Preparazione all'esame di Fisica 2 - Prima parte

Fisica II – Parte I

Riassunto del libro “Fisica volume II”

Capitolo 1 - Forza elettrica. Campo elettrostatico.

Legge di Newton

γ = 6.67 x 10^-11 Nm²/Kg²

Forza elettrica

I materiali elettrizzati sono materiali che hanno la capacità di attirare corpi in quanto manifestano forza elettrica (hanno al loro interno cariche elettriche).

• Isolanti i corpi che si caricano per strofinio (trattengono al loro interno la carica elettrica), come il vetro (carica +) o la bachelite (carica -).
• Conduttori i corpi che non sono in grado di trattenere la carica (metalli).

I corpi isolanti possono interagire tra di loro in modo diverso:

• Due corpi dotati della stessa carica si respingono.
• Due corpi dotati di carica diversa si attraggono.
• Durante lo strofinio, i due corpi si scambiano delle cariche (il vetro prenderà cariche negative mentre la bachelite cariche positive).

Struttura elettrica della materia

La materia è formata da tre elementi:

L’unione dei tre elementi forma gli atomi:

• Protoni e neutroni sono legati da interazione forte e formano il nucleo (carica +).
• Gli elettroni si muovono intorno al nucleo (nube di carica -), che esercita su di loro una azione attrattiva.

Chiamiamo:

• Z il numero di protoni (e quindi anche di elettroni perché l’atomo sia neutro) presenti nell’atomo: numero atomico.
• A la somma di protoni e neutroni presenti nel nucleo: numero di massa.

Processo di carica per strofinio

All’inizio abbiamo due corpi neutri. Quando essi vengono strofinati, degli elettroni passano da un corpo ad un altro creando così un corpo di carica positiva ed un corpo di carica negativa. I due corpi quindi non sono più neutri ma è ancora neutro l’insieme formato da essi: principio di conservazione della carica.

Il passaggio di cariche è possibile perché gli atomi dei metalli sono facilmente ionizzabili, cioè i loro elettroni più esterni sono liberi di muoversi (e quindi si spostano facilmente).

Induzione permanente

Viene avvicinata una bacchetta di bachelite ad un isolante attualmente neutro. L’isolante, attaccato a terra con un filo metallico, scarica su di essa le cariche negative. Quando l’isolante risulta carico positivamente, viene scollegato da terra. Allontanando la bachelite, l’isolante risulta carico positivamente.

Legge di Coulomb

La legge di Coulomb serve a misurare la forza che si crea tra due cariche puntiformi poste ad una distanza tra di loro:

• K dielettrico nel vuoto = 8.987 x 10⁹ Nm²/C².

La forza esercitata da due cariche poste alla stessa distanza da una terza carica stanno tra di loro come le cariche stesse. Il rapporto tra le cariche dipende anche dal loro raggio.

La carica si misura in coulomb (C) ed equivale alla carica trasportata da 1 A di corrente in 1 sec: 1 C = 1 A*s.

Forma vettoriale della Legge di Coulomb

La direzione della forza di Coulomb è quella della retta che congiunge le due cariche. Se esse si trovano nello spazio, quindi, la forza sarà vettoriale.

Se le due cariche hanno lo stesso segno, la forza ha lo stesso segno del versore; se invece le cariche sono di segno opposto, allora la forza ha segno opposto al versore.

Campo elettrostatico

Il campo elettrostatico (grandezza vettoriale) è la somma delle forze elettriche che agiscono su una carica di prova q₀. Più è piccola q₀ più il campo è preciso perché non perturbato da q₀. Se q₀ è positiva, il suo campo è uscente, mentre se è negativa, il suo campo è entrante.

Il campo elettrico si misura in N/C.

Le densità di carica

Le densità di carica mi indicano come le cariche sono distribuite all’interno di un volume, di una superficie o di una linea.

• Densità spaziale τ (C/m³) - dovremo calcolare 3 integrali.
• Densità superficiale Σ (C/m²).
• Densità lineare L (C/m).

In caso le cariche siano distribuite uniformemente all’interno del corpo, non è necessario svolgere l’integrale.

