Numeri Complessi - Forma Trigonometrica ed Esponenziale - Operazioni, Radici e Potenze

Numeri Complessi

Somme

(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)

(a,b)·(c,d)=(ac-bd, ad+bc)

esempio: (1,2)+(2,3)=(3,5)

esempio: (1,2)·(2,3)=(-4,7)

N.B. Possiamo identificare i numeri del tipo (a,0) con i vecchi numeri reali, e possiamo scrivere semplicemente a al posto di (a,0)

esempio: (0,1)·(0,1)=(-1,0)= -1

Abbiamo trovato un numero che moltiplicato per se stesso dà -1 Lo chiamiamo unità immaginaria: i

Alla luce delle osservazioni precedenti si ha che: (a,b) = (a,0) + (0,1)·(b,0)

(a,b) = (a + i·b) Forma cartesiana

a: Parte reale

b: Parte immaginaria

Notazione: z = a + bi

• a = Re (z) parte reale
• b = Im (z) parte immaginaria
• i = Unità immaginaria, i² = -1

Somma: z₁ = a + bi z₂ = c + di

z₁+z₂ = (a+c) + (b+d)·i

esempio: z₁ = 1 + 3i z₂ = 1 - i

z₁+z₂ = (1+1) + (3-1)·i = 2 + 2i

N.B.: idem per sottrazione.

Prodotto: z₁ = a + bi z₂ = c + di

z₁ · z₂ = (a+bi)·(c+di) = ac + adi + bci + bd i²

= (ac-bd) + (ad+bc) i

esempio: z₁ = 1+3i z₂ = 1-2i

z₁z₂ = (1+3i)(1-2i)= 1 - 2i + 3i - 6i² = 4 + i + 6 = -i + 7

Rapporto:

z₁ = a + bi · c - di

z₂ = c + di · c - di

= ac - adi + bci - bdi² =

= ^ac+bd/_{c² + d²} + ^{bc - ad}/_{c² + d²} i

esempio: z₁ = 4+3i z₂ = 1-2i

z₁ = ^4·1+3i·i/_1-2i · ¹⁺²ⁱ/_1+2i = ⁴⁺⁶ⁱ/_{1 + 4}

z₁/z₂ = ^{5 + 3i}/₃ = - 1 + i

Forma Trigonometrica e forma esponenziale

Numeri Complessi

Somme

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

(a,b) · (c,d) = (ac-bd, ad+bc)

esempio: (1,2) + (2,3) = (3,5)

esempio: (1,2) · (2,3) = (-4,7)

N.B. Possiamo identificare i numeri del tipo (a,0) con i vecchi numeri reali e possiamo scrivere semplicemente a al posto di (a,0)

esempio: (0,1) · (0,1) = (-1,0) = -1

Abbiamo trovato un numero che moltiplicato per se stesso da -1

Lo chiamiamo unità immaginaria: i

Alla luce delle osservazioni precedenti si ha che:

(a,b) = (a,0) + (0,b) = a + bi

Forma cartesiana

• a: Parte reale
• b: Parte immaginaria

Notazione: z = a+bi

• a = Re(z): parte reale
• b = Im(z): parte immaginaria
• i = Unità immaginaria, i² = -1

Somma:

z₁ = a+bi z₂ = c+di

z₁ + z₂ = (a+c) + (b+d)·i

esempio: z₁ = 1+3i z₂ = 1-i

z₁ + z₂ = (1+1) + (3-1)·i = 2 + 2i

N.B.: idem per sottrazione.

Prodotto:

z₁ = a+bi z₂ = c+di

z₁ · z₂ = (a+bi) · (c+di) = ac + adi + bci + bdi²

esempio: z₁ = 1+3i z₂ = 1-2i

z₁ · z₂ = (1+3i) · (1-2i) = 1-2i + 3i - 6i²

= 4 + i + 6 = -i + 7

Rapporto:

z₁ = a+bi z₂ = c+di

M.B.

c-di:

= (ac+bd + bc-ad · i) / (c² + d²)

esempio: z₁ = 1+3i z₂ = 1-2i

= -5/3 + 5i/3 = -1 + i

Forma Trigonometrica e forma esponenziale

Forma Trigonometrica e forma esponenziale

I punti nel piano di Gauss possono essere rappresentati in 2 modi:

1. Con le coordinate cartesiane a e b
2. Dalle coordinate polari ρ e θ

a = ρ cos θ

b = ρ sin θ

z = a + ib = ρ cos θ + i sin θ = ρ (cos θ + i sin θ)

(a, b) argomento di z = arg_(z)

ρ = √(a² + b²) = modulo di z = |z|

Conversione Forma Trigonometrica - cartesiana e inversa

1. Trigonometrica → Cartesiana

   a = ρ cos θ

   b = ρ sin θ

   Esempio: z = 2 [cos ( 3π/4) + i sin ( 3π/4)]

   z = -√2 + i √2 ;

2. Cartesiana → Trigonometrica

   ρ = √(a² + b²)

   Esempio: z = √3 + i; a = √3 ; b = 1

   Θ = arctg (1/√3) = π/6

Prodotto (in forma trigonometrica)

z₁z₂ = ρ₁ ρ₂ [cos(θ₁ + θ₂) + i sin (θ₁ + θ₂)]

Rapporto: z₁/z₂

ρ₁/ρ₂ [cos(θ₁ - θ₂) + i sin (θ₁ - θ₂)]

Forma esponenziale

Si utilizzano sempre ρ e θ ma al posto di seno e cos c'è e

a + ib = ρ (cos θ + i sin θ) = ρe^iθ

Radici e potenze di numeri complessi

zⁿ = (a + ib)ⁿ richiede molto tempo!!

(ρe^iΘ)ⁿ = ρⁿ . e^inΘ = ρⁿ[cos(nΘ) + i sin(nΘ)] Easy way!

esempio: (1 + i)⁵ = ρ = √ (1 + 1) = √2 Θ = arctan 1 = π/4

((√2)i) e^iπ/4 = 4√2 e^i7π/4

Forma trigonom: 4√2 [cos(7π/4) + i sin(7π/4)]

a = ρcos π/4 b = ρ sin π/4

Radici:

z è radice n-sima complessa di w se zⁿ = w

operativamente: z = ρe^iΘ e inΘ = w = ρ e^iφ con k = 0, 1, ..., n-1

zⁿ = w ⇨ ρⁿe^inΘ = ρe^iφ

Quindi ρ = √n e Θ_k = φ/n + 2kπ/n

esempio: Determinare radici cubiche di 1

w = ±(b i )⁰ z₀ = ±a b₁; = z₁ e^iπ

Θ₀ = π/3 z₀ = e^i2π/3 Θ₁ = π z₂ = e^iπ ecc...

ρ = √3/3

1 (cos(π/3) = ¹/₂ + √3/2 i

ρ₂ = √3 (x - 1)

x₀ = π/3 + 2kπ/3 con k = 0, 1, 2

x = ¹/₂ + i √3/2

Equazioni con i numeri complessi:

x² = -1 Non ha soluzioni in ℝ ma ha 2 soluzioni in ℂ

esempio₁: x² + 9 = 0⇨x²=-9 x₂=±√9 -1 i

esempio₂: z² - 2z + 2 = 0

Quando la parte immaginaria ha il segno opposto,

il numero al-i b si dice complesso coniugato di z = a + i b

esempio₃: z³ - 5, x² - 6z = 0