Numeri Complessi - Forma Trigonometrica ed Esponenziale - Operazioni, Radici e Potenze

Numeri complessi

Somme

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

(a,b) · (c,d) = (ac-bd, ad+bc)

Esempio: (1,2) + (2,3) = (3,5)

Esempio: (1,2) · (2,3) = (-4,7)

N.B. Possiamo identificare i numeri del tipo (a,0) con i vecchi numeri reali, e possiamo scrivere semplicemente a al posto di (a,0)

Esempio: (0,1) · (0,1) = (-1,0) = -1

Abbiamo trovato un numero che moltiplicato per se stesso dà -1. Lo chiamiamo unità immaginaria: i

Alla luce delle osservazioni precedenti si ha che: (a,b) = (a,0) + (0,1) · (b,0)

(a,b) = (a + i · b)

Forma cartesiana

a: Parte reale

b: Parte immaginaria

Notazione: z = a + bi     a = Re (z) parte reale     b = Im (z) parte immaginaria     i = Unità immaginaria, i² = -1

Somma

z₁ = a + bi z₂ = c + di

z₁ + z₂ = (a+c) + (b+d) · i

Esempio: z₁ = 1 + 3i z₂ = 1 - i z₁ + z₂ = (1+1) + (3-1) · i = 2 + 2i

N.B.: idem per sottrazione.

Prodotto

z₁ = a + bi z₂ = c + di

z₁ · z₂ = (a+bi) · (c+di) = ac + adi + bci + bd i² = (ac-bd) + (ad+bc) i

Esempio: z₁ = 1+3i z₂ = 1-2i z₁z₂ = (1+3i)(1-2i) = 1 - 2i + 3i - 6i² = 4 + i + 6 = -i + 7

Rapporto

z₁ = a + bi · c - di z₂ = c + di · c - di

= ac - adi + bci - bdi² == ^ac+bd/_{c² + d²} + ^{bc - ad}/_{c² + d²} i

Esempio: z₁ = 4+3i z₂ = 1-2i z₁ = ^4·1+3i·i/_1-2i · ¹⁺²ⁱ/_1+2i = ⁴⁺⁶ⁱ/_{1 + 4} z₁/z₂ = ^{5 + 3i}/₃ = - 1 + i

Forma trigonometrica e forma esponenziale

Numeri complessi

Somme

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

(a,b) · (c,d) = (ac-bd, ad+bc)

Esempio: (1,2) + (2,3) = (3,5)

Esempio: (1,2) · (2,3) = (-4,7)

N.B. Possiamo identificare i numeri del tipo (a,0) con i vecchi numeri reali e possiamo scrivere semplicemente a al posto di (a,0)

Esempio: (0,1) · (0,1) = (-1,0) = -1

Abbiamo trovato un numero che moltiplicato per se stesso dà -1

Lo chiamiamo unità immaginaria: i

Alla luce delle osservazioni precedenti si ha che: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + bi

Forma cartesiana

a: Parte reale

b: Parte immaginaria

Notazione: z = a+bi

a = Re(z): parte reale

b = Im(z): parte immaginaria

i = Unità immaginaria, i² = -1

Somma

z₁ = a+bi z₂ = c+di

z₁ + z₂ = (a+c) + (b+d) · i

Esempio: z₁ = 1+3i z₂ = 1-i z₁ + z₂ = (1+1) + (3-1) · i = 2 + 2i

N.B.: idem per sottrazione.

Prodotto

z₁ = a+bi z₂ = c+di

z₁ · z₂ = (a+bi) · (c+di) = ac + adi + bci + bdi²

Esempio: z₁ = 1+3i z₂ = 1-2i z₁ · z₂ = (1+3i) · (1-2i) = 1-2i + 3i - 6i² = 4 + i + 6 = -i + 7

Rapporto

z₁ = a+bi z₂ = c+di

M.B. c-di:= (ac+bd + bc-ad · i) / (c² + d²)

Esempio: z₁ = 1+3i z₂ = 1-2i = -5/3 + 5i/3 = -1 + i

Forma trigonometrica e forma esponenziale

I punti nel piano di Gauss possono essere rappresentati in 2 modi:

• Con le coordinate cartesiane a e b
• Dalle coordinate polari ρ e θ

a = ρ cos θ

b = ρ sin θ

z = a + ib = ρ cos θ + i sin θ = ρ (cos θ + i sin θ)

(a, b) argomento di z = arg_(z)

ρ = √(a² + b²) = modulo di z = |z|

Conversione forma trigonometrica - cartesiana e inversa

• Trigonometrica → Cartesiana

a = ρ cos θ

b = ρ sin θ

Esempio: z = 2 [cos (3π/4) + i sin (3π/4)]

z = -√2 + i √2 ;

• Cartesiana → Trigonometrica

ρ = √(a² + b²)

Esempio: z = √3 + i; a = √3; b = 1

Θ = arctg (1/√3) = π/6

Prodotto in forma trigonometrica

z₁z₂ = ρ₁ ρ₂ [cos(θ₁ + θ₂) + i sin (θ₁ + θ₂)]

Rapporto

z₁/z₂ ρ₁/ρ₂ [cos(θ₁ - θ₂) + i sin (θ₁ - θ₂)]

Forma esponenziale

Si utilizzano sempre ρ e θ ma al posto di seno e cos c'è e

a + ib = ρ (cos θ + i sin θ) = ρe^iθ

Radici e potenze di numeri complessi

zⁿ = (a + ib)ⁿ richiede molto tempo!!

(ρe^iΘ)ⁿ = ρⁿ . e^inΘ = ρⁿ[cos(nΘ) + i sin(nΘ)] Easy way!

Esempio: (1 + i)⁵ = ρ = √ (1 + 1) = √2 Θ = arctan 1 = π/4

((√2)i) e^iπ/4 = 4√2 e^i7π/4

Forma trigonom: 4√2 [cos(7π/4) + i sin(7π/4)]

a = ρcos π/4 b = ρ sin π/4

Radici

z è radice n-sima complessa di w se zⁿ = w

Operativamente: z = ρe^iΘ e inΘ = w = ρ e^iφ con k = 0, 1, ..., n-1

zⁿ = w ⇨ ρⁿe^inΘ = ρe^iφ

Quindi ρ = √n e Θ_k = φ/n + 2kπ/n

Esempio: Determinare radici cubiche di 1

w = ±(b i )⁰ z₀ = ±a b₁; = z₁ e^iπ

Θ₀ = π/3 z₀ = e^i2π/3 Θ₁ = π z₂ = e^iπ ecc...

ρ = √3/31 (cos(π/3) = ¹/₂ + √3/2 i

ρ₂ = √3 (x - 1)

x₀ = π/3 + 2kπ/3 con k = 0, 1, 2

x = ¹/₂ + i √3/2

Equazioni con i numeri complessi

x² = -1 Non ha soluzioni in ℝ ma ha 2 soluzioni in ℂ

Esempio₁: x² + 9 = 0 ⇨ x² = -9 x₂ = ±√9 -1 i

Esempio₂: z² - 2z + 2 = 0

Quando la parte immaginaria ha il segno opposto, il numero al-i b si dice complesso coniugato di z = a + i b

Esempio₃: z³ - 5, x² - 6z = 0