Preparazione all'esame di Comunicazioni Elettriche

Comunicazioni Elettriche

Trasformata di Fourier:

G(s) = ∫_−∞^∞ g(t) e^−j2πst dt — equazione di analisi

Trasformata Inversa:

a(t) = ∫_−∞^∞ G(s) e^j2πst df — equazione di sintesi

Condizioni di Dirichlet:

esiste la trasformata di a(t) se:

• numero finito di massimi e minimi in ogni intervallo di tempo
• numero finito di discontinuità in ogni intervallo di tempo
• assolutamente integrabile ∫ |a(t)| dt < ∞

Fisica Realizzabilità:

condizione sufficiente per l'esistenza della trasformata:

∫ |a(t)|² dt < ∞ — segnale ad energia finita

Spettro di a(t) a Valori Reali:

G(s) = |G(s)| e^jθ(s) — spettro continuo di fase

— spettro continuo di ampiezza "continuo" perché definito su tutte le frequenze

• |G(−s)| = |G(s)| — modulo (pari)
• θ(−s) = −θ(s) — fase (dispari)

Relazione Tempo-Frequenza:

• funzione stretta nel tempo ⟹ ampio range di frequenze
• ampio range nel tempo ⟹ poche frequenze nello spettro

Proprietà della Trasformata di Fourier:

Linearità C₁G₁(t) + C₂g₂(t) ⟹ C₁G₁(f) + C₂G₂(f)

cambiamento di scala a(t) ⟶ 1/|a| G(f/a), a∈ℝ

compressione di a(t)

espansione di G(s)

COMUNICAZIONI ELETTRICHE

TRASFORMATA DI FOURIER:

G(s) = ∫_-∞^+∞ g(t) e^-j2πst dt

equazione di analisi

TRASFORMATA INVERSA:

a(t) = ∫_-∞^+∞ G(s) e^j2πst df

equazione di sintesi

CONDIZIONI DI DIRICHLET:

• esiste la trasformata di a(t) se:
• numero finito di massimi e minimi in ogni intervallo di tempo
• numero finito di discontinuità in ogni intervallo di tempo
• assolutamente integrabile ∫|a(t)| dt < ∞

FISICA REALIZZABILITÀ:

condizione sufficiente per l’esistenza della trasformata:

∫ |a(t)|² dt < ∞

segnale ad energia finita

SPETTRO DI a(t) A VALORI REALI:

G(s) = |G(s)| e^jΘ(s)

spettro continuo di fase

spettro continuo di ampiezza

“continuo” perché definito su tutte le frequenze

• |G(-s)| = |G(s)| modulo (pari)
• Θ(-s) = -Θ(s) fase (dispari)

RELAZIONE TEMPO-FREQUENZA:

funzione stretta nel tempo ⟶ ampio range di frequente

ampio range nel tempo ⟶ poche frequenze nello spettro

PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER:

Linearità

c₁a₁(t) + c₂a₂(t) ⟶ c₁ G₁(f) + c₂ G₂(f)

cambiamento di scala

a(at) ⟶ 1/|a| G(f/a) a∈IR

• compressione di a(t)
• espansione di G(s)

riflessione

a(-t) ➔ G(-f) (proprietà del cambiamento di scala con a= -1)

coniugazione

a^*(t) ➔ G^*(-f) (a^*(t) = x - jY se a(t) = x + jY)

a^*(-t) ➔ G^*(f)

dualità

se a(t) ➔ G(f) allora G(t) ➔ a(-f)

traslazione nel tempo

a(t - t_o) ➔ G(f) e^-j2πft_o t_o∈ℝ

(l’ampiezza non cambia, cambia solo la fase)

traslazione in frequenza

e^j2πf_ct a(t) ➔ G(f - f_c) f_c∈ℝ

IMPULSO A RADIO FREQUENZA (RF)

a(t) = rect (t/T) cos(2πf_ct)

cos(2πf_ct) = 1/2 [e^j2πf_ct + e^{- j2πf_ct}] Euler

a(t) = 1/2 rect (t/T) [e^j2πf_ct + e^{- j2πf_ct}]

G(f) = I/T sinc [T (f - f_c)] + I/T sinc [T (f + f_c)]

area sottesa da a(t)

∫_-∞^∞ a(t) dt = G(0)

area sottesa da G(f)

∫_-∞^∞ G(f) df = a(0)

differenziazione nel dominio del tempo

d/dt [a(t)] ➔ j2πf G(f)

dⁿ/dtⁿ [a(t)] ➔ (j2πf)ⁿ G(f)

integrazione nel dominio del tempo

∫_-∞^t a(t) dt ➔ 1/j2πf G(f) con G(0)=0

parte reale e parte immaginaria

Re [a(t)] ➔ 1/2 [G(f) + G^*(-f)]

Im [a(t)] ➔ 1/2j [G(f) - G^*(-f)]

teorema delle modulazione

a₁(t) a₂(t) ➔ ∫ G₁(λ) G₂(f - λ) dλ

teorema della convoluzione

∫_-∞^+∞a₁(τ)a₂(t-τ)dτ → G₁(s)·G₂(s)

(la convoluzione si trova indicata al posto dell'integrale, come a₁(t) ★ a₂(t))

moltiplicazione nel tempo → convoluzio