0

{ x² - 4 ≥ 0

{ 1 - x² ≤ x² - 4x + 4

|x| ≤ 1 - (0√)x = x|)

{ x ≥ x² ≤ 0

∀x ∈ ℝ

2x² - 4x + 3 ≥ 0

x_1,2 = 2± √4 - 6 2

No sol.

|x| ≤ 1 ↔ -1 ≤ x ≤ 1 ↔ x ∈ [-1,1]

Quindi:

A = [-1,1]

Disuguaglianza Triangolare:

• ∀x ∈ ℝ, |x + 3| ≤ |x|+|3|
• |x| ≤ R ↔ -R ≤ x ≤ R
• Oss: ∀x ∈ ℝ -|x| ≤ x ≤ |x| (2)

Infatti: se x = 0 ok

se x ≠ 0, x|x| ≥ 0

|x|(|x| - x ⇔ -|x| ≤ x ≤ |x|

Dir: disuguaglianza triangolare.

Fissati x, y ∈ ℝ, per le (2):

-|x| ≤ x ≤ |x| sommando termine,

-|3| ≤ y ≤ |3| e termine le disug., si ottiene:

-|x| - |3| ≤ x + y ≤ |x| + |3|

-|x| + |3| ≤ x + y ≤ |x| + |3|

-|x| + |3| ≤ x + y ≤ |x| + |3|

Oss: se x = 0 o 0 = 0, la disuguaglianza triangolare è vera

Un'osservazione per la (1) anche A non è limitato superiore, => sup A = +∞

m + 1/m ≥ 2 ∀ m ∈ ℕ, m ≥ 1

m = 1 → 2

m = 2 → 2 + 1/2 > 2

m = 3 → 3 + 1/3 > 2

m + 1/m ≥ √m ≥ 1; infatti:

m + 4/m ≥ 2 , m² + 1 ≥ 3 , m² + 1 ≥ 2m

m² − 2m + 1 ≥ 0; (m−1)² = m² − 2m + 1

In conclusione , m + 1/m ≥ 2 ∀ m ∈ ℕ; m ≥ 1

2 ∈ A , 2 è minorante di A

Quindi , min A = 2 => inf A = 2

Esempio: Determinare l'insieme:

A = { x ∈ ℝ : x − 3 ≤ √x²−2x } ∪ { √x²−2x }

x − 3 ≤ √x²−2x

x − 3 ≤ 0 0

x²−2x ≤ 0

x ≤ 3

0 ≤ x (0 ≤ 2)

x ≤ 0 ∪ 0 ≤ x ≤ 3

x ≤ 0 ∪ 0 ≤ x ≤ 3

{ x ≤ 3

x ≤ 0 ∪ 0 ≤ 2

x ≤ 0 ☐ 0 ≤ x ≤ 3

x ≤ 0 ∪ 0 ≤ x ≤ 3

(x − 3 > 0

x²−2x > 0

(x − 3)² ≤ x²−2x