Preparazione all'esame di Fisica 2 - Terza parte (1)

Fisica II – Parte III

Riassunto del libro “Fisica volume II”

CAPITOLO 12 - Fenomeni ondulatori

Le onde si possono dividere in due tipi:

onde che si propagano in mezzi materiali

• interazione degli atomi o delle molecole del mezzo che oscillano

o dalla loro posizione di equilibrio

gli atomi e le molecole trasportano energia e quantità di moto

o esempi: onde elastiche, onde sismiche, onde sulle superfici di un

o liquido

onde che non hanno bisogno di mezzi materiali per propagarsi

• !

! = 3×10 !/!

si propagano nel vuoto alla velocità (se attraversano

o dei mezzi materiali la velocità si riduce)

esempi: onde elettromagnetiche trasmissioni TV, onde luminose,

à

o raggi X

In generale un’onda è una qualsiasi perturbazione generata da una sorgente,

impulsiva o continua, che si propaga con una velocità ben definita; solitamente

questa perturbazione è causata dalle variazioni dall’equilibrio di un campo.

Come già sappiamo, un campo è una grandezza fisica che può essere definita

in qualsiasi punto dello spazio e può essere: !(!, !, !, !))

scalare se è definito da una sola funzione (esempio:

• vettoriale se è definito da tre funzioni, una per ogni asse cartesiano

• ! !, !, !, ! ! !, !, !, ! ! (!, !, !, !)).

(esempio: ! ! !

Vediamo da cosa sono causate le perturbazioni delle onde più comuni:

onda sonora: perturbazione dall’equilibrio della pressione e della

• densità del gas

onda elastica in una sbarra: perturbazione dall’equilibrio di una parte

• di sbarra con variazione di pressione (in pratica una deformazione locale)

onda elettromagnetica: perturbazione del campo elettrico e del

• campo magnetico magnetico (che ricordiamo essere due campi

vettoriali!)

Abbiamo già detto che queste perturbazioni sono causate da una sorgente;

!(!, !, !, !).

essa viene detta funzione d’onda e si indica con !(!, !),

Delle particolari funzioni d’onda sono le onde piane che hanno funzione

t

cioè sono unidimensionali: nell’istante la funzione ha lo stesso valore in tutti i

0 x yz

! = ! !(! , ! )

punti e quindi è ortogonale all’asse e giace nel piano .

! ! !

Sono onde piane tutte le onde che soddisfano l’equazione di d’Alembert (o

equazione delle onde piane):

! ! ! !

! ! ! ! ! ! ! ! !

!

= !""#$% = ! v velocità di propagazione

! ! ! ! !

!! ! !! !! !!

Sono soluzioni di questa equazione:

! ! − !" !""#$% ! ! + !" !""#$% ! ! − !" + ! (! + !")

! !

x t

dove e , quindi, devono essere tra loro in combinazione lineare!

Dalla forma della soluzione di vede che la funzione

d’onda è un fenomeno di propagazione in moto

x v

rettilineo lungo l’asse con velocità ; dato che la

funzione non cambia mai forma durante la

propagazione essa viene detta traslazione rigida.

Dato che la sovrapposizione di due onde è ancora soluzione

! ! − !" + ! (! + !")

( ) vuol dire che le due onde rimangono sempre

! !

indipendenti e quindi l’una non viene modificata dalla presenza dell’altra.

Solo in alcuni casi (che studieremo nei prossimi capitoli) può avvenire

dell’interferenza.

Richiami ad alcuni tipi di onde

Onde elastiche in una sbarra solida

Supponiamo di deformare il tratto iniziale di una

sbarra solida applicando una forza impulsiva;

questo tratto si dilaterà comprimendo il tratto

successivo, e così via fino alla fine della sbarra.

Ogni tratto della sbarra può essere visto come un

S dx

cilindretto di sezione e lunghezza sollecitato

F(x) F(x+dx)

da due forze alle estremità: e .

Queste forze non sono costanti ma variano sia

lungo la sbarra che nel tempo.

!(!, !)

Se indichiamo con la funzione spostamento

dalla posizione iniziale del cilindretto, il cilindretto

!"

ha un allungamento che deve rispettare la

!"

!" ! ! !"

= ! ! = !" ! ! + !" − ! ! =

legge cioè à

!" ! ! !"

!

!" ! ! F

!" = !" !" . Dato che rispetta anche la

!

!" !! ! = !" !" = !"#$

Legge di Newton e si ottiene

! !

