Geometria - preliminari

Preliminari

Insiemi e operazioni tra insiemi

Dai numeri naturali ai numeri complessi

L'insieme dei numeri naturali N comprende tutti i numeri interi positivi ed è sottoinsieme proprio di Z, cioè l'insieme dei numeri interi che contiene tutti i numeri interi, anche quelli negativi. A sua volta Z è un sottoinsieme proprio di Q, l'insieme dei numeri razionali che comprende tutti i numeri tali che {m/n t.c. m,n ∈ Z, n ≠ 0}. Quindi appartengono a Q tutti i numeri interi, i numeri decimali con parte decimale limitata e i numeri decimali con parte decimale infinita ma periodica; ossia tutti i numeri che possono essere scritti sotto forma di frazione. ℝ è l'insieme dei numeri reali e è l'insieme dei numeri complessi. Un numero complesso è un'espressione del tipo: z = a + ib dove a,b € R e i è un simbolo tale che i² = -1.

Conveniamo che:

• Per ogni a,b € R e per ogni m,n € N (ab)i = a(bi) = abi.
• i^m+n = i^miⁿ;
• (i^m)ⁿ = i^mn.

Definizioni

• Indichiamo con C l'insieme di tutti i numeri complessi.
• Sia z = a + bi € C, a si dice parte reale di z (in simboli: a = Re z) e bi si dice parte immaginaria di z (in simboli: b = Im z dove b € R e si dice coefficiente dell'immaginario z).
• Modulo di z: |z| = √a² + b² € R₊.
• Norma di z (modulo al quadrato) = ||z|| = a² + b².

Studiare sul quaderno la definizione di campo e le operazioni in C.

Rette e segmenti

Retta orientata

Una retta orientata r è una retta sulla quale si fissa un verso che si dice positivo, il verso opposto si dice negativo.

Segmento orientato

Un segmento AB si dice orientato se i suoi estremi sono considerati in un certo ordine in modo tale che abbia senso parlare di primo estremo (o origine) e di secondo estremo (o termine).

Misura dei segmenti orientati

Sia u una unità di misura per i segmenti, chiamo misura del segmento orientato AB sulla retta orientata r il numero reale che indico con AB il cui valore assoluto è il rapporto tra il segmento AB e l'unità di misura u.