Linee di forza

Una carica posta in qualsiasi punto risente di una forza dovuta al campo elettrico. Questa forza è possibile rappresentarla con delle linee di campo (o di forza):

• Se la carica è positiva, le linee escono da essa in direzione radiale.
• Se la carica è negativa, le linee entrano in essa in direzione radiale.

Due linee di forza non si incrociano mai ma nascono da cariche positive e finiscono in cariche negative. Quindi, se si hanno vicino due cariche dello stesso tipo, tutte le linee termineranno all’infinito, se no entreranno in una carica negativa (anche passando per l’infinito per non incrociare altre linee di forza).

Esperimento di Rutherford

Innanzitutto, dobbiamo ricordare che anche se il campo è costante nel tempo, esso non lo è nello spazio e quindi se la carica lo attraversa in punti diversi sarà sottoposta ad un’azione diversa.

L’esperimento di Rutherford ha permesso di determinare com’è fatto un atomo, come lo conosciamo noi ora; prima si pensava che l’atomo fosse un insieme di cariche positive e negative non organizzate secondo una determinata struttura.

Egli ha bombardato delle sottili lamine metalliche con delle particelle α e si è accorto che queste particelle non attraversavano in linea retta le lamine ma avevano comportamenti diversi. È arrivato quindi alla soluzione che gli atomi dovevano avere una carica positiva concentrata nel centro (in cui si trova il 99% della massa dell’atomo, che respinge le particelle) e una nube di cariche negative attorno (che permettono il passaggio delle particelle).

Esperimento di Millikan

L’esperimento di Millikan ha permesso di determinare il valore della carica elementare. Egli ha studiato il comportamento delle gocce d’olio nebulizzate al variare del campo elettrico tra i due dischi e si è accorto che esse potevano rimanere ferme, scendere o salire più o meno velocemente ma la loro carica era sempre un multiplo di un determinato numero… la carica elementare. Questo vale per qualsiasi tipo di carica, positiva o negativa.

Capitolo 2 – Lavoro elettrico. Potenziale elettrostatico.

Nel capitolo precedente abbiamo visto la formula F = q₀E, dicendo che si può sempre definire una forza elettrica come il prodotto tra una carica e un campo elettrico (o elettromotore) a patto che le cariche che generano questo campo siano fisse o costanti e che non lo perturbino.

Possiamo definire il lavoro della forza per spostare la carica di uno spostamento infinitesimo come: dW = F · ds = F * cos(θ) * ds.

Se volessimo trovare quindi il lavoro complessivo su tutto il percorso dovremmo integrare: W = ∫ F · ds = ∫ F · ds.

Chiamiamo tensione elettrica tra due punti del percorso: V₀ = W/q₀.

Percorsi diversi danno lavori diversi e quindi su percorsi diversi anche la tensione elettrica non è la stessa. Questo significa che generalmente il lavoro su una circuitazione non è nullo! con forza elettromotrice che dipende dal campo e dal percorso ma non dalla carica. Nonostante il nome essa non è una forza!

Dato che però il campo elettrostatico è conservativo la sua circuitazione sarà nulla! Ricordiamo che campo conservativo significa che il lavoro non dipende dal percorso ma solo dal punto iniziale e il punto finale.

Chiamiamo differenza di potenziale: V₀ - V = ∫ E · ds = -ΔU/q₀.

Sapendo che ad ogni forza conservativa è associata una energia potenziale. ΔU = -ΔW.

Calcolo del potenziale elettrostatico

Sostituiamo nelle formule al posto di F la sua definizione: ΔV = -∫ E · ds = -∫ E cos(θ).

Che rappresenta di quanto è variata la distanza tra q e q₀ dopo lo spostamento ds.

W = -ΔU.

Se volessimo il potenziale in un solo punto basterebbe utilizzare: V = ∫ E · ds.

Su queste formule vale il principio di sovrapposizione degli effetti quando il campo non è quindi generato da una sola carica ma da tante cariche q_i.

Se conosciamo la densità delle cariche nelle varie dimensioni utilizzeremo le formule:

Unità di misura

Differenza di potenziale (ΔV) V = J/C

Campo elettrico (E) N/C = V/m

Energia potenziale elettrostatica U

Abbiamo detto che l’energia potenziale ha segno opposto rispetto al lavoro: ΔW = -ΔU.

