Analisi matematica 1 - prima parte

Scrivere la definizione di funzione inversa. Scrivere la definizione di funzione invertibile in un punto, in un intervallo. Dire quando una funzione è invertibile. Rappresentazione grafica della sua inversa.

DEF.

di funzione che associa x ad y → f^-1(x) = f(y)

DEF.

La funzione che associa x ad y con x = f(y) si indica con f^-1 e si dice inversa di f.

Si procede che per ogni uscita y₀ ∈ f(D) esiste uno solo e univoco x ∈ D tale che f(x) = y₀, f è invertibile. E sussiste una corrispondenza biunivoca tra D e f(D).

f: D → R è invertibile in D se vale una delle seguenti condizioni:

• ∀x₁, x₂ ∈ D, x₁ ≠ x₂ → f(x₁) ≠ f(x₂)
• ∀x₁, x₂ ∈ D, f(x₁) = f(x₂) → x₁ = x₂
• ∀y ∈ f(D) ∃! x ∈ D tale che f(x) = y

∀y ∈ f(y) è unico e esiste 1 solo elemento.

f: x → f(x)

x ∈ D

equivale a

f^-1: x = f^-1(y)

y ∈ f(D)

GR_AGCO DI f^-1.

[Immagine grafico]

Se è nota l'espressione analitica di f invertibile, l'espressione analitica di f^-1 si trova risolvendo rispetto a x l'equazione f(x) = y.

Es.

f: { y = x² x ≥ 0

f^-1: { x = √y y ≥ 0

[Immagine grafico f e f^-1]

Dimostrare che la mera monotonia implica l'invertibilità di una funzione

Teorema

Teorema 2.4: Una funzione f, D → R strettamente monotona è invertibile in D oltre che suriettiva, anche strettamente monotona.

Dimostrazione

Dimostriamo per assurdo: se l'idea che f in invertibile e monotona in D, siano x₁ e x₂ ∈ D e proviamo che

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)

Se x₁ ≠ x₂ allora x₁ < x₂, oppure x₂ < x₁, per la monotonia stretta di f

1. 1° caso si ha f(x₁) < f(x₂) (in entrami i casi f(x) ≠ f(x))
2. 2° caso si ha f(x₂) < f(x₂)

Perciò f è invertibile.

Assurdo

Se fosse x₁ ≠ x₂ dove x₁ ≥ y₁ potrebbe f è crescente avremmo y₁ ≠ y₂ Assumdo dunque x₁, x₂ ossia f⁻¹(y₁) ≠ f⁻¹(y₂) e f⁻¹ è necessariamente crescente.

3)

Scrivere la definizione di successione convergente e di fornire l'aria per una successione. Fornire un esempio.

DEF. Una successione {a_n} si dice convergente se esiste un numero L ∈ R per quanto piccolo: qualsiasi numero ha ε > 0 numeri finitivamente:

|a_n - L| < ε

In altre parole, per ogni ε > 0 in puoi trovare in intero N tale che

|a_n - L| < ε per ogni n ≥ N

DEF. Il numero L che compare → si chiama limite della successione {a_n} e si scrive

lim _{n → +∞} a_n oppure a_n ↦ L per n → +∞

Rappresentando graficamente: i punti della successione la condizione di convergenza implica che, dalla minima orizzontale di un cerco limitata poi non escono più punti della successione. Dunque che ogni successione convergente è limitata.

Dimostrazione

Per induzione su n. Per n=0 l'asserito è

(a+b)⁰ = ₀C₀ a⁰b⁰ cioè 1=1 ✔

Per n+1

(a+b)ⁿ⁺¹ = (a+b)(a+b)ⁿ =

Per l'ipotesi induttiva

= (a+b)∑_k=0ⁿ _nC_k a^kb^n-k = ∑_k=0ⁿ _nC_k a^k+1b^n-k + ∑_k=0ⁿ _nC_k a^kb^n-k+1

Traslazione di indici

= ∑_k=1ⁿ⁺¹ (_nC_k-1) a^kb^n-k+1 + ∑_k=0ⁿ _nC_k a^kb^n-k+1

Scopro addendo per k = 0 delle 2 sommatorie

e quello per k = n+1 della ∑

= aⁿ⁺¹ + ∑_k=1ⁿ (_nC_k-1 + _nC_k) a^kb^n-k+1 + bⁿ⁺¹ = ∑_k=1ⁿ _n+1C_ka^kb^n+1-k =

Sommo le 2 sommatorie

= aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹ + ∑_k=1ⁿ [(_nC_k-1) + (_nC_k)] a^kb^n-k+1 =

