Preparazione all'esame di Comunicazioni Elettriche

COMUNICAZIONI ELETTRICHE

TRASFORMATA DI FOURIER:

equazione di analisi

TRASFORMATA INVERSA:

equazione di sintesi

CONDIZIONI DI DIRICHLET:

esiste la trasformata di a(t) se:

• numero finito di massimi e minimi in ogni intervallo di tempo
• numero finito di discontinuità in ogni intervallo di tempo
• assolutamente integrabile

FISICA REALIZZABILITÀ:

condizione sufficiente per l'esistenza della trasformata:

segnale ad energia finita

SPETTRO DI g(s) A VALORI REALI:

spettro continuo di fase

spettro continuo di ampiezza

"continuo" perché definito su tutte le frequenze

modulo (pari)

fase (dispari)

RELAZIONE TEMPO-FREQUENZA:

• funzione stretta nel tempo ⟶ ampio range di frequente
• ampio range nel tempo ⟶ poche frequenze nello spettro

PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER:

Linearità

cambiamento di scala

compressione di a(t)

espansione di G(s)

riflessionea(-t) ➔ G(-f) (proprietà del cambiamento di scala con a=-1)

coniugazionea*(t) ➔ G*(-f)a*(-t) ➔ G*(f)

dualità se a(t) ➔ G(f) allora G(t) ➔ a(-f)

traslazione nel tempoa(t-t₀) ➔ G(f) e^-j2πft₀(L'ampiezza non cambia, cambia solo la fase)

traslazione in frequenzae^j2πf_ct a(t) ➔ G(f-f_c)f_c∈ℝ

IMPULSO A RADIO FREQUENZA (RF)a(t)=rect(t/T) cos(2πf_ct)cos(2πf_ct)=¹/₂ [ e^j2πf_ct + e^-j2πf_ct ]a(t)=^I/₂ rect(t/T) [ e^j2πf_ct + e^-j2πf_ct ]G(f) = ^I/₂ sinc[T(f-f_c)] + ^I/₂ sinc[T(f+f_c)]

area sottesa da a(t)∫ a(t) dt = G(0)

area sottesa da G(f)∫ G(f) df = a(0)

differenziazione nel dominio del tempod/dt [a(t)] ➔ j2πf G(f)dⁿ/dtⁿ [a(t)] ➔ (j2πf)ⁿ G(f)

integrazione nel dominio del tempo∫ a(t) dt ➔ ¹/_j2πf G(f) con G(0) = 0

parte reale e parte immaginariaRe[a(t)] ➔ ¹/₂ [G(f) + G*(-f)]Im[a(t)] ➔ ¹/_2j [G(f) - G*(-f)]

teorema della modulazionea₁(t) a₂(t) ➔ ∫ G₁(λ) G₂(f-λ) dλ

formula della somma di Poisson

segnale g(t) preso nei multipli del periodo temporale T₀

funzioni delta nelle frequenze multiple di f₀ pesate con la Trasformata di Fourier

segnale continuo limitato nel tempo → spettro continuosegnale periodico → spettro discreto

pettine di Dirac

FILTRI LINEARI:segnale d'ingresso → filtro → segnale d'uscitaECCITAZIONE RISPOSTA

Nei filtri lineari vale la sovrapposizione degli effetti

Dominio del tempo: risposta del sistema ad un impulso unitario o funzione Delta (risposta all'impulso h(t))

y(t) = ∫_-∞^∞ x(τ) h(t-τ) dτ integrale di convoluzionefunzione di memoria

y(t) = ∫_-∞^∞ h(τ) x(t-τ) dτ (vale la proprietà commutativa)

TIPI DI FILTRI LINEARI:• tempo-invariante: ritardo in ingresso, stesso ritardo in uscita• causale: h(t)=0 per t<0

FILTRO A LINEA DI RITARDO CON PRESE

h(t) = 0 per t<0 e t>T_fY(t) = ∫_-∞^∞ h(τ) x(t-τ) dτ

campiono Y(nΔt) = ∑_k=0^N-1 h(kΔt) x(nΔt-kΔt)

peso: ω_k = h(kΔt) x(nΔt-kΔt)Y(nΔt) = ∑_k=0^N-1 ω_k x(nΔt-kΔt) periodo campionamento

Densità spettrale di potenza:

P = Lim T→∞ 1/2T ∫_-T^T |x(t)|² dt potenza media; se P<∞ il segnale è a potenza finitasegnali a potenza finita: segnali periodici, rumore.

⚠️ I segnali di potenza hanno energia infinita e non sarebbero trasformabili secondo Fourier...quindi ne consideriamo una versione troncata:x(t) = x(t) rect( t / 2 ) x(t) ➝ X()

Per il Teorema di Rayleigh:P = Lim T→∞ 1/2T ∫_-T^T |X(t)|² dt = Lim T→∞ 1/2T ∫_-∞^+∞ |X()|² df

possiamo scambiare l'ordine tra integrale e limite:

P = ∫_-∞^+∞ S_x() df

densità spettrale di potenza (reale non negativa)

Modulazione d'ampiezza

Modulazione: processo con il quale alcune caratteristiche di un'onda portante vengono modificate con un segnale che rappresenta l'informazione da trasmettere. Come portante si usa solitamente un'onda sinusoidale.Segnale modulante analogico ➜ modulazione a onda continua

• variazione ampiezza
• variazione angolo

c(t) = A_c cos(2f_ct) ➜ portante sinusoidale (fase = 0 per semplicità)m(t) ➜ messaggio (segnale d'informazione)

s(t) = A_c [ 1 + k_m m(t) ] cos (2f_ct) ➜ modulazione AM (l'ampiezza varia attorno al suo valor medio A_c)

invippo di s(t) ha la stessa forma di m(t)se: |k_m m(t)| < 1 ∀t (no inversione di fase)

f_c > w (w banda di m(t)) *

Se segnale m(t) periodico

m(t) = ∑ a_n cos(2^πf_nt)

(c(t) uguale per tutte le componenti)

S_ssb = ½ m(t) cos(2^πf_ct) ± a_n cos(2^πf_ct) ± ½ A_c cos(2^πf_ct) ∑ a_n sen(2^πf_nt)

μ_r(t) = ∑ a_n sen(2^πf_nt) (ruotando di fase m)

S_ssb = ½ m(t) cos(2^πf_ct) ± 1 A_c m̂(t) sen(2^πf_ct))

(Sfasatore a banda larga)

ν vale anche per i non periodici

Modulatori per SSB:

m(t) ⟶ Hob A prodotto ⟶ Passa banda ⟶ s(t) SSB

A_c cos(2^πf_ct)

Discriminazione in frequenza

Il filtro passa banda lascia passare solo la banda laterale superiore o quella inferiore. Perché questo schema funzioni tra le due bande deve esserci abbastanza "spazio".

(SSB solo per segnali vocali, no video o segnali numerici)

m(t) ⟶ Hob A Prodotto ⟶± ⟶s(t)SSB× ⟶ cos(2^πf_ct)

Sfasatore a banda largaSfasatore -90°μ(t)Hob. A prodotto

Discriminazione in fase

Elimina la potenza in una delle due bande laterali

Rivelazione coerente

Si può usare ancora per demodulare anche un SSB.

Traslazione in frequenza:

s₁(t) con ⟶ Mod. A prodotto ⟶ s' (t) ⟶ Passa banda ⟶ s₂(t) con± f_c = f_g

A_L cos(2^πf_ct)

Miscelatore

Conversione in salitaf_g1, f_g2 + f_t

Conversione in discesaf_g2 - f_g1