! ! ! !

!" = !" !" E !

(con modulo di Yang e densità del cilindro)

! !

!! !!

! ! !

! ! ! ! ! ! ! !

!

= = ! !"# ! =

! ! !

!! ! !! !! !

Facendo lo stesso discorso con la forza:

! !

! ! ! !

!

= !

! !

!! !!

Sia spostamento che forza sono onde che si

x

propagano parallele e lungo l’asse onde

à

longitudinali.

Onde in una corda tesa

Supponiamo di spostare rapidamente l’estremità

di una corda tesa con l’altra estremità fissa; la

perturbazione si propaga lungo la corda come una

“gobba”. !(!, !)

Se chiamiamo la funzione spostamento

T ! !′

dall’equilibrio, la tensione della corda e gli

x

angoli formati con l’asse otteniamo come

risultanti delle forze:

! = !"#$ !′ − !"#$(!) ! = !"#$ !′ − !"#$(!)

! !

e, se gli spostamenti sono piccoli, possiamo usare

Taylor semplificando:

!"#$%" = 1 !"#$ = !"#$%#!% = !

Si ottiene che: x

! = 0 nessun moto lungo

à

! !

! ! y

! = ! !" moto lungo

à

! !

!!

y

Lungo deve rispettare anche in questo caso la

!"

!" = !"#$ = !" = ! !"

Legge di Newton con !

!"# !

!

con densità lineare.

! ! ! !

! ! ! ! ! ! ! !

!

= = ! !"# ! =

! ! !

!! ! !! !! !

! !

L’onda si dice trasversale poiché giace nel piano

perpendicolare alla direzione di propagazione.

Onde nei gas

Dovremmo ricordare da Fisica I che i gas hanno

!"

! = −! = ! !"/!"

modulo di compressibilità e

!"

se il gas è ideale e il processo è isotermo

• ! = !

(temperatura costante) !

se il gas è ideale e il processo adiabatico

• ! = !".

(no scambi di calore) !

Consideriamo una massa di gas contenuta in un

x

tubo a pareti rigide disposto lungo l’asse . Se

spostiamo il pistone, il volumetto di gas si

!" !".

comprime e variano densità e pressione

Il processo è praticamente identico a quello della

sbarra solida e, con opportuni passaggi, si

ottengono due onde: una di spostamento e una di

pressione: ! ! !

! ! ! ! ! ! ! !

!

= = ! !"# ! =

! ! !

!! ! !! !! !

! !

! ! !

! ! ! ! ! ! ! !

!

= = ! !"# ! =

! ! !

!! ! !! !! !

! !

!

(con densità d’equilibrio)

! !!

!

! =

Per processi adiabatici: !

!

Se indichiamo la dipendenza dalla temperatura

! !" R A

= con costante dei gas e massa

! ! !"#

! = = ! !.

molecolare: !

Considerazioni sulle onde

La velocità della propagazione non dipende dalla perturbazione ma solo

• dalle caratteristiche del mezzo.

! = !!

La Legge di Newton solitamente esprime un moto di materia

• mentre in questo caso la materia rimane mediamente ferma; la

perturbazione si trasmette piano piano per elementi successivi.

! ! , ! = ! sin[! ! − !" ]

Esistono perturbazioni armoniche:

• ! ! !

! !, ! = ! sin[! ! − !" ]

o ! ! P

comportamento della funzione nel punto (in istanti diversi ha

1

diverso valore)

! !, ! = ! sin ! ! − !!

o ! ! !

fotografia nel tempo (come si comporta la funzione in ogni punto in

t

un istante di tempo )

0

A seconda delle proprietà microscopiche del mezzo, durante la

• perturbazione la grandezza piò variare nella direzione:

parallela alla propagazione (onde longitudinali) gas, sbarra

à

o perpendicolare alla propagazione (onde trasversali) corda,

à

o superficie di un liquido

esistono anche onde torsionali quando è presente un momento di

torsione (ad esempio in una sbarra).

Si parla di fenomeno transitorio quando l’onda provoca solo delle

• oscillazioni locali mentre si parla di oscillazione forzata quando l’onda

è periodica.

Onde piane armoniche

Un particolare tipo di onda piana è l’onda armonica che ha funzione d’onda:

! !, ! = ! sin ! ! − !" !""#$% ! !, ! = ! cos ! ! − !"

! !

k è detta numero d’onde e, solitamente, viene portato dentro la parentesi

trasformando la funzione d’onda in:

! !, ! = ! sin(!" − !") !""#$% ! !, ! = ! cos(!" − !")