applico (_nC_k) = (_n+1C_k) - (_nC_k)

= aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹ + ∑_k=1ⁿ (_n+1C_k) a^kb^n-k+1 =

= ∑_k=0ⁿ⁺¹ (_n+1C_k) a^kb^n+1-k ✔

LOGARITMI

Sia a > 0, a ≠ 1, y > 0. Esiste un unico numero reale x tale che a^x = y.

PROPRIETÀ

• log_axy = log_ax + log_ay
• log_a ^x/_y = log_ax - log_ay
• log_ax^α = αlog_ax ∀α∈ℝ
• log_ax^-α = -log_ax x ≠ 1
• log_ab = ^log_cx/_logcb a > 0, b ≠ 1

coseno nell'intervallo [0, π] è iniettiva e invertibile di monotonia

funzione inversa arcseno (arcos)

ovvero

• y = cos x
• x ∈ [0, π]

equivale a

• x = arcos y
• y ∈ [-1, 1]

tangente nell'intervallo (-π/2, π/2) è strettamente monotona e quindi invertibile

funzione inversa = arcotangente (arctg) definita ∀ (-∞, ∞)

ovvero

• y = tg x
• x ∈ (-π/2, π/2)

equivale a

• x = arctg y
• y ∈ (-∞, ∞)

PERMANENZA DEL SEGNO

Se a_n → a e a > 0 (a < 0) allora a_n > 0 def (a_n < 0 def)

DIMOSTRAZIONE

Fissato ε > 0, per def di limite abbiamo che

|a_n - a| < ε def

ovvero: a - ε < a_n < a + ε def.

Poiché a > 0 possiamo regolare ε > 0 in modo che sia anche a - ε > 0, allora la disuguaglianza a - ε < a_n mostra che a_n > 0 def. In modo analogo in cui assumiamo che a < 0.

II^a FORMA

Se a_n ∈ ℝ e a_n > 0 def, allora rimane a > 0. In generale:

Se a_n > a_n, b → b^- e a_n > b_n def allora a > b.

DIMOSTRAZIONE

Per assurdo fosse a ≤ b, dal teorema precedente ne deriverebbe a_n ≤ b_n, che è moltiplicabile con e negli ultimi a_n > b_n def. Diverge dunque lo stesso argomento dell'ipotesi a_n > a_n b_n si riduce anche la regola appena dimostrata in a_n = a_n(perché e_-n > 0 def si può condurre a _- a_n-b_n a _b-)

TEOREMA DEL CONVERSO

Se a_n ≤ b ≤ c_a def, e a_n → ℓ, c_n → ℓ ∈ ℝ allora anche b = ℓ.

DIMOSTRAZIONE

Fissiamo un ε>0. Allora definitivamente si ha

-ℓ-ε < a_n < ℓ+ε, -1-ε < a_n < ℓ

-ℓ-ε < b < ℓ

-ℓ-ε < c_n < ℓ+ε def, dunque b = ℓ

COROLLARIO

1. Se |b_n| ≤ c_a def e c_n → 0 allora anche b_n → 0.
2. Se c_n → 0 e |b_n| è limitata (b_n con essenzialmente convergente), allora b_n → 0.
3. Il prodotto di una successione infinita e va interveniamo e interveniamo.

DIMOSTRAZIONE

1. Sappiamo def e a_n

b_n - c_n = 0 quindi per se convenute anche b_n → 0

2. Se b_n è limitata, ossia |b_n| ≤ K per n costante K > 0 e per ogni n possiamo scegliere