Preparazione all'esame di Fisica 2 - Terza parte (2)

O P

! !"#$% ! dal fuoco verso ; se si trova

O

in allora coincide con la sua

immagine.

P

Quando si sposta verso il

Q

fuoco, tende ad andare verso

−∞ (il “meno” è per la

convenzione). Se, addirittura,

! < ! < ! l’oggetto si trova nel fuoco

allora l’immagine sarà formata

da raggi paralleli… oggetto e

immagine si sono scambiati! Q

In tutti e tre i casi i raggi si incontrano fisicamente nel punto e

quindi l’immagine è reale! P

Quando è compreso tra il

Q

fuoco e il vertice, l’immagine

si forma oltre lo specchio, da

cui sembrano provenire i raggi

riflessi.

! < ! < ! Q

Dato che si trova

prolungando questi raggi riflessi

possiamo dire che l’immagine è

virtuale.

Dato che è possibile applicare la proprietà di reversibilità, tutti i casi valgono

anche invertendo oggetto e immagine (l’oggetto diventerebbe virtuale e

l’immagine reale) è il comportamento dello specchio convergente.

à

Cosa succede se l’oggetto non è posizionato sull’asse?

P’

Se è molto vicino all’asse si può usare lo stesso

P

procedimento prendendo un asse parallelo a quello per

P’

e passante per e il centro di curvatura.

PP’

Un segmento (piccolo) avrà come immagine un

QQ’

segmento .

PP’ QQ’

Dato che non ha la stessa dimensione di si chiama ingrandimento

trasversale:

! y QQ’ x PP’

! = con lunghezza di e lunghezza di .

! 0 ≤ ! ≤ 1 immagine capovolta e rimpicciolita

• ! ≥ 1 immagine capovolta e ingrandita

• ! < −1 immagine diritta e ingrandita

• −1 < ! ≤ 0 immagine diritta e rimpicciolita

•

Uno strumento ottico che permette questo ingrandimento si dice aplanatico.

Specchio sferico convesso

E’ inutile fare di nuovo tutto lo studio dato che i casi sono corrispondenti a

quelli dello specchio concavo.

La differenza sostanziale è che in questo caso il fuoco è

virtuale; quando i raggi sono paralleli, infatti, le

riflessioni sembrano venire da un punto posto dietro lo

specchio.

Specchio piano Possiamo pensare uno specchio piano come il caso limite di

! → −∞;

uno specchio concavo con raggio in questo caso il

fuoco sarà anch’esso ad infinito, l’oggetto sempre tra fuoco

e vertice e l’immagine sempre virtuale.

! = !

La sua equazione è semplicemente: oggetto e

à

180°

immagine sono simmetrici (solo ruotati di ) e delle

stesse dimensioni.

Lo specchio piano è sempre stigmatico e aplanatico a differenza degli

specchi sferici che lo sono solo in approssimazione parassiale (angoli

piccoli).

Diottri

Si chiama superficie diottrica sferica convessa una superficie che separa

n

un mezzo con indice di rifrazione (a sinistra) da un mezzo con indice di

1

n

rifrazione (a destra) permettendo, però, la trasmissione dell’onda.

2 ! < !

Supponiamo per l’analisi .

! ! ! ! ! − !

! ! ! !

L’equazione del diottro sferico convesso è: + =

! ! !

inoltre, se si usa ancora l’approssimazione parassiale, il diottro è stigmatico.

Quando l’oggetto è posto a distanza

infinita l’immagine reale si forma oltre il

! !

!

! =

vertice a distanza e il punto a

! = ∞ ! ! !!

! !

F

quella distanza, , prende il nome di

2

fuoco posteriore.

L’immagine si forma a distanza infinita

quando l’oggetto si trova nel fuoco

! = ∞ ! !

!

F ! =

anteriore , posto a distanza !

1 ! !!

! ! ! !

! !

f f =

e (distanze focali) sono sempre diverse ma vale la relazione: .

1 2 ! !

! !

! !

! !

Tramite la relazione sopra l’equazione si può anche scrivere: + = 1

! !

Per ottenere il diottro sferico convesso si scambia, come già fatto prima,

! → −! ! → −!

oggetto e immagine (cioè e ) e l’equazione diventa:

! ! ! − !

! ! ! !

+ = (da indice di rifrazione maggiore a indice minore).

! ! ! ! !!

! !

Il termine si chiama potere convergente (o diottrico)

!

se positivo il diottro si dice convergente I e IV

à

• durante il passaggio l’angolo diminuisce

o i fuochi sono reali

o

se negativo il diottro si dice divergente II e III

à

• durante il passaggio l’angolo aumenta

o i fuochi sono virtuali e scambiati tra di loro

o

I piani ortogonali all’asse nei due fuochi si chiamano piani

focali.

Calcolo dei due tipi di ingrandimento: ! !!! ! !

!

! = = =

ingrandimento trasversale:

• ! !!! ! !

!

!! ! !

= − ! !

ingrandimento longitudinale:

• ! !

!! ! !

Con “ingrandimento longitudinale” si intende quanto varia la grandezza

dell’immagine se varia la grandezza dell’oggetto.

Diottro piano

Come per gli specchi possiamo pensare al diottro piano come al caso limite di

un diottro sferico il cui raggio tende ad infinito.

! !

! = !