! !

! = !" è detta pulsazione dell’onda armonica. x

La funzione d’onda sappiamo già essere una sinusoide che si sposta lungo

v

con velocità . t

Se fissiamo un istante di tempo otteniamo

0

una sinusoide che rappresenta la funzione

d’onda in ogni punto in quell’istante; la distanza

tra due picchi è detta lunghezza d’onda. Si

k

tratta di periodicità spaziale e è il numero di

2!

lunghezze d’onda in una distanza di metri.

x

Se fissiamo una posizione otteniamo una

0

sinusoide che rappresenta come varia la

funzione d’onda in quel punto al variare del

tempo; la distanza tra due picchi è detta

periodo. Si tratta di periodicità temporale.

Esistono onde piane armoniche più complete: x = 0 t = 0

! !, ! = ! sin !" − !" + ! = ! sin(!) ! argomento per

! !

!(!, !)

dove è detta fase dell’onda armonica.

Ripasso sull’analisi di Fourier

Le onde armoniche sono particolari onde periodiche, se le onde non sono

periodiche si chiamano impulsive.

Un’onda periodica può essere sempre scritta, secondo Fourier, come la somma

di funzioni sinusoidali:

!

! ! = ! + [sin !"# + ! cos !"# ] con:

! !

!

! ! !

1 2 2

! = ! ! !" ! = ! ! sin !"# !" ! = ! ! cos !"# !"

! ! !

! ! !

! ! !

oppure: !

!

! !"#$ !!"#$

! ! = ! ! ! = ! ! ! !"

con:

!! ! ! ! !

!

E’ possibile farlo anche se l’onda non è periodica, solo che non si tratta di una

somma di funzioni ma di un insieme continuo:

!

! ! = ! ! sin !" + ! ! cos !" !" con:

! ! !

1 1

!(!) = ! ! sin !" !" !(!) = ! ! cos !" !"

! !

! !

oppure: ! !

!

!"# !!"#

! ! = ! ! ! !" ! ! = ! ! ! !"

con:

! !

!!

Un’onda piana può essere quindi scritta come:

! !, ! = ! !" − !" = ! + [! sin ! !" − !" + ! cos[! !" − !" ]

! ! !

!!!

a patto che tutti i termini si propagano con la stessa velocità. In caso

contrario va fatta l’analisi di Fourier per ogni termine (con la rispettiva

pulsazione) e poi vanno sommati.

Onde longitudinali, trasversali e polarizzazione

Abbiamo già detto che un’onda piana è caratterizzata da un’unica direzione di

x

propagazione, che per semplicità diciamo sia l’asse .

x

Se non c’è nessun’altra direzione (diversa da ) fisicamente importante,

• l’onda si dice longitudinale

se no si dice trasversale

• ! !, !

non polarizzata se (che ora è un vettore!) può assumere

o x

qualsiasi direzione ortogonale a

! !, !

polarizzata se segue una legge matematica ben precisa con

o x t

e

Per un’onda trasversale, quindi, la funzione d’onda ha due componenti: una

y z

lungo e una lungo :

! = ! sin !" − !" ! = ! sin(!" − !" + !)

! !! ! !!

!

con differenza di fase tra le due onde componenti.

! = ! !""#$% ! = !

(componenti in fase o in opposizione di fase)

!(!, !)

il vettore d’onda ha direzione fissa che forma

!

!

y ±! !"# = = !"#$%&$'.

con l’asse l’angolo tale che !

!

L’onda è quindi una sinusoide posta in un piano

x ±!

passante per e formate un angolo con il piano

xy !

; se chiamiamo l’ampiezza dell’onda le

!

componenti diventano:

! = ! !"#$ sin !" − !" ! = ± ! !"#$ sin(!" − !")

! ! ! !

Diciamo che l’onda è polarizzata rettilinearmente

!

! = ! ! = ! sin !" − !" ! = ! cos(!" − !")

Componenti: ! !! ! !!

Le coordinate soddisfano in qualsiasi istante la

! !

! !

! !

+ = 1

condizione che è l’equazione di un ellisse nel

! !

! !

!! !!

yz y z

piano con centro l’origine e assi paralleli a e .

Possiamo quindi vedere l’onda come un vettore che

x

gira in senso orario rispetto all’asse di propagazione e

“costruisce” degli ellissi.

!"

! =

Con il senso è antiorario.

!

