Potenze e radici di numeri reali, logaritmi e disequazioni irrazionali

Potenze e radici di numeri reali

a ∈ ℝ a² ∈ ℕ a² = a . a,     a³ = a . a . a

(a + b)¹ = a + b

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Fattoriali e combinazioni

Se m ∈ ℕ, n₁ n₁! = n . (n - 1) . (m - 2) ... 2 . 1

3! = 3 . 2 . 1 = 6

4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

(m + 1)! = (m + 1) . m . (m - 1) ... 2 . 1 = (m + 1) . (m!)

5! = 5 . 4! = 5 . 24 = 120

Se 0 ≤ k ≤ m

^mC_k = ^m!⁄_{k!(m - k)!} = ^{m(n - 1) ... (n - k + 1)} ⁄_k!

m! = m . (m - 1) ... (m - k + 1) (m - k) ... 2 . 1 = ^{3 . 2}⁄_{2(3 - 2)} = ⁶⁄_{2 . 1} = 3

Numero di sottinsiemi con k elementi di un insieme con m elementi.

Triangolo di Tartaglia (o Pascal)

Potenze e radici di numeri realia ∈ ℝ a² ∈ ℕ a² = a · a, a³ = a · a · a

(a+b)¹ = a+b

(a+b)² = a² + 2ab + b²

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Se m ∈ ℕ, m ≥ 1

m! = m · (m-1) · (m-2) · ... · 2 · 1

3! = 3 · 2 · 1 = 6

4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

(m+1)! = (m+1) · m · (m-1) · ... · 2 · 1 = (m+1) · (m!)

Fattoriali e combinazioni

^mC_k = ^m! / (k!·(m-k)!)

((m-1)·(m-2)·...(m-k+1)) / k!

^mC_k = m! / (k!(m-k)!)

(³C₂) = (3·2) / (2(3-2)) = 6 / 2·1 = 3

n^k: numero di sottinsiemi con k elementi di un insieme con n elementi

Formula di Newton

(a+b)^m = a^m + ^(m)C₍₁₎ a^m-1 b + ^(m)C₍₂₎ a^m-2 b² + ... + a b^n-1 + b^m

a^-m = ¹/_a^m se m ∈ ℕ, a ∈ ℝ, a ≠ 0

0⁰ NON È DEFINITO

Radici

Se m ∈ ℕ, m ≥ 1, ∀ y ≥ 0 ∃! x ≥ 0 : x^m = y

Vale x si dice RADICE M-ESIMA ARITMETICA (ossia ≥ 0) di y.

Si pone: [^m√y] = x

[^√9] = 3 → SOLUZIONI DI x² = 9 : x = ± √9 = ± 3

[^{√x - 1}] ≤ 5 → si intende sempre √ positiva

Se m è dispari ∀ y ∈ ℝ ∃! x ∈ ℝ : x^m = y → x = [^m√y]

[³√x]

[³√-8 = -2]

Esponente frazionario

Se x > 0, m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n ≠ 0 (m, n primi tra loro)

x^m/n = [ⁿ√x]^m → 2^8/3 = [³√2]^8/1

Proprietà di monotonia

Siano x, y > 0, n, s ∈ ℝ

• x x^s ≤ x^s se x ≥ 1
• x^s ≥ x^s se x → (1/2)² > (1/2)⁴

x ≤ y

• x^s ≤ y^s se K > 0
• x^s ≥ y^s se K ≤ 0

→ 2 ≤ 3 → 2^-1 ≥ 3^-1

Proprietà algebriche

(xⁿ)^m = x^n·m; x⁵· x^-5 = x⁴⁺⁵; [^(xn)_(x^s)] = x^n-s

Logaritmo

Se a>0, a≠1 allora ∀y>0 ∃! x∈ℝ : a^x = y

Si pone x = log_a y

log₂ (1/8) = -3 → 2^-3 = 1/8

log₃ (3¹⁰⁵) = 105 → 3³ = 3¹⁰⁵

Proprietà dei logaritmi

• log_a (xy) = log_a x + log_a y
• log_a (x/y) = log_a x - log_a y
• log_a (xⁿ) = n log_a x
• log_b x = log_a x / log_a b
• log_a 1 = 0 → a⁰ = 1 → a⁰ = 1
• log_a a = 1 → a¹ = a = 1
• log_a x NON È DEFINITO se x≤0 → non esiste esponente da assegnare ad a per far venire un numero ≤0

Disequazioni irrazionali

√f(x) > g(x)

• f(x) > g(x)² NON CORRETTO solo se entrambi ≥0
• f(x) ≥ 0
• g(x) ≥ 0
• f(x) > g(x)²
• ℓ √f(x) ≤ g(x)
• f(x) ≥ 0
• g(x) ≥ 0
• f(x) ≤ g(x)² oppure g(x) < 0

Se a, b ≥ 0, a < b (↔ a² < b²)

(-2 < 1) ↔ (-2)² (4 ≤ 1) → SBAGLIATO!