Questo è vero solo se le due cariche si attraggono; se le due cariche si respingono invece ΔW = ΔU.

Questo perché:

• Due cariche di segno uguale tendono ad avere distanza infinita quindi serve lavoro positivo per avvicinarle.
• Due cariche di segno opposto tendono ad avere distanza minima quindi serve lavoro negativo per allontanarle.

Possiamo dire che non è possibile mantenere due cariche ad una distanza fissa senza l’aiuto di una forza. U (sistema) è data dall’iterazione di ogni coppia di cariche. Una carica con sé stessa non ha iterazione, per questo nella sommatoria non sono presenti i termini i ≠ j.

L’1/2 è dato dal fatto che compare due volte ogni termine (i = j e j = i).

Conservazione della energia

Fino ad ora abbiamo definito il lavoro in vari modi: ΔU = -ΔW = U - U₀.

In realtà è possibile anche esprimerlo come variazione della energia cinetica: ΔK = -ΔU.

E quindi eguagliando le due formule otteniamo il principio di conservazione dell’energia: durante il moto della particella l’energia totale, somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale, rimane costante.

• Se una carica positiva è accelerata V_A > V_B
• Se una carica negativa è accelerata V_A < V_B
• Se non c’è alcun effetto V_A = V_B (in alcune zone ci sarà accelerazione e in altre decelerazione).

Potenziale in un campo uniforme

Quando il campo è costante in modulo, direzione e verso: V(x, y, z) = -Ex + costante.

Cioè il potenziale è costante in tutti i punti di un piano ortogonale alla direzione del campo.

Nel caso di un campo costante la conservazione dell’energia vale.

Il campo come gradiente del potenziale

È stato dimostrato che conoscendo il potenziale elettrostatico in una certa regione possiamo calcolarne anche il campo elettrostatico: E = -∇V.

Il campo elettrostatico è uguale al gradiente del potenziale cambiato di segno. Ricordando adesso possiamo riscriverla: ∫ E · ds = (∫ -∇V) · ds.

Quindi dire che il prodotto scalare tra il gradiente di V e lo spostamento dà la variazione di potenziale in quello spostamento.

In coordinate polari: In coordinate cilindriche:

Superfici equipotenziali

Una superficie equipotenziale è una superficie tridimensionale in cui in tutti i punti il potenziale ha lo stesso valore, cioè V(x, y, z) = costante.

• Da ogni punto passa una e una sola superficie equipotenziale.
• Il gradiente in ogni punto è ortogonale alla superficie equipotenziale e il suo modulo vale |∇| = E.
• Le superfici equipotenziali sono ortogonali alle linee di forza:
  • Se il campo è uscente (q > 0) e il potenziale decresce con la distanza.
  • Se il campo è entrante (q < 0) e il potenziale cresce con la distanza.

Rotore e teorema di Stokes

Abbiamo già detto che: campo conservativo = circuitazione nulla e viceversa.

Ricordiamo dall’Analisi II che il rotore si calcola come: ∇×E.

Il teorema di Stokes dice che: la circuitazione del campo vettoriale su una linea chiusa è uguale al flusso del rotore del campo su una superficie avente come contorno C.

∮ E · ds = ∫ (∇×E) · ds.

Sappiamo già, però, che se un campo è conservativo allora ha rotore nullo (è irrotazionale).

Il dipolo elettrico

Due cariche puntiformi -q e +q distanti a costituiscono un dipolo.

Chiamiamo momento del dipolo il vettore: p = qa e si misura in Coulomb per metro.

Calcoliamo il potenziale generato dal dipolo nel punto P con la formula V = (1/4πε₀)(p·r)/r³. Se però il punto è molto lontano dal dipolo (cioè r >> a) la formula si semplifica in V = (1/4πε₀)(p·cosθ/r²).

Da questa formula notiamo che il potenziale dipende solo dal momento del dipolo e non dalle singole cariche e dalla loro distanza!

Ricordando che E = -∇V (e utilizzando le coordinate polari) possiamo definire il valore del campo in due insiemi di punti:

• Nei punti dell’asse del dipolo (in cui il campo è parallelo e nello stesso verso di p).
• Nel piano passante per il centro del dipolo e ortogonale a p (il campo è parallelo e discorde a p).

Le forze sul dipolo elettrico

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