L’equazione del diottro piano è: ! !

un oggetto reale dà sempre un’immagine virtuale

• un oggetto virtuale dà sempre un’immagine reale

• il potere diottrico è nullo

• ! = −1

l’ingrandimento trasversale vale

• !! ! !

= −

l’ingrandimento longitudinale vale .

• !! ! !

Lenti sottili

Se posizioniamo vicine due superfici diottriche (che possono essere sferiche o

piane, convergenti o divergenti) aventi lo stesso asse otteniamo tre zone

diverse:

la luce, proveniente da sinistra, si propaga nel primo mezzo (! )

• !

→ !

viene trasmessa nel secondo mezzo (! )

• ! !

→ ! );

viene trasmessa al terzo mezzo (!

• ! !

!

Il blocco con indice di rifrazione è quello che chiamiamo lente semplice.

! ! = !

Per nostra semplicità consideriamo sempre e le due superfici molto

! !

vicini (lente sottile).

Scriviamo le equazioni in approssimazione parassiale:

! ! ! !!

! ! ! ! R

+ = primo diottro di raggio

à

• 1

! ! !

! ! !

! ! ! !!

! ! ! ! R

+ = secondo diottro di raggio

à

• 2

! ! !

! ! !

! = ! − ! l’immagine del primo diottro diventa oggetto per il

à

• ! ! s

secondo ( distanza tra i vertici, cioè lo spessore della

lente)

Avendo detto che la lente è molto sottile, i vertici è come se coincidessero e

p q p

quindi e non sono altro che la distanza dell’oggetto dalla lente ( ) e della

1 2 q

lente dall’immagine ( ).

! ! !! ! !

! !

= −

Se chiamiamo il potere convergente della lente,

! ! ! !

! ! ! 1 1 1

+ =

l’equazione della lente sottile è: ! ! ! F

Se l’oggetto si trova ad infinito l’immagine si forma in 2

F

se l’immagine si forma ad infinito l’oggetto si trova in 1

F F

ed sono equidistanti dal centro della lente!

1 2 A seconda del segno del potere convergente una

lente si dice: 1 > 0

convergente se

• !

1 < 0

divergente se

• !

! > !

Se (caso più comune)

! !

sono convergenti le lenti più spesse al centro che al bordo

• sono divergenti le lenti più sottili al centro che al bordo.

•

A seconda della forma, le lenti prendono vari nomi: biconvesse, biconcave,

! = −!

piano-convesse, piano-concave oppure convesso-concave; inoltre, se ! !

! !

!

! =

la lente è simmetrica e la focale vale: .

! !! !

! !

Anche per la lente sottile possiamo calcolare gli ingrandimenti:

! !

! = =

ingrandimento trasversale:

• ! !

!! = −! !

ingrandimento longitudinale: .

• ! !

!!

Lenti spesse

Quando lo spessore della lente non è trascurabile si parla di lente spessa.

Non vogliamo fare la trattazione completa ma, per le formule che citeremo,

n n

consideriamo ancora che sia uguale a .

1 3 F

Se l’oggetto si trova ad infinito l’immagine si forma in distante

• 2

! ! ! !! !!! !

! ! ! ! ! !

! = −

! ! !! ! !! !!! (! !! )

! ! ! ! ! ! !

dal secondo diottro F

se l’immagine si forma ad infinito allora l’oggetto si trova in distante

• 1

! ! ! !! !!! !

! ! ! ! ! !

! =

! ! !! ! !! !!! (! !! )

! ! ! ! ! ! !

dal primo diottro

p q

e, in generale, e sono diversi.

0 0 P P

Esistono inoltre due punti, e , detti punti principali, nei quali la distanza

1 2

focale è la stessa: ! ! ! !

! ! ! !

! = ! = ! = ! ! = ! ! =

! ! ! ! ! ! ! !! ! !! !!! ! !!

! ! ! ! ! ! !

nel caso uno dei due diottri sia piano la formula si semplifica in:

! ! ! !

! ! ! !

! ! = ∞ = − ! ! = ∞ =

! !

! !! ! !!

! ! ! ! ! ! !

+ =

L’equazione della lente rimane sempre la stessa: ! ! !

Aberrazioni

Abbiamo già detto che le formule trovate per le superfici catottriche e

diottriche valgono solo in approssimazione parassiale; se le immagini

dell’oggetto che si ottengono non sono le stesse stimate nell’approssimazione

si parla di aberrazione.

Aberrazione cromatica: si ha quando la luce incidente è bianca e non

• si ha una sola immagine ma più immagini colorate a distanza diversa e

con ingrandimenti diversi. Per correggere il cromatismo si usano i

doppietti acromatici, cioè al posto di un’unica lente vengono usate

due lenti sottili poste a contatto, una convergente e una divergente.

Aberrazione di sfericità: questo tipo di aberrazione si ha quando una

• superficie catottrica sferica non è stigmatica per fasci molto aperti. Il

problema si risolve inserendo nel cammino una lente apposta.

Coma, astigmatismo:

• coma: l’immagine non è più un disco ma ha una forma allungata

o astigmatismo: si tratta di un effetto longitudinale; spostando lo

o schermo l’immagine si incontra in un segmento verticale, poi in un

disco, poi in un segmento orizzontale

Correggere entrambi gli effetti è impossibile con una sola lente.

Distorsione: si parla di distorsione quando l’immagine non è simile

• all’oggetto

distorsione a cuscinetto se l’ingrandimento cresce con la

o distanza

distorsione a barilotto se l&rsq