Si parla di onda polarizzata ellitticamente

! = ! = !

Se allora l’ellisse diventa una circonferenza.

!! !! ! !

Per qualsiasi altro si parla ancora di polarizzazione ellittica ma gli assi

dell’ellisse non sono più paralleli agli assi cartesiani.

Non ha senso parlare di polarizzazione per le onde longitudinali! !

Se l’onda trasversale è non polarizzata il concetto vale ancora ma può

x t

assumere qualsiasi valore al variare di e .

Intensità di un’onda

Quando si propaga un campo che descrive un’onda c’è sempre anche una

propagazione di energia; vediamola nei casi della corda tesa e della sbarra.

Coda tesa di tensione T e densità lineare !

! ! = !"#$(!" − !")

Sappiamo che l’onda è trasversale:

!

! =

e si propaga con velocità !

! !

T P

Chiamiamo la forza esercitata su un punto dalla

ds

parte di corda alla sua sinistra e lo spostamento; il

!" = ! ∙ !!

lavoro infinitesimo vale e la potenza

!" !! !"

! = = ! ∙ = −! sin(!).

!" !" !"

!" !" !" ! !

sin(!) ≅ ! = −! = ! ! !" cos ( !" − !")

Ponendo la potenza diventa la

à

!" !" !"

potenza si propaga con la stessa velocità dell’onda trasportando energia e

quantità di moto. ! !

! ! !

! = !"#! = ! ! ! ! ! = !"

Potenza media: à

• ! ! !"#

! !

! !

! ! !

!! = !" ! = (! !") ! !

Energia meccanica:

• !"## !"# !

! ! !! ! ! !

!"##

! = = ! ! !

Energia meccanica per unità di lunghezza:

• ! !

!" !

! = ! !

Possiamo riscrivere la potenza media come:

• ! !

Sbarra di densità , modulo di Yang E e sezione

! !

! = !"#$ !" − !"

Sappiamo che l’onda è longitudinale: e si propaga con velocità

!

! = ! !! !" !" !"

! = ! ∙ = −! = −! !

La potenza sarà data da: (forza e spostamento

!" !" !" !"

sono paralleli e discordi). ! ! !

! = !! ! !"

Potenza media:

• ! ! ! ! !

! = !! !

Densità di volume di energia meccanica:

• ! !

! = ! !"

Possiamo ridefinire la potenza media come:

• ! !

L’intensità dell’onda è l’energia media che passa attraverso una sezione

perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda per unità di tempo e

! !! !

!"## !

! = =

area, cioè: ! !" !

! ! ! ! 2

! = ! ! = !! ! !

caso tridimensionale: [W/m ]

• ! !

! = ! !

caso bidimensionale: [W/m]

• !

! = ! !

caso unidimensionale: [W]

• !

Nelle onde meccaniche l’intensità è proporzionale, quindi, al quadrato della

A

!

pulsazione e dell’ampiezza .

Per capirci meglio possiamo dire che l’intensità del flusso di energia si trova

nella sorgente delle onde; in essa viene compiuto del lavoro meccanico che poi

diventa energia trasportata dall’onda. Questa energia può essere sia impulsiva

che un fenomeno continuo a seconda di come è fatta la sorgente.

Onde in più dimensioni

Fronte d’onda: superficie su cui, in un certo istante, la

fase è costante; si parla di fronte d’onda piano se la

superficie è, appunto, un piano o una porzione di piano

v

si sposta con velocità di propagazione

• 2!

due fronti d’onda con differenza di fase sono

• !.

distanti 2!

k !

è il vettore di propagazione che ha modulo e

!

direzione e verso uguale alla velocità di propagazione.

r P

Chiamiamo il vettore che individua in un certo fronte

! ∙ ! = ! ! !"#$ = !"

d’onda cosicché ! = ! sin(! ∙ ! − !")

La funzione d’onda diventa quindi: !

! = (! , ! , ! ) ! = (!, !, !)

Se scriviamo i vettori come coordinate: e la funzione

! ! ! !

!

! ! ! !

! = ! sin(! ! + ! ! + ! ! − !") ! + ! + ! = ! =

d’onda è: tale che: .

! ! ! ! ! ! ! !

!

! ! ! !

! ! ! ! ! ! ! ! !

+ + =

L’equazione delle onde piane in più dimensioni è: .

! ! ! ! !

!! !! !! ! !!

Le soluzioni a questa equazione possono essere: v

fronti d’onda sferici sorgente con simmetria sferica, uguale in tutte