Analisi matematica 1 - prima parte

Scrivere la definizione di funzione e di inversa. La definizione di funzione inversa richiama una funzione e, dato il grafico di una funzione, individuare come è disegnato il grafico della sua inversa.

DEF: Il criterio sia x + y = f(x) ⟹ f(y)

DEF: La funzione che assegna a ogni uscita y ∈ f(D) l'unico ingresso x ∈ D tale che f(x) = y si chiama inversa di f e si indica con il simbolo f^-1.

Si procede che per ogni uscita y ∈ f(D) esiste un solo ingresso x ∈ D tale che f(x) = y quindi f è invertibile e esiste una corrispondenza biunivoca tra D e f(D).

D ⊂ R invertibile in D se vale una delle seguenti condizioni:

1. ∀x₁, x₂ ∈ D, x₁ ≠ x₂ ⟹ f(x₁) ≠ f(x₂)
2. ∀x₁, x₂ ∈ f(D), f(x₁) = f(x₂) ⟹ x₁ = x₂
3. ∀y ∈ f(D) ∃!x ∈ D tale che f(x) = y

x=f^-1(y) equivale a x ∈ D y=f(x)

∀y∈f(y) f^-1(y) è unico quindi f è una corrispondenza biunivoca

GRAFICO DI f^-1

Il punto (x₀, y₀) fa nel grafico di f allora il punto (y₀, x₀) nel piano (x₀, y₀) allora il grafico f^-1 essendo simmetrico rispetto alla bisettrice y=x induce che il grafico di f^-1 in è l'incubo di quello di f per simmetria rispetto alla bisettrice x=y.

Se è nota l'espressione analitica di f, invertibile, l'espressione analitica di f^-1 non richiede di risolvere rispetto x l'equazione f(k)=y.

f: y=x² x≥0

f^-1: x=√y y≥0

5) Scrivere la definizione di funzione inversa.

Definizione di funzione inversa: Data una funzione f: Dato l'oggetto di una funzione invertibile, si vuole distinguere le grafico dalla sua inversa.

Def: Il minimo f: Y = f(X₁) = f(X₂)

Def: La funzione che assegna ad ogni uscita y ∈ f(D) l'unico ingresso x ∈ D tale che f(x) = f(x), viene chiamata inversa di f, e si indica con il simbolo f^-1.

f è invertibile se una relazione biunivoca tra D e f(D) soddisfa un punto P(AB) in f.

(1) ∀x₁, x₂ ∈ D, x₁ ≠ x₂ ⟹ f(x₁) ≠ f(x₂)

(2) ∀x₁, x₂ ∈ ℝ, f(x₂) = x₂ ⟹ x₁ = x₂

(3) ∀x ∈ D || x ∈ D tale che f(x) = y₀

∃ y ∈ f(D) ⟺ ﹛ x = f^-1(y)

⊢ f(y)

♂ ⟹ V ⊆ f

≡ corr ⊃ ∃ x ∈ D tale che f(x) = y₀

Grafico di f^-1

(AB) ⟹ графила ⟹ (CD)

GR2

grafico

* In punto (*0, y) è quel punto ygrafico di ⊥ al piano (y₀,K) nel piano y⁴ = K, essendo simmetrica rispetto alla bisettrice f^-1 (x) deduce che che il grafico di f^-1 incabe di quello di f per ristorna rispetco alla bisettrice

* Se è nota l’espressione analitica di f, invertibile, l'espressione analitica di f^-1 risolve in trovare rispetto a x l’equazione f(k=)

7^OG

♂ ﹇∼﹇y=x²

ψ

y>₀

6)

Dimostrare che la stretta monotonia implica l'invertibilita di una funzione.

Teorema

Teorema 2.1 Una funzione ƒ: D -> R strettamente monotona su D è invertibile in D e inoltre la sua inversa è ancora strettamente monotona.

Dimostrazione Proviamo poi fissare le idee che ƒ è strettamente crescente su D. Siano x₁, x₂ ∈ D e

proviamo che

x₁ < x₂ ⇒ ƒ(x₁) < ƒ(x₂)

Se x₁ < x₂ allora x₁ ≠ x₂ oppure x₂ ≠ x₁ perchè la monotonia stretta di ƒ :

1^° caso si ha ƒ(x₁) ≠ ƒ(x₂) (in entrambi i casi ƒ(x₁) ≠ ƒ(x₂))

2^° caso si ha ƒ(x₁) ≠ ƒ(x₂)

Perciò ƒ è invertibile

Assurdo

Se fosse x₁ < x₂ dove ƒ⁻¹(y₁), poichè ƒ è crescente avremmo y₁ ≠ y₂, Assurdo. Quindi x₁, x₂ ossia ƒ⁻¹(y₁) < ƒ⁻¹(y₂), ƒ⁻¹ è monotonia crescente.

7)

Scrivere la definizione di successione convergente e la definire limito per una successione. Fornire un esempio.

Def. Una successione (a_n) si dice convergente se esiste un numero L∈R per ogni numero: qualunque L >0 esiste un numero definitivamente:

|a_n -L| < L

In altre parole, per ogni £>0 si può trovare un intero N